TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

LÝ THUYẾT: 1. Hoán vị: P n n(n 1)(n 2)...2.1 n     là số các hoán vị của n phần tử. Quy ước: 0 1.  2. Chỉnh hợp: A n(n 1)...(n k 1) (1 k n) k n n (n k)         là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. 3. Tổ hợp: k k n n n A C = (0 k n) (n k).k k     là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Tính chất 1: k n k C C (0 k n). n n     Tính chất 2: k 1 k k C C C (1 k n). n 1 n 1 n        4. Nhị thức newton: Công thức nhị thức newton:   n n 0 n 1 n 1 k n k k

a a x a x   a x   a x , khi đó hệ số của xm trong

Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính

Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính

Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 6, sau đó giảm liên tục

Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính

w7 nhập màn hình: F(x)  (X 1)C(X   2)  (X  1)C(X 1)   2;START: 1, END: 30; STEP: 1

Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 2; x = 3, sau đó tăng liên tục

Lần 1: START: 1, END: 30; STEP: 1

Quan sát thấy giá trị của F(x) xác định và luôn âm trên đoạn [2; 30]

Lần 2: START: 31, END: 60; STEP: 1

Câu 5: Biết S  C02018  2C12018  3C20182   2019C20182018  a.2b, a b ,  và a b , đều không chia hết

cho 2 Tính giá trị của biểu thức P  a b

Giải:

Cách 1: Tự luận

Câu 6: Giả sử tổng S  C02019  C20191 C20192   C10092019 có dạng S  a.2b với a,b và a

không chia hết cho 2 Tính giá trị của P   a b 2ab

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

Y 1 2

X 0YCX







-r X bất kỳ, Y = 19 được kết quả 262144, bấm qx được kết quả 218  219 1

-r X bất kỳ, Y = 23 được kết quả 4194304, bấm qx được kết quả 222  223 1

-r X bất kỳ, Y = 25 được kết quả 167772216, bấm qx được kết quả 224  225 1

-Tổng quát:

Y 1 2

Y 1

X 0YCX 2

Câu 7: Giả sử tổng S  4C1002  8C1004 12C1006   200C100100có dạng S  a 22 bvới a,b là các số

nguyên tố Tính giá trị của P  a b

-r X bất kỳ, Y = 16 được kết quả 524.288 bấm qx được kết quả 219  16.2 15

-r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 2.359.296 bấm qx được kết quả 3 22 18  18.2 17

-r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 201.326.592 bấm qx được kết quả 3.226  24.2 23

Tổng quát:  

Y 2

là các số nguyên dương và không chia hết cho 2; phân số b

c tối giản Tính giá trị của biểu

thức P   a b c

Giải:

Ta có

2018 0

-r X bất kỳ, Y = 6 được kết quả 2080, bấm qx được kết quả 5.13.25  2 (25 6 1)

-r X bất kỳ, Y = 10 được kết quả 524800, bấm qx được kết quả 41.5 22 9  2 (29 10 1)

-r X bất kỳ, Y = 16 được kết quả 2147516416, bấm qx được kết quả 2 6553715  2 (215 16 1)

Tổng quát:

Y 2

Ta thấy hệ số của xn trong khai triển (2) là C , còn hệ số của n2 n xn trong khai triển (3) là

Hệ số của xn 1 trong khai triển trên là C C0n 1n  C C1n 2n  C3n   Cn 1n Cnn (3)

Từ (1), (2), (3) ta có C C0n 1n  C C1n 2n   Cn 2n Cn 1n  Cn 1n Cnn  Cn 12n (Điều phải chứng minh)

Nhìn vào bảng, chỉ cần quan tâm hệ số của x3 1000; ta được tại vị trí x 5,G(x) 1000 thì

1

2 x x

1x

x và

1 2

3 2

3 2

F(x) 8CX.2G(x) 10 10

trong đó F(x) là hệ số của Xm còn G(x) là Xm, X chính là k trong

x 10 ta được tại vị trí

1

x 6,G(x) 0,1

10 thì F(x) 112

Cách 2: Sử dụng n- thức newton Ta có a0 1,a1 2,a2 3

Gọi k ,k ,k0 1 2 lần lượt ứng với x0 1,x và x2,

Dấu = bấm Qr, dấu : bấm Qy, dấu ! bấm qu…

Sau đó r A 1 và đó bấm = liên tiếp khi đó A sẽ bắt đầu chạy từ 0 và các giá trị của B,C sẽ thay đổi khi A thay đổi, tức B, C phụ thuộc vào A

Bấm = liên tiếp để tìm các hệ số [x ]3 i Sau mỗi lượt ta sẽ tìm được các hệ số [x ]3 ivà hệ số

i

Lượt thứ nhất tìm được [x ]3 1 960

Lượt thứ hai tìm được [x ]3 2 540

1 2

Chọn đáp án A.

Câu 16: Hệ số của x1008 trong khai triển nhị thức

2009 2

3

1xx

Số hạng tổng quát của khai triển trên là: Ck2009x2(2009 k) x3k  2(2009 k) 3k  1008  k  602

1008 2009 2009

a  C  C

Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton Ta có a2 1,a 3 1

Gọi k ,k2 3 lần lượt ứng với x2 và x 3

Câu 17: Với n là số nguyên dương thỏa mãn C n1  C n2  55, số hạng không chứa xtrong

khai triển của biểu thức 3 22 n

x x

Số hạng tổng quát của khai triển là C10k 2 k x30 5 k  x0  x30 5 k  30 5k   0 k 6

 Hệ số của số hạng không chứ x trong khai triển là C106 26  13440.

Tìm n bằng casio: qr

Hoặc w7:

Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton:

Ta có a3  1;a2  2 Gọi k k3; 2 ứng với x3 và x2 khi đó k k3, 2 thỏa mãn hệ

Cách 3: Sử dụng số hạng tổng quát kết hợp chức năng w7 của máy tính:

Chọn đơn vị x  10  x0  100  1 Ta đi tìm hệ số của 1 từ số hạng tổng quát

Số hạng tổng quát của khai triển là

30 5

30 5 10

( )

( ) 10.2

( ) 2 (10 )

k k k

X m

Ta có a0  1,a4  1,a2  1 Đặt k ,k ,k lần lượt ứng với 0 4 2 x ,x ,x 0 4 2

Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton:

Ta có a4  2,a3  2,a1  1,a0  1 Đặt k ,k ,k ,k lần lượt ứng với 4 3 1 0 x ,x ,x,x khi đó hệ số 4 3 0

2018 1

22018.2019

.2

k 1

2018 1

Câu 24: Cho số tự nhiên n (n 4) thỏa mãn A3n A2n 15(n2 n), tìm hệ số a4 của số hạng

chứa x4 trong khai triển của

Ta có a(1) 1, a( 1) 1, gọi k , k1 1 lần lượt ứng với x, 1

x khi đó k , k1 1 thỏa mãn hệ sau

Cách 3: Sử dụng chức năng TABLE (w7) với số hạng tổng quát của khai triển

Số hạng tổng quát của khai triển là C x18k 18 k 1k C x18k 18 2k

Câu 25: Sau khi khai triển thành đa thức và rút gọn thì

3 2

xx

1 1

1 2

B BÀI TẬP MINH HỌA

Câu 1: Cho dãy số  un với 1

Cách 2: Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1:

Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản là un 1  un   0  1

Ta có un  un  u*n với

n

* n

* n

Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản là un 1 2un   0  2

Ta có un  un  u*n với un  qn  q.2n và u*n  An2  Bn C thay vào ta có

B bắt đầu từ u1, sau đó bấm = liên tiếp lặp đến khi A = 10 được kết quả B u11 354270

Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1:

Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản un 1  3un  0   3

Ta có un  un  u*n với

n

* n

Lưu ý: Có thể sử dụng cách r 1000 để lập hệ phương trình 2 ẩn A, B thay vì đồng nhất hệ số

hoặc cho n 2, n 3,… tuy nhiên có thể r 1000 sẽ nhanh hơn hoặc lâu hơn đối với mỗi người

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho dãy số  un xác định bởi 1

-Giả sử với n  k thì uk 2cos k 1 ,k 1

n n

Câu 7: Cho dãy số (u thỏa mãn n) 1 1

Câu 11: Cho các số thực dương a,b và 3 7 5 12 8 15

log(a b ), log(a b ), log(a b ) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Công sai của cấp số cộng này là n log b Giá trị của n

Câu 14: Người ta thả rơi tự do một quả bóng bằng cao su ở độ cao h  81m Biết rằng

mỗi lần quả bóng chạm đất thì nó lại nảy lên một độ cao bằng một phần ba lần độ cao của lần rơi trước Tổng quãng đường rơi và nảy (tính từ lúc bắt đầu thả) của quả bóng

Câu 15: Cho họ đường tròn đồng tâm O;r , O;r , , O;r , (n1  n  n  *) trong đó dãy

 rn là cấp số cộng có số hạng đầu r1  4, công sai q  4.Gọi u1 là diện tích của hình tròn O;r ,1 và với n  2 gọi un là diện tích của hình vành khăn tạo bởi đường tròn

O;rn 1  và đường tròn O;r (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị nhỏ nhất của n để

Diện tích Sn của hình tròn O;rn là: Sn  rn2  16 n 2

Diện tích của hình vành khăn là