Phần chung cho tất cả thí sinh Câu I 3,0 điểm.. Gọi D là trung điểm cạnh AB.. Tính góc giữa AC và SD 2.. Tính khoảng cách giữa BC và SD.. Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm p
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II ( NĂM HỌC 2008 – 2009 )
MÔN TOÁN LỚP 12 ( Thời gian làm bài 120’)
I Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3+3x2– 4 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox trên [0;1]
Câu II (2,0 điểm)
a) Giải phương trình log 2 ( 3 −x) + log 2(1 −x)= 3
b) Tính: I1 = 2
0
(2x 1) cosxdx
π
−
∫
Câu III (2,0 điểm)
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4 Cạnh bên SA = 5 vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm cạnh AB
1 Tính góc giữa AC và SD
2 Tính khoảng cách giữa BC và SD
II Phần riêng.
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần riêng dành cho chương trình đó
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IV.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng:
( )1
x 1
z 3 t
=
= − +
= +
và ( )2
d : y 3 2u
= −
= +
= −
1 Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau
2 Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2) Câu Va (1,0 điểm)
Cho 1
1
i z i
−
= + Tính ( )2009
2009
A z= + z
2 Theo chương trình nâng cao
Câu IV b (2,0 điểm).Cho đường thẳng (d) :
x t
=
= −
= −
và 2 mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) :
x + 2y + 2z + 7 = 0
1) Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P)
2) Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P)
và (Q)
Câu Vb (1,0 điểm)
Tìm GTNN y = x – 5 + 1x với x > 0
- HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HK II ( NĂM HỌC 2008 – 2009 )
MƠN TỐN LỚP 12
Câu I ( 3,0 điểm )
1 (2 điểm )
Tập xác định: D = R
y′= 3x2+6x = 3x(x+2) 0 0 4
y
= ⇒ = −
′ = ⇔ = − ⇒ =
gh
Lập bảng biến thiên
x −∞ -2 0 +∞
y/ + 0 - 0 +
y 0 +∞
-∞ -4
Đb,nb cđ,ct 6 6 y′′ = x+ cho y′′= 0 ⇔x= –1 ⇒ y= -2 Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thị hàm số:
2.(1điểm )
+ Giao điểm của (C) với Ox trên [0;1] là x = 1
+ Diện tích hình phẳng cần tính là :
S = ∫1 + = 1∫ + ∀ ∈
= 14x x4+ −3 4 x ÷ 10 = 114 (đvdt)
CÂU II: (2 điểm)
a log2( 3 −x) + log2(1 −x) = 3 đk: x<1
=> log (3 2 −x)(1 −x) 3 =
<=> x2 – 4x – 5 = 0 <=> x = -1 và x = 5
Vậy phương trình cĩ nghiệm x= 5
0
π
Câu III (2 đ)
2
-2
-4
-5
>
x ^ y
Trang 3Cõu IVa (2điểm)
1)Ta có : AB = 2 5,
Gọi M là trung điểm của BC ,
ta có : DM = 1
SD = SA 2 + AD 2 = 30,
SC = SA 2 + AC 2 = 29
SM = SC 2 + CM 2 = 33
Ta có : cos SDM SD2 MD2 SM2 30 1 33 1
Góc ϕ giữa hai đờng thẳng AC và SD là góc giữa hai đờng thẳng DM và SD hay ϕ
bù với góc ∠SDM Do đó : cosϕ = 1
30
2) Kẻ DN // BC và N thuộc AC Ta có : BC // ( SND) Do đó :
d(BC, SD) = d( BC/(SND)) = d(c/(SND))
Kẻ CK và AH vuông góc với SN , H và K thuộc đờng thẳng SN
Ta có : DN // BC ⇒ DN ⊥ AC ( )1
Và SA ⊥(ABC)⇒ SA ⊥ DN ( )2
Từ (1) và (2) suy ra : DN ⊥( SAC) ⇒ DN ⊥ KC ( )3
Do cách dựng và (3) ta có : CK ⊥(SND) hay CK là khoảng cách từ C đến mp(SND) Mặt khác : ΔANH = ΔCNK nên AH = CK
Mà trong tam giác vuông SAN lại có :
Vậy khoảng cách giữa BC và SD là : CK = 5
26
1 Đờng thẳng (d1) đi qua M1( 1; -4; 3) và có VTCP uuur1 =(0; 2;1)
Đờng thẳng (d2) đi qua M2( 0; 3;-2) và có VTCP uuur2 = −( 3; 2;0)
Do đó : M Muuuuuur1 2 = −( 1;7; 5 − ) và u , uuur uur1 2 = − − ( 2; 3;6)
Suy ra u , u M Muur uur uuuuuur1 2 1 2 = − ≠49 0 Vậy (d1) và (d2) chéo nhau
2 Lấy A( 1; -4 + 2t; 3 + t) thuộc (d1) và B(-3u; 3 + 2u; -2) thuộc (d2) Ta có :
AB = − − 3u 1;7 2u 2t; 5 t + − − −
uuur
A,B là giao điểm của đờng vuông góc chung của (d1) và (d2) với hai đờng đó
1
2
uuur uur
uuur uur
Suy ra : A( 1; -2; 4) và B(3; 1; -2) ⇒ ABuuur=(2;3; 6 − ) ⇒ AB = 7
Trung điểm I của AB có tọa độ là : ( 2; -1
2; 1) Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I và bán kính là AB/2 và có PT :
( )2 1 2 ( )2 49
Trang 4Cõu Va (1 đ) Cho 1
1
i z i
−
= + Tớnh ( )2009
2009
A z= + z
+ z = -i => z= i
+ A = 2009 ( )2009
( ) −i + i = -i + i = 0 Cõu IV b (2 đ)
Vậy (d’) có PTCT :
x 1 y 1 z 1
−
9
Cõu Vb (1 đ)
C1: sử dụng sự biến thiờn của hàm số Kết quả: Min ( 0 ; )
±∞ y=f(1)= -3
1 + Đờng thẳng (d) đi qua M(0; -1; 0) và có VTCP uuurd =(1;0; 1 − )
+ Mp (P) có VTPT : nuurP =(1; 2; 2)
Mp (R) chứa (d) và vuông góc với (P) có VTPT :
n =u ; n = 2; 3; 2−
uur uur uur
Thay x, y, z từ Pt của (d) vào PT của (P) ta có :
t - 2 - 2t + 3 = 0 hay t =1 Suy ra (d) cắt (P) tại K(1; -1; -1)
Hình chiếu (d’) của (d) trên (P) đi qua K và có VTCP :
u =n ; n = 10; 2; 7−
uur uur uur
2 Lấy I(t; -1; -t) thuộc (d) , ta có :
d1 = d(I, (P)) = 1 t
3
−
; d2 = d(I, (Q)) = 5 t
3
−
Do mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) và (Q) nên : R = d1 = d2
⇔ | 1 - t | = | 5 - t | ⇔ t = 3
Suy ra : R = 2/3 và I = ( 3; -1; -3 ) Do đó mặt cầu cần tìm có PT là :
Trang 5C2 :Áp dụng COSI cho 1x và x
x + 1x ≥ 2
<=> x – 5 + 1x ≥ -3
Đẳn thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Kết quả: Min(0; )
±∞ y=f(1)= -3
- HẾT
