Bao cao PTĐGTT

Báo cáo Môn Đánh giá và phân tích thuật toán

CHƯƠNG 1: LUỒNG CỰC ĐẠI

Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong số những bài toán tối ưu trên

đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng trong lý thuyết tổ hợp Bài toán được đề xuất vào Đầu Những Năm 1950, và gắn liền với tên tuổi của hai nhà bác học Mỹ là Ford và Fulkerson

1 Mạng

Định nghĩa: Ta gọi mạng là đồ thị có hướng G = (V,E), trong đó có duy nhất

một đỉnh s không có cung đi vào gọi là điểm phát, duy nhất một đỉnh t không có cung

= c(v,w) gọi là khả năng thông qua của cung e.

Để thuận tiện cho việc trình bày ta sẽ quy ước rằng nếu không có cung (v,w) thì khả năng thông qua c(v,w) được gán bằng 0

2 Luồng trên mạng

Định nghĩa: Giả sử cho mạng G = (V,E) Ta gọi luồng f trong mạng G = (V,E)

f(v,w), gọi là luông trên cung e, thoả mãn các điều kiện sau:

f (e) ≤ c(e),

+ Điều kiện cân bằng luồng trên mỗi đỉnh của mạng : Tổng luồng trên các

0 ) , ( )

( )

(

) ( )

(















w

Div

Trong đó  (v)

 - tập các đỉnh của mạng mà từ đó có cung đến v, (v)

 - tập các đỉnh

của mạng mà từ v có cung đến nó:

 : ( , ) , ( )  : ( , )  )

3 Giá trị của luồng

) , ( )

, ( )

(

) ( )

(





















t w s

w

t w f w

s f f

val

1

Giá trị của một luồng được tính bằng tổng giá trị trên các cung đi ra từ đỉnh nguồn s (đỉnh 1 Hình 1), hoặc tổng giá trị trên các cung đi vào đỉnh thứ t (đỉnh 6 Hình 1)

Hình 1: Luồng cực đại Hai số trên từng cạnh tương ứng là giá trị luồng -  và khả năng

thông qua của từng cặp cạnh - f x0 là đỉnh phát, z là đỉnh thu.

4 Ứng dụng thực tế Ví dụ

- Xét đồ thị tương ứng hệ thống ống dẫn dầu Trong đó các ống tương ứng với các cung, điểm phát là tàu chở dầu, điểm thu là bể chứa, các điểm nối của ống là các nút của đồ thị Khả năng thông qua của các cung tương ứng là tiết diện các ống Cần phải tìm luồng dầu lớn nhất có thể bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa

- Xác định cường độ lớn nhất của dòng vận tải giữa 2 nút của một bản đồ giao thông

- Bài toán cặp ghép: có m chàng trai và n cô gái Mỗi chàng trai ưa thích một

số cô gái Hãy tìm cách ghép cặp sao cho số cặp ghép được là nhiều nhất

5 Một số thuật toán về luồng cực đại

5.1 Bài toán luồng cực đại trên mạng

5.1.1 Lát cắt Đường tăng luồng

- Lát cắt

Định nghĩa Ta gọi lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của

mạng ra thành hai tập X và X*=V \ X, trong đó s ∈ X và t ∈ X* Khả năng thông qua của lát cắt (X,X*) là số.

Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất

Bổ đề 1 Giá trị của mọi luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn bằng khả năng thông

qua lát cắt (X,X*) bất kỳ trong nó: val(f) <= c(X,X*)

Hệ quả 1 Giá trị luồng cực đại trong mạng không vượt quá khả năng thông

qua của lát cắt hẹp nhất trong mạng Giả sử f là một luồng trong mạng G = (V,E) Từ mạng G = (V,E) ta xây dựng đồ thị có trọng số trên cung Gf =(V,Ef), với tập cung Ef

và trọng số trên các cung được xác định theo quy tắc sau:

* Nếu e = (v,w) ∈ E với f(v,w) = 0, thì (v,w)∈ E f với trọng số c(v,w);

* Nếu e = (v,w) ∈ E với f(v,w) = c(v,w), thì (v,w)∈ E f với trọng số f(v,w);

* Nếu e = (v,w) ∈ E với 0 <f(v,w) < c(v,w), thì (v,w)∈ E f với trọng số c(v,w) -f(v,w) và (w,v) ∈ E f với trọng số f(v,w).

Các cung của Gf đồng thời cũng là cung của G được gọi là cung thuận, các cung còn lại gọi là cung nghịch Đồ thị Gf được gọi là đồ thị tăng luồng

Ví dụ: Các số viết cạnh các cung của G ở hình 1 theo thứ tự là khả năng thông qua và luồng trên cung

- Đường tăng luồng.

Giả sử P = (s = v0,v1,v2,…,vk= t) là một đường đi từ s đến t trên đồ thị tăng luồng Gf Gọi d là giá trị nhỏ nhất của các trọng số của các cung trên đường đi P Xây dựng luồng f' trên mạng G theo quy tắc sau:

f(u,v) = f(u,v) + d, nếu (u,v) ∈ P là cung thuận

f(u,v) = f(u,v) - d, nếu (u,v) ∈ P là cung nghịch

f(u,v) = f(u,v), nếu (u,v) không

Ví dụ: Dãy { (x 0 x 1 ) (x 1 x 4 ) (x 4 x 3 ) (x 3 z) } là đường tăng được Thêm vào các cung trên dãy này một giá trị là 2 Hàm ’ nhận được vẫn là luồng.

3

Hình 2: Đường tăng luồng

Dễ dàng kiểm tra được rằng f' được xây dựng như trên là luồng trong mạng và val(f')= val(f) + d Ta sẽ gọi thủ tục biến đổi luồng vừa nêu là tăng luồng dọc theo đường P

5.1.2 Thuật toán Ford-Fulkerson

+ Xuất phát từ một luồng chấp nhận được f.

+ Tìm một đường đi tăng luồng P Nếu không có thì thuật toán kết thúc Nếu

có, tiếp bước 3 dưới đây.

Trong đó (P) - Lượng luồng tăng thêm, hay nói khác là làm sự tăng luồng (flow augmentation) dọc theo đường đi tăng luồng P một lượng thích hợp mà các ràng buộc của bài toán vẫn thoả

Cách tìm đường đi tăng luồng Ta sử dụng thuật toán gán nhãn có nội dung

như sau Một đường đi P thoả mãn về đường đi tăng luồng, nhưng chỉ đi từ s đến k nào đó (chưa tới t, nói chung) sẽ được gọi là đường đi chưa bão hoà (unsaturated

path)

Ta nói đỉnh u là đã đánh dấu (u is labeled) nếu ta biết là có một đường đi chưa bão hoà từ s tới u Bây giờ ta sẽ xét tất cả các đỉnh v có nối trực tiếp đến đỉnh u (sẽ gọi là ở cạnh đỉnh u) xem chúng có thể được gán nhãn hay không khi u đã gán nhãn Việc này được gọi là thăm (scanning) đỉnh u

Nếu (u,v) có luồng trên cung F(u,v) < C(u,v) thì ta có thể nối thêm cung (u,v)

và đường đi chưa bão hoà P từ s đến u để được đường đi chưa bão hoà tới v Vậy v có thể gán nhãn

Bước lặp tăng luồng (Ford - Fulkerson): Tìm dường tăng P đối với luồng hiện

có Tăng luồng dọc theo đường P.

Khi đã có luồng cực đại, lát cắt hẹp nhất có thể tìm theo thủ tục mô tả trong chứng minh định lý 1

Thuật toán Ford – Fulkerson được mô tả trong thủ tục sau:

Procedure Max_Flow;

(* Thuật toán Ford – Fulkerson *)

begin

(* Khởi tạo: Bắt đầu từ luồng với giá trị 0 *) for u  V do

for v  V do f(u,v):=0;

Stop:=false;

While not Stop do

if< Tìm được đường tăng luồng P> then <Tăng luồng dọc theo P>

else Stop:= true;

end;

* Thuật toán gán nhãn (The labeling algorithm)

Gọi VT là tập mọi đỉnh đã gán nhãn nhưng chưa được thăm Ta có thuật toán để

tìm đường đi tăng luồng

Xuất phát với VT = {s} và s là nút đã đánh dấu duy nhất.

Một bước lặp sẽ có VT hiện hành và gồm ba bước như sau.

dạng (u,v) và (v,u).

vào tập V T

tập V T

5

Sơ đồ thuật toán Ford-Fullkerson tổng quát

Định lý 2 (Định lý về luồng cực đại trong mạng và lát cắt hẹp nhất) Luồng

cực đại trong mạng bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất

Định lý 3 (Định lý về tính nguyên) Nếu tất cả các khả năng thông qua là các

số nguyên thì luôn tìm được luồng cực đại với luồng trên các cung là các số nguyên.

5.2 Thuật toán song song tìm luồng cực đại

Hiện nay, mô hình xử lý song song đã và đang phát triển mạnh mẽ giải quyết những vấn đề bế tắc mà mô hình xử lý tuần tự gặp phải như vấn đề thời gian thực hiện

False

True

False

True

Begin

Mạng với luồng zero

Stop:= False

not Stop Find_Path Path-Found

Tăng luồng

Stop:= False

Mạng với luồng

cực đại

End

chương trình, tốc độ xử lý, khả năng lưu trữ của bộ nhớ, xử lý dữ liệu với quy mô lớn

Trong bối cảnh đó, thuật toán tìm luồng cực đại cần được phát triển theo hướng song song nhằm phát huy sức mạnh của bài toán

5.2.1 Bài toán tìm luồng cực đại trên mạng

Cho mạng G(V,E,C), nguồn a, đích z Trong số các luồng trên mạng G, hãy tìm luồng có giá trị lớn nhất

5.2.2 Ý tưởng thuật toán

Dựa trên thuật toán truyền thống và thuật toán hoán chuyển nguồn đích, xây dựng thuật toán song song tìm luồng cực đại Ý tưởng của phương pháp này là thay vì trong thuật toán truyền thống dùng một bộ vi xử lý thực hiện công việc tuần tự từ đỉnh nguồn đến đỉnh đích Trong thuật toán song song sử dụng hai bộ vi xử lý thực hiện công việc song song, vi xử lý 1 xuất phát từ đỉnh nguồn, vi xử lý 2 xuất phát từ đỉnh đích Hai vi xử lý trong quá trình tìm đường tăng luồng sẽ gặp nhau ở đỉnh trung gian

t nào đó, công việc tiếp theo vi xử lý 1 xử lý công việc từ đỉnh t đến nút nguồn, vi xử

lý 2 xử lý công việc từ đỉnh t đến nút đích

5.2.3 Xây dựng thuật toán song song

 Đầu vào: Mạng GV,E với nguồn a, đích z, khả năng thông qua:

 ij ,  ,

C  c i j �G

Các đỉnh trong G được sắp xếp theo thứ tự nào đó

 Đầu ra: Luồng cực đại F  f ij ,  i,j G

 Các bước

Bước1: Khởi tạo Bước 2: Sinh nhãn Bước 3: Hiệu chỉnh tăng luồng, xóa nhãn

Đây là thuật toán song song tổng quát, có thể áp dụng hiệu quả cho các loại mạng Nếu thuật toán được cài đặt trong môi trường xử lý song song tối ưu, dự kiến thời gian tính toán sẽ giảm đi một nửa so với thuật toán truyền thống

7

Start getData

Client

1

Connect

Init()

Waiting

St

op

Server

Connect

getNetworks

getData

Exit

getStep

Step

=2

Step

=3

Step

=4

Assign _label

Stop=True

Inc_flow Del_label

Waiting

getData

Client 1 Connect

Init() Waiting

St op

getDat a

End CheckSteped

Step

ed

=2

Display _Maxflow

If(c1ed=4|

c2ed=4)then c1ed=4, c2ed=4, Step=4;

Thong bao dung C1, C2

if(c1ed1=3&c2ed=3 ) then c1ed=1, c2ed=1, Step=2, Danh thuc C1, C2 sinh nhan l

If(c1ed1=2|c2ed=2) then c1ed=2, c2ed=2, Step=3, Danh thuc C1, C2 tang luong, xoa nhan

Step ed=1

=2

If(c1ed=1&c2ed=

1) then Step=2;

Danh thuc C1, C2 sinh nhan

St op

getData

Exit

getStep

Step

=2

Step

=3

Step

=4

Assign _label

Stop=True

Inc_flow Del_label

Waiting

Step

ed

=3

Step

ed

=4

T F

T

T

T

T

F

F

F

F T

T

T

T

F

F

F

F

F

T

T

T

T

F

F

F

F

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

1 Ứng dụng thuật toán Ford-Fullkerson giải bài toán luồng cực đại

Bài toán thực tế:

Dầu được bơm từ tàu chở dầu (đỉnh s) qua các trạm trung chuyển (các đỉnh b,

c, d, e) tới bể chứa (đỉnh t) Các cung có hướng của đồ thị biểu diễn các đường ống dẫn và cho biết hướng của luồng dầu trong ống Các số trên cung là các khả năng thông qua (có thể hiểu là thiết diện) của các ống dẫn dầu tương ứng Cần xác định luồng dầu lớn nhất có thể bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa bằng cách nào (lượng dầu bơm qua từng trạm theo các đường ống đã cho)?

Áp dụng thuật toán Ford-Fullkerson tìm luồng cực đại bằng cách gán nhãn cho đỉnh của mạng G với luồng f được cho như Hình 3, hai số viết bên cạnh mỗi cung là khả năng thông qua và luồng của các cung Kết quả các bước của thuật toán mô tả bởi các đồ thị và bảng dưới đây Mạng với luồng cực đại thu được ở Hình 4 Lát cắt bé nhất là X = {s,c}, X* = {b,d,e,t} và giá trị luồng cực đại là 9

Hình 3

+ Bước lặp 1: s  b  d  t, 1 = 1

3,0 3,1

t

d b

5,2

1,1

6,1

6,5 6,4

5,4

s

3,0 3,1

t(d+,1)

d(b+,1) b(s+,1)

5,2

1,1

6,1

6,5 6,4

5,4

s (s,)

d b

3,0 3,1

t

5,2

1,1

6,1

6,6 6,5

5,5

s

+ Bước lặp 2: s  c  d  b  e  t, 2 = 2

+ Bước lặp 3: Không còn đường tăng luồng, Val(f max ) = 5+4 = 9

Hình 4 Mạng G với luồng cực đại và lát cắt hẹp nhất

Độ phức tạp của thuật toán:

Nếu các khả năng thông qua là các số rất lớn thì giá trị luồng cực đại cũng có thể là rất lớn và khi đó thuật toán mô tả ở trên sẽ đòi hỏi rất nhiều bước tăng luồng

Ví dụ trong hình 5 sẽ minh hoạ cho điều này Hình 5(a) mô tả mạng cần xét với khả năng thông qua trên các cung Hình 5(b) mô tả luồng trên các cung (số thứ hai bên cạnh cung) sau khi thực hiện tăng luồng dọc theo đường tăng luồng (s,a,b,t) Hình 5(c) mô tả luồng trên các cung sau khi thực hiện tăng luồng dọc theo đường tăng luồng (s,b,a,t) Rõ ràng, sau 2.106 lần tăng luồng theo đường (s,b,a,t) và (s,b,a,t) một cách luân phiên ta thu được luồng cực đại

9

3,0 3,1

t(e+,2)

d(c+,2) b(d-,2)

5,2

1,1

6,1

6,6 6,5

5,5

s (-,)

d b

3,2 3,3

t

5,4

1,1

6,3

6,6 6,3

5,5

s

d b

3,2 3,3

t

5,4

1,1

6,3

6,6 6,3

5,5

s

Hình 5: Ví dụ tồi tệ với thuật toán Ford- Fulkerson

Hơn thế nữa nếu các khả năng thông qua là các số vô tỷ, người ta còn xây dựng được ví dụ để cho thuật toán không dừng, và tệ hơn là dãy các giá trị luồng xây dựng theo thuật toán hội tụ thì nó còn không hội tụ đến giá trị luồng cực đại Như vậy, muốn thuật toán làm việc hiệu quả, việc lựa chọn đường tăng luồng cần được tiến hành hết sức cẩn thận

Edmonds và Karp chỉ ra rằng nếu đường tăng luồng được chọn là đường ngắn

nhất từ s đến t trên đồ thị Gf Điều đó có thể thực hiện, nếu trong thủ tục tìm đường

tăng Find_Path mô tả ở trên, danh sách VT được tổ chức dưới dạng QUEUE (nghĩa là

ta thực hiện tìm đường tăng bởi thủ tục tìm kiếm theo chiều rộng) thì thuật toán sẽ kết

thúc sau không quá mn/2 lần sử dụng đường tăng luồng Nếu để ý rằng, tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị đòi hỏi thời gian O(n+m), thì thuật toán thu được sẽ có độ phức tạp tính toán là O(nm 2 ).

2 Chương trình ứng dụng

2.1 Dữ liệu đầu vào

Input: file văn bản “luong.inp”

- Dòng 1: Chứa 3 số nguyên là số đỉnh của mạng n, đỉnh phát s, đỉnh thu t

- Các dòng tiếp theo: Là một ma trận kích thước n x n thể hiện ma trận trọng số của đồ thị có hướng minh hoạ cho mạng cần tìm luồng cực đại

s

t

10 6

10 6

10 6

10 6

1

b a

(a)

s

t

10 6 ,0

10 6 ,1

10 6 ,1 106 ,0

1,1

b a

(b)

s

t

10 6 ,1

10 6 ,1

10 6 ,1

10 6 ,1 1,0

b a

(c)

2.2 Dữ liệu đầu ra

Output:Dữ liệu đầu ra được cho trong file Luong.out có dạng như sau:

- Phần đầu tiên là một ma trận kích thước n x n thể hiện luồng cực đại tìm được (phần tử (i,j) của ma trận là luồng trên cung (i,j))

- Dòng tiếp theo là một số nguyên cho biết giá trị luồng cực đại trong mạng

2.3 Mô tả dữ liệu

Hình 6

Mô tả dữ liệu dựa trên hình 6

6 1 6

0 5 5 0 0 0

0 0 0 6 3 0

0 0 0 3 1 0

0 0 0 0 0 6

0 0 0 0 0 6

0 0 0 0 0 0

0 5 4 0 0 0

0 0 0 2 3 0

0 0 0 3 1 0

0 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 0 9

11

3,0 3,1

t

d b

5,2

1,1

6,1

6,5 6,4

5,4

s

Tài liệu tham khảo

[ 1 ] Nguyễn Đức Nghĩa – Nguyễn Tô Thành Toán rời rạc

[ 2 ] Lê Minh Hoàng Giải thuật và lập trình

[ 3 ] Kenet H Rosen Toán học rời rạc và ứng dụng trong tin học

[ 4 ] Nguyễn Anh Cường Xử lý tự động trong tin học văn phòng

[ 5 ] Nguyễn Anh Cường Hướng dẫn lập trình với C#

[ 6 ] http://www.khmt.123.st, Website của K23 CNTT, Học viện Kỹ thuật Quân sự http://www.fit.mta.edu.vn, Website của Khoa CNTT, Học viện Kỹ thuật Quân sự.