Ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng_2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC K

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐỨC MINH THIÊM

ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐỨC MINH THIÊM

ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – 2016

Mục lục

1.1 Không gian Euclide 6

1.2 Tập lồi 7

1.3 Hàm lồi 8

1.4 Hàm lồi suy rộng 11

2 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 17 2.1 Các định nghĩa 17

2.1.1 Ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt 17

2.1.2 Ánh xạ giả đơn điệu 18

2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu chặt 19

2.1.4 Ánh xạ tựa đơn điệu 21

2.1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh 23

2.2 Các đặc trưng của ánh xạ đơn điệu suy rộng 26

2.2.1 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 1−chiều 26

2.2.2 Mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu 28

2.2.3 Ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi 30

2.2.4 Ánh xạ đơn điệu suy rộng affin 34

3 Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn

3.1 Bất đẳng thức biến phân 40 3.2 Sự tồn tại nghiệm 43

Bảng kí hiệu

(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoạn thẳng mở nối x và y [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoạn thẳng đóng nối x và y L(f, α) = {x ∈ X | f (x) 6 α} tập mức dưới

Mở đầu

Ánh xạ đơn điệu là một khái niệm suy rộng rất tự nhiên của hàm số đơn điệu Khái niệm này ngay sau khi ra đời đã được quan tâm nghiên cứu

do tính phổ dụng của loại toán tử này trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt trong Giải tích phi tuyến Tính đơn điệu sau đó được mở rộng ra tính đơn điệu suy rộng như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, v.v

Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản

về ánh xạ đơn điệu suy rộng và một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Luận văn được trình bày gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản

về tập lồi, hàm lồi và các hàm lồi suy rộng Các kiến thức cơ bản được sử dụng để nghiên cứu các vấn đề trong chương 2

Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng Nội dung chính của chương này tập trung trình bày các định nghĩa về ánh xạ đơn điệu và đơn điệu chặt, ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh

xạ đơn điệu mạnh và giả đơn điệu mạnh Đồng thời nêu các đặc trưng của ánh xạ đơn điệu suy rộng như là ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi, và ánh xạ đơn điệu suy rộng affin

Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Ở đây luận văn trình bày một vài ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học và các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập tại trường Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm, động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Tác giả luận văn

Đức Minh Thiêm

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số nội dung về tập lồi, hàm lồi và hàm lồi suy rộng, bao hàm hàm tựa lồi và của hàm giả lồi Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu chọn trong tài liệu [2]

1.1 Không gian Euclide

Tập hợp

Rn := {x = (x1, , xn)T : x1, , xn ∈ R}

với hai phép toán

(x1, , xn)T + (y1, , yn)T := (x1+ y1, , xn + yn)T λ(x1, , xn)T := (λx1, , λxn)T, λ ∈ R lập thành một không gian véc tơ Euclide n−chiều

Nếu x = (x1, , xn)T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần hoặc tọa độ thứ i của x Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kí hiệu đơn giản là 0, vậy 0 = (0, , 0)T

Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc h., i như sau: với

x = (x1, , xn)T, y = (y1, , yn)T ∈ Rn,

hx, yi =

n X i=1

xiyi

Đôi khi ta còn ký hiệu là xTy Khi đó với mọi x = (x1, , xn)T ∈ Rn ta định nghĩa

kxk := phx, xi =

v u u t

n X i=1 (xi)2

và gọi là chuẩn Euclide của véc tơ x

1.2 Tập lồi

Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi, nếu

∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ X

Mệnh đề 1.2 Cho Xα ⊂ Rn (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kì Khi đó X = T

α∈I

Xα cũng lồi

Mệnh đề 1.3 Cho các tập Xi ⊂ Rn lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi đó

λ1X1+ + λmXm cũng là tập lồi

Mệnh đề 1.4 Cho các tập Xi ⊂ Rni lồi, (i = 1, 2, , m) Khi đó tích

Đề các X1× × Xm là tập lồi trong Rn1 × × Rn m

Định nghĩa 1.5 Cho X ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồi chứa X được gọi là bao lồi (convex hull) của tập X, kí hiệu là coX

Định nghĩa 1.6 Giả sử X ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa

X được gọi là bao lồi đóng của tập X và kí hiệu là coX

Mệnh đề 1.7 Cho X ⊂ Rn lồi Khi đó,

i) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi;

ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, thì

{λx1+ (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂ intX

1.3 Hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Cho hàm f : X → R, trong đó X ⊂ Rn, R = R ∪ {−∞, +∞}, các tập

epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} , dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞}

được gọi lần lượt là trên đồ thị và miền hữu hiệu của f

Định nghĩa 1.9 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi, f : X → R

Hàm f được gọi là lồi trên X nếu trên đồ thị epi(f ) của nó là một tập lồi trong Rn × R

Nếu dom f 6= ∅ và −∞ < f (x) với mọi x ∈ X ta nói hàm f là chính thường

Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X

Định lý 1.10 Giả sử f1, , fm là các hàm lồi chính thường trên X Khi

đó, tổng f1 + + fm là một hàm lồi

Ta nhắc lại một số đặc trưng và tính chất của hàm lồi một biến khả vi Định lý 1.11 Cho ϕ : (a, b) → R

i) Nếu ϕ khả vi trên (a, b) thì ϕ lồi trên (a, b) khi và chỉ khi ϕ0 không giảm trên (a, b)

ii) Nếu ϕ có đạo hàm bậc hai trên (a, b) thì ϕ lồi trên (a, b) khi và chỉ khi ϕ00(t) > 0 với mọi t ∈ (a, b)

iii) Nếu ϕ lồi trên [a, b] thì ϕ liên tục trên (a, b)

Định lý 1.12 Cho X là tập lồi trong không gian Rn và f : X → R Khi

đó, các điều kiện sau là tương đương:

a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X b) f (λx + (1 − λ) y)> λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X sao cho

λx + (1 − λ) y ∈ X

Tài liệu tham khảo

[1] J P Crouzeix (1993), "Pseudomonotone Variational Inequalitiy Problems: Existence of Solutions", Mathematical Programming78,

pp 305-314

[2] G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands

[3] P T Harker, J S Pang (1990), "Finite Dimensional Inequality and Nonlinear Complementarity Problems: A Survey of Theory Algo-rithms and Applications", Mathematical Programming48, pp 161-220

[4] S Karamadian and S Schaible (1990), "Seven Kinds of Monotone Maps", J Optim Theory and Applications66, pp 37-46

[5] S Karamadian (1976), "Complementarity problems over cones with monotone and pseudomonotone maps ", J Optim Theory and Ap-plications18, pp 445-454

[6] S Karamadian, S Schaible and J P Crouzeix (1993), "Characteri-zations of Generalized Monotone Maps", J Optim Theory and Ap-plications76, pp 399-413

[7] B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2008), "On the Solution Ex-istence of Pseudomonotone Variational Inequalities", J Global Op-tim.41, pp 135-145