KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYấNVÙNG DUYấN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM Mụn: TOÁN Lớp 11 Bài 1: Từ điều kiện x và y>0 và phương trỡnh thứ nhất suy ra x và y... Giả sử x
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYấN
VÙNG DUYấN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM Mụn: TOÁN Lớp 11
Bài 1:
Từ điều kiện x và y>0 và phương trỡnh thứ nhất suy ra x và y<1 (0.5 điểm)
Xột hàm số f(x)=xlnx trờn (0,1), dựng đạo hàm ta được f(x)≥-1/e với mọi x
thuộc (0,1) (1 điểm)
Vậy ta cú xlnx ≥-1/e và ylny≥-1/e, do đú ln ln 1 / 2
y y e
x
Mặt khỏc 2 2 2 2 2
Như vậy dấu bằng ở (*) và (**) phải xảy ra, tức là x=y=1/e và 2 2 1
y
tồn tại x và y như vậy (1 điểm)
Vậy hệ phương trỡnh vụ nghiệm.
Bài 2
Giả sử tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và A B C trùng nhau tại O.2 2 2
Khi đó:
0
0
1 180
A
Do đó OB2 AC OB2 là trung trực của AC,
nên A A C C nằm trên đờng tròn tâm , , ,1 1 B 2
Tơng tự
B A I AC I C A B A B IC
Tơng tự suy ra I là trực tâm của tam giác A B C 1 1 1
Ngợc lại giả sử I là trực tâm của tam giác A B C 1 1 1
Do đó A A C C nội tiếp và từ đó , , ,1 1 B nằm trên trung trực của AC.2
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do O nằm trên trung trực của
2
A
OB C CAI .
B2
C2
A2
B1
A1
C1
C
Trang 2Tơng tự
2
A
OC B BAI OB OC .
Tơng tự suy ra O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác A B C 2 2 2
Bài 3:
a) 1+ 2
1
a 2aa1 > 0 a2a
2 2
1 2
1
Ta chứng minh an
n
2
1
(1), n 2a bằng phơng pháp quy nạp toán học
Mệnh đề (1) đúng với n = 2a Giả sử (1) đúng với n = k 2a ak
k
2 1
Xét hàm f(x) = 2
1 x
x
0 x 1
Ta có f'(x) = 0 , ( 0 , 1 )
) 1 (
1
2 2
2
x x
x
f(x) đồng biến trên (0,1)
Vì 0 < ak
k
2
1
< 1 f(ak) f (
k
2
1
) =
1 2
2
k
k < 2(1 1)
k ak+1< 2(1 1)
k
Vậy mệnh đề (1) đúng với n = k+1
Theo nguyên lý quy nạp toán học, (1) đúng với n 2a
2 2
1 1
n n n n
n n
a
1 12 2
1
2
1
2
2
a
a
a
2 1
1
2
2
2
2
2
3
a
a
a
.
2 1
1
2
2
2
1
n
a
n a
a n a a
a a
a
1 1
3
1 2
1 1 2
1
1 1 1 1
2 1
2 1 2
2 3 2 2 2 1
2
1
2
1
n n n
n n
1
3 2
1 2 1
1 ) 1 ( ) 1 ( 1
3
1 2
1 1
3
1
2
1
2 2
2 2
n
n n
1 1
1 1
1
3
1 2
1 2
1
1
2 2 1 1
2 1
2
1
2
1
n n a
a
a n
2a
1
2 ) 1 ( 2
1 1
1 )
1
(
1
2 1
2 1 2
n n
n a
a n a
Trang 3Vì 2
1
2 ) 1 ( 2
1 1
1
1
2
n n
n a
a n
n
) 1 (
1
2 1
n
a
n nlim 12
n
na = 2a nlim (n 2
n
a )=
2 1
Bài 4:
áp dụng công thức nội suy Lagrange:
Suy ra với x;1 ta có: ( )(1 ) (1 )( 1) ( )( 1)
( )
2
1
2 2
Đẳng thức xảy ra
( 1) 1 1 2
f x
hoặc
1 2
f x
Mà
2 [ ;1]
( )
Max f x
( 1) 1
f
f
2
1 ( )
x
2
1 ( )
x
Bài 5:
Giả sử m, n tơng ứng là số điểm màu xanh và số điểm màu đỏ đã cho
một điểm màu đỏ và là điểm xanh loại 2a nếu nó đợc nối với đúng hai điểm màu đỏ Giả sử x là số điểm xanh loại 1 và y là số điểm xanh loại 2a
2
n
Ta gọi một phơng án xoá các điểm là phơng án tốt nếu với các điểm còn lại, mỗi
điểm màu xanh đợc nối với đúng một điểm màu đỏ và trong các điểm bị xoá có đúng
k điểm màu đỏ
Xét phơng án xoá điểm sau: Xoá k điểm màu đỏ tuỳ ý và xoá các điểm màu xanh sau
đây:
điểm đã bị xoá
0,5
0,5
1,0
0,5
Trang 4trong số k điểm đã bị xoá.
Dễ thấy, phơng án xoá điểm nêu trên là một phơng án tốt Ngợc lại, trong mỗi
ph-ơng án xoá tốt, cùng với k điểm màu đỏ đã bị xoá ta phải xoá tất cả các điểm màu xanh có tính chất nh đã mô tả ở trên
k n
2
k n
k
C
n
k n
k
xC
2
1
n
C
S
n
k
C
2
1
1
1
n
k n
k
C
2
1
2
2
2
Ta có
2 2
m y x
2
n
2
n m k
ph-ơng án tốt này thoả mãn điều kiện đề bài
1,0
0,5