Trắc nghiệm nâng cao dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt Đông

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số ycotx nhận các giá trị đặc biệt MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 1.. Câu 60: Phương trình: 4 sin .sin .sin 2 cos 3 1Phương trình có số

HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A – LÝ THUYẾT CHUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

 Hai cung bù nhau

 Hai cung phụ nhau

 Hai cung hơn nhau

tan tantan

tan tantan

sin 2 2sin cos

2 tantan 2

1 tan

x x

sin 3 3sin 4sincos 3 4 cos 3cos

V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

21

21

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin xm và cos xm là:  1 m1

 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau

 Đối với phương trình

2 2

2 2

1cos

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

Hàm số ysinx nhận các giá trị đặc biệt

2 Hàm số côsin

Hàm số ycosx xác định trên , nhận giá trị trên 1;1 và:

 Là hàm số chẵn vì cosxcosx,  x

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

Hàm số ycosx nhận các giá trị đặc biệt:

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 

Hàm số ytanx nhận giá trị đặc biệt

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 

Hàm số ycotx nhận các giá trị đặc biệt

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

1 Phương trình sin xa 1

 a  : Phương trình vô nghiệm 1

 a  : Gọi  là một cung sao cho 1 sina Khi đó  1 sinxsin và  1 có các nghiệm

   và sina thì ta viết  arcsin a

 Phương trình sinxsin có các nghiệm:

 a  : Phương trình 1  2 vô nghiệm

 a  : Gọi  là một cung sao cho 1 cos a Khi đó  2 cosxcos vì  2 có các nghiệm : x   k2 , k 

Chú ý:

 Khi0  và cos a thì ta viết  arccos a

 Phương trình cosxcos có các nghiệm x k360, k 

   và tan a thì ta viết  arctan a

 Phương trình tanxtan có các nghiệm xk180, k 

 Khi 0  và cot a thì ta viết  arc cot a

 Phương trình cotxcot có các nghiệm xk180, k 

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asinx b cosxc

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2

Cách 1: + Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được:2

a xb x c d  x   xx

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX

+ Xét cosx 0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx 0, chia hai vế phương trình cho 3

cos x với chú ý: 12 1 tan2

2

t

+ Đặt

2

1sin cos sin cos

B – BÀI TẬP HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h(mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

  Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. t 13(giờ) B. t 14(giờ) C. t 15(giờ) D. t 16(giờ)

Câu 11: Hàm số 2 sin 2 cos 2

sin cos 2 sin cos

h x  x x m x x.Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x(trên toàn trục số) là

A ymax  1 2 2 B ymax 3 3 C ymax  4 D ymax 2 3

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 17: Hỏi trên đoạn 2017; 2017, phương trình sinx1 sin  x 20 có tất cả bao nhiêu

thứ III của đường tròn lượng giác là:



2116

 

236

Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5

phương trình nào sau đây?

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

C.

2

1318



D.

2

1518



4sin 2 cos 2

arc cos2



52

tanxtanxtanx  3 3

A cotx  3 B cot 3x  3 C tanx  3 D. tan 3x  3

Câu 55: Phương trình 2 cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là:

Câu 60: Phương trình: 4 sin sin sin 2 cos 3 1

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:

?

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

1 cos xcos 2xcos 3x0

2 sin

3297

3 sin

1281

A B C D

A trên đoạn phương trình có 1 nghiệm

B trên đoạn phương trình có 2 nghiệm

C trên đoạn phương trình có 3 nghiệm

D trên đoạn phương trình có 4nghiệm

Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 12 12 1 2

Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong 0; 2 để ba phần tử của S sin ,sin 2 ,sin 3   trùng

với ba phần tử của T cos , cos 2 , cos 3  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ

Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanxmcotx8 có nghiệm

Câu 79: Biến đổi phương trình cos 3xsinx 3 cos xsin 3x về dạng sinax b sincx d 

với b, d thuộc khoảng ;

cosxsinx 2 m 1 vônghiệm

A. m    ; 1  1; B. m   1;1  C. m    ; 

D. m   ;0  0;

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình

m1 sin x m cosx 1 m có nghiệm

Câu 87: phương trình sin ( 1) cos

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x2m1 cos x m  1 0

có nghiệm trên khoảng ;3

Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin cosx xsinxcosxm0 có nghiệm?

a 

Câu 101: Cho phương trình: sin cosx xsinxcosxm0, trong đó m là tham số thực Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

4 sin xcos x 8 sin xcos x 4 sin 4xm trong đó m là tham

số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

Câu 104: Cho phương trình 1cos 4 4 tan2

Câu 108: Tìm m để phương trình cos2x2m1 cosx m  có đúng 2 nghiệm 1 0 ;

sin sin 3x sin 3sin x 4sin

nghiệm thực?

cosx1 cos 2x m cosx msin x Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;2

cosx1 4 cos 2x m cosx msin x có

1 tan1 1 tan 2 1 tan 43  2 1 tana  b

cos 2xsin x3cosxm có nghiệm thì:5

A. m   B. m   C. m   1;1 D. m   1;1

Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình

2 2

3

3 tan tan cotsin x x x xm có nghiệm?

A. 2000 B. 2001 C. 2010 D. 2011.

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0 sin 2 0 ,

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

Viết lại đáp án B sin 1 sin cos 

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ

    Vậy y sin 2x không chẵn, không lẻ

Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ t của năm 2017được cho bởi một

ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28ngày)

Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h(mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

A. t 13(giờ) B. t 14(giờ) C. t 15(giờ) D. t 16(giờ).

Hướng dẫn giải Chọn B

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất

Ta có

2

1 tancot 2

2 tan

x x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin4xcos4xsin cosx x là

Ta có ysin4 xcos4 xsin cosx x  y 1 2 sin2xcos2 xsin cosx x

Ta có sinx cosxcosx sinx 2 sin cosx x sin cosx x

2 sin 2 sin 2 0

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2x 0

Ta có 2 sin 2 cos 2  2 sin 2  1 cos 2 3

sin cos 2 sin cos

h x  x x m x x.Tất cả các giá trị của tham số m đểhàm số xác định với mọi số thực x(trên toàn trục số) là

Hàm số xác định trên  khi và chỉ khi 2sin2x m sinx 1 0,   x

2

2 2

Vậy m   2 2; 2 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của m

Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài

cùng” Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a, còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số a

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 1 os2 1 5 2 sin2

Cách 1: Ta thấy 2 cos x0, x R và 1 cos 0, 0;

1 cos x là hai số dương Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có

    tan tanx ztan tany ztan tanx y 1

Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn

thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1 1 tan tan x y1 1 tan tan y z1 1 tan tan z x 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 17: Hỏi trên đoạn 2017; 2017, phương trình sinx1 sin  x 20 có tất cả bao nhiêu

k k

Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là và Vậy

Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2xsin 2x 2sin2x trên khoảng 0; 2

min Cho 0

Cách trắc nghiệm Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào

thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn

Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos 5x2 sin 7x trên khoảng 0;

726

nghiệm âm lớn nhất của phương trình là ;0

min min

thứ III của đường tròn lượng giác là:

Hướng dẫn giải Chọn B



2116

 

236

s inx 1

21

6

s inx

2

526

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn

22

2

2 1cos

3

x x x

Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5

- TH1: Chọn

Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc

phương trình nào sau đây?

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình

hông

phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho

?

Hướng dẫn giải Chọn B

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

6sin

2

526

x k x

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên là và

làm nghiệm thì giá trị là:

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

26

π 3

Điều kiện: sinx0cosx 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

12



Hướng dẫn giải Chọn A

Điều kiện: sinx0cosx 1

3cos 2 2 sin 2 cos sin 3 2 cos sin

Chọn D

Điều kiện:

cos 2sin cos 4 sin cos cos 2

2 sin cos 2 cos 2 1 0

2 sin (1 2sin ) 1 2 sin 1 0

2 sin (1 2sin sin ) 0

1

5sin

Điều kiện: cos 0  *

x x



C.

2

1318



D.

2

1518



Hướng dẫn giải Chọn C

Điều kiện: cos 0  *

x x





(1 sin cos 2 ) 2 sin( )

sin coscos

Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành ( )

A. 32 B. 33 C. 34 D. 35.

Hướng dẫn giải Chọn B

Vậy PT có 33 nghiệm trên 1; 70

Câu 46: Phương trình cosxcos 3x2 cos 5x0 có các nghiệm là

2

x  k



  và 1

arc cos2

cosxcos 3x2 cos 5x0

cos 5x cosx cos 5x cos 3x 0

Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3xsinxsin 2x0 trên đường tròn lượng

giác là:

Hướng dẫn giải Chọn C

sin 3xsinxsin 2x0

2 cos 2 sinx x 2sin cosx x 0

2 2

Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc 2 ;3 

Hướng dẫn giải Chọn B

Trường hợp 1:

Với phương trình (vô nghiệm)

Vậy không thỏa mãn phương trình

Trường hợp 2: , chia 2 vế cho ta được:

Phương trình

Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là

là:

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

(*) Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là , ta chia 2 vế cho

(do điều kiện)

(TMĐK)

Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là



Hướng dẫn giải

Phương trình 1 sin cos 1 sin co  3sin 2

2s

Phương trình

(*)(đây là phương trình bậc 2) Chia 2 vế cho (do điều kiện) ta được:

2

x x

tanxtanxtanx  3 3

    tương đương với phương trình

A. cotx  3 B. cot 3x  3 C tanx  3 D. tan 3x  3

Hướng dẫn giải Chọn D

Điều kiện:

32

3

x x x

sin sin 3 sin 2 sin 3 2 sin

Điều kiện của phương trình sin 2x0,sin 3x0, cos 2x0

Phương trình tương đương 2 cot 2xtan 2x3cot 3x

sin 2 0cos 2 sin 2 cos 3

sin 3 3sin 3 cos 4 3 cos 3 sin 4 sin 3 3sin

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 56: Giải phương trình cos4 cos2

23

x

k x

ĐK sin 2x 1

2

ĐK sin 2x 0

x x

Câu 60: Phương trình: 4 sin sin sin 2 cos 3 1

.2

Ta có 4 cos 22 xsin 22 x3cos 22 x 1 0,   x

2

Câu 62: Cho phương trình: sin sin 3 cos 3 3 cos 2

Điều kiện: 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương 5 sin 2 sin sin 2 sin 3 cos 3 3 cos 2

1 2 sin 2

x x

x x

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình

Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

Vậy ta có 5 điểm

1 cos xcos 2xcos 3x0

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

Mà

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc

?

Hướng dẫn giải Chọn B

6sin

2

526

x k x

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

Hướng dẫn giải Chọn C

Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình

;32

2 sin

3297

3 sin

1281

Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

Phương trình

Vậy tổng các nghiệm trên của phương trình là:

Hướng dẫn giải Chọn C

+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích

+ Với phương trình (2) có thể giải cách khác như sau:

, phương trình này vô nghiệm do

A.trên đoạn phương trình có 1 nghiệm

B.trên đoạn phương trình có 2 nghiệm

C.trên đoạn phương trình có 3 nghiệm

D.trên đoạn phương trình có 4nghiệm

Hướng dẫn giải Chọn A

Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc

Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sẽ tự nhiên hơn Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp giải khác để linh hoạt khi làm bài

cos 2xsinx  cos 2xsinx  cos 2x sinx 2

cos 2x sinx2 4 3cos 4x cos 2x sinx2 7

cos 4 1cos 2 1 (I)cos 4 1

Phương trình có tổng các nghiệm trong

khoảng là:

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương

Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc là

Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích

là:

Hướng dẫn giải Chọn D

32

Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có

nghiệm

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

-Giải (2) có

Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc

Vậy có 1 giá trị nguyên của là

Câu 75: Phương trình sin 2x2 cosxcos 2xsinx là phương trình hệ quả của phương trình:

2

x x

Hướng dẫn giải Chọn C

pt2 sin cosx x2 cosx 2 sinx2sinx 1

Từ bảng biến thiên suy ra 2

Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong 0; 2 để ba phần tử của Ssin ,sin 2 ,sin 3   trùng

với ba phần tử của T cos , cos 2 , cos 3  

Hướng dẫn giải :

Ta có: sin sin 2sin 3 cos cos 2cos 3

2cos 1 sin 2  2 cos 1 cos 2 

k k

k k

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ

Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanxmcotx8 có nghiệm

Câu 79: Biến đổi phương trình cos 3xsinx 3 cos xsin 3x về dạng sinax b sincx d 

với b, d thuộc khoảng ;

cosxsinx 2 m 1 vônghiệm

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình

m1 sin x m cosx 1 m có nghiệm

Hướng dẫn giải

Phương trình

-Giải (2) có

Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc

Vậy có 1 giá trị nguyên của là

Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2x2m1 cos x m   có nghiệm trên 1 0 ;3

2cos

+) Điều kiện: cosx 0

Khi đó, phương trình tương đương với

Nên phương trình có nghiệm kh và chỉ khi  0 0

4

m m





   



Vì 0m10nên m1, 2, 9 Vậy có 9 giá trị

Câu 88: Phương trình sin 4xtanx có nghiệm dạng xk  và x marc cosn k  k  thì

Điều kiện: cos 0 ;

2



Phương trình sin 4 cosx xsinx

2 sin 2 cos 2 cosx x x sinx 0

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x2m1 cos x m  1 0

có nghiệm trên khoảng ;3