Xác định nhiệt dung debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng

Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới nghiên cứu và đưa ra khái niệm về nhóm lượng tử, đại số biến dạng và dao động biến dạng bởi vì chúng có nhiều ứng dụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,

người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu Đối với tôi cô luôn là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế

hệ trẻ

Nhân dịp này cho phép tôi được chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đõ tôi hoàn thành khóa học

Học viên

Bùi Thị Ánh Nguyệt

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: Xác định nhiệt dung

Debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng, tôi đã thực

sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành luận văn Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành là do sự nỗ lực

của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình và hiệu quả của PGS TS

Nguyễn Thị Hà Loan, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cảm

ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Học viên

Bùi Thị Ánh Nguyệt

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đóng góp mới 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q 3

1.1 Dao động biến dạng q-Boson 3

1.1.1 Dao động Boson 3

1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson 6

1.2 Dao động biến dạng q Fermion 10

1.2.1 Dao động Fermion 10

1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion 11

CHƯƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q 14

2.1 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin nguyên 14

2.1.1 Thống kê của Boson 14

2.1.2 Thống kê của Boson biến dạng q 15

2.2 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên 16

2.2.1 Thống kê của Fermion 16

2.2.2 Thống kê của Fermion biến dạng q 17

CHƯƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG 19

3.1 Nhiệt dung Debye 19

3.2 Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng 26

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới nghiên cứu và đưa ra khái niệm về nhóm lượng tử, đại số biến dạng và dao động biến dạng bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý như: chúng liên quan đến những vấn đề tán xạ ngược lượng tử trong cơ học thống kê, nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Bacter lượng tử, và đặc biệt chúng tỏ ra rất hữu ích trong việc nghiên cứu các môi trường đậm đặc, trong nghiên cứu quang lượng tử,…

Theo quan niệm của dao động biến dạng thì một hệ hạt được xem như là một hệ dao động biến dạng và nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận dao động biến dạng thì thống kê của các hạt boson được gọi là thống kê Bose-

Einstein biến dạng q và thống kê của các hạt fermion được gọi là thống kê Fermi-Dirac biến dạng q với một hi vọng rằng tính được hàm phân bố thống kê

biến dạng để tìm các đại lượng vật lý mô tả trạng thái của hệ nhiều hạt sẽ cho các kết quả gần với thực nghiệm hơn tính bằng hàm phân bố thống kê của trường hợp chưa biến dạng

Ở luận văn này, chúng tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để tính các hàm phân bố thống kê biến dạng cho các hệ nhiều hạt có spin nguyên

và spin bán nguyên và từ đó ứng dụng để tính các đại lượng vật lý mô tả trạng thái của hệ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu và áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp của vật lý thống kê

- Phương pháp của đại số lượng tử (đại số biến dạng)

5 Đóng góp mới

Áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể

n là trạng thái n hạt: số hạt n hay trạng thái n dao động tử

Biểu thức (1.1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các vector

riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa đƣợc biểu diễn theo các toán tử

sinh, hủy dao động tử a + ,a nhƣ sau:

H  N 

1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson

Dao động tử biến dạng q - Boson đơn mode được mô tả bởi các toán tử

hủy và toán tử sinh dao động tử a a,  tuân theo hệ thức giao hoán sau:

N

Trong đó: q là thông số biến dạng

N là toán tử số dao động thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

Chúng ta đưa vào không gian cơ bản Fock có các vector cơ sở là các vector riêng

của toán tử số dao động N là :

Nhận thấy biểu thức a a n q  n q n q của (1.20) đúng với n = 0,1,2

Giả sử biểu thức a a n q  n q n q đúng với n = k tức là: ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k+1

 1    1

1

k q

1

q q q

→ Điều phải chứng minh

Áp dụng biểu thức 1 của (1.20) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2:

n n

→ Điều phải chứng minh

Hamiltonian đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ x và toán tử xung lƣợng p có

 p x, i  N 1qq N qq N   q N q

 ,  N  1   

q

p x i q  q N

→ Điều phải chứng minh

Khi q = 1 thì (1.22) trở về hệ thức hoán vị thông thường  p x, i

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động điều hòa biến dạng trở về phổ

năng lượng của dao động tử điều hòa một thông thường:

2 12

Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo các toán tử sinh và hủy dao động tử b,

1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion

Các toán tử sinh và hủy b b, của dao động tử Fermion biến dạng q thỏa mãn hệ

Trong đó: q là thông số biến dạng

N là toán tử số dao động tử thỏa mãn hệ thức giao hoán

Trong chương 1 chúng ta đã viết tổng quan về dao động tử điều hòa và

dao động tử điều hòa biến dạng q của các hạt có spin nguyên và các hạt có spin

bán nguyên Đồng thời cũng xây dựng được không gian Fock cho các dao động

tử và nhận thấy khi thông số biến dạng tiến đến giá trị giới hạn (q→1) thì tất cả

các kết quả của các dao động biến dạng sẽ trở về dao động lúc chưa biến dạng

Hay nói cách khác, dao động biến dạng phản ánh các dao động của các dao động tử một cách tổng quát hơn Và dao động lúc chưa biến dạng là một

trường hợp riêng của dao động biến dạng

CHƯƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q 2.1 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin nguyên

2.1.1 Thống kê của Boson

Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ được định ngĩa qua

Z  n e  n

n n

Z e 

1 1

2.1.2 Thống kê của Boson biến dạng q

Đối với hệ các dao động tử Boson biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán:

n n

Nhận xét: Trong trường hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê (2.4) trở về phân

bố Bose-Einstein thông thường đối với hệ các Boson:

1 1

aa

e

 



2.2 Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên

2.2.1 Thống kê của Fermion

Tương tự như dao động tử Boson ta xác định thống kê cho dao động tử Fermion:

b b

e

 

2.2.2 Thống kê của Fermion biến dạng q

Khi các toán tử sinh và hủy hạt của hệ Fermion biến dạng q thỏa mãn hệ thức

q n

q n

Nhận xét: Trong trường hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê (2.8) trở về

phân bố Fermi-Dirac thông thường đối với hệ các Fermion:

1 1

bb

e

 



KẾT LUẬN CHƯƠNG II:

Trong chương 2 này chúng ta đã đi nghiên cứu một cách chi tiết các phân

bố thống kê của các dao động tử điều hòa và dao động tử biến dạng Nhận thấy:

1 Phân bố thống kê của các dao động tử điều hòa có spin nguyên có dạng:

1 1

3 Đặc biệt, trong trường hợp giới hạn q→1 thì phân bố thống kê biến dạng

của các dao động tử biến dạng sẽ trở về phân bố thống kê thông thường

Cụ thể: phân bố thống kê của các dao động tử q-Boson sẽ trở về phân bố thống kê Bose-Einstein; phân bố thống kê của các các dao động tử q-

Fermion sẽ trở về phân bố thống kê Fermi-Dirac

CHƯƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH

THỂ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG

3.1 Nhiệt dung Debye

Giả sử vật rắn gồm N nguyên tử, mỗi một nguyên tử đó dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng và có 3 bậc tự do Toàn bộ các nguyên tử trong vật rắn có 3N bậc tự do Mỗi một nguyên tử thường thực hiện các dao động phức tạp bao gồm nhiều chuyển động dao động điều hòa Tuy nhiên, trong một hệ bất kì, với các dao động nhỏ ta có thể lựa chọn những tọa độ suy rộng gọi là các tọa độ chuẩn, sao cho mỗi một bậc tự do sẽ chỉ ứng với một dao động điều hòa đơn giản Trong trường hợp đó, một vật rắn sẽ tương đương với một hệ gồm 3N dao động tử điều hòa, hệ này sẽ được diễn tả bằng 3N phương trình có dạng:

2

0

k k k

Q  Q  (k 1, 2, 3 )N (3.1) Trong đó, Q k

là tọa độ chuẩn

Đối với một hệ như vậy, hàm Hamilton được biểu diễn qua toán tử tọa độ

x và toán tử xung lượng p có dạng như sau:

H  N 

Lại có: 2 v và h 2 thay vào (3.2) ta được:

1 2

H hv N  

Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định từ phương trình

hàm riêng và trị riêng của toán tử H:

Ta đi tìm tổng trạng thái của một hệ dao động tử:

Năng lƣợng của dao động tử điều hoà tuyến tính với tần số v là

1 2

hạng của cấp số nhân vô hạn giảm dần ta đƣợc:

exp

2

1 exp

hv kT Z

hv kT

hv kT

1

exp exp

n n

n

d

n n

kT Z kT

z T kT

là năng lượng “dao động không”

Còn ở các nhiệt độ cao (T >> T d) năng lượng trung bình của dao động tử có trị số

cổ điển kT

Nhiệt dung C V ứng với một dao động tử được xác định theo công thức:

d V

Vì vậy đã xuất hiện một thuyết mới về nhiệt dung vật rắn, đó là thuyết Debye

(vào năm 1912)

Theo Debye các nguyên tử khác nhau dao động trong vật rắn với các tần

số khác nhau, và vì số nguyên tử là rất lớn cho nên thực tế ta có thể coi phổ các tần số riêng như là phổ liên tục Do có tương tác mạnh giữa các nguyên tử của vật rắn, ta có thể xem vật rắn như là một môi trường liên tục đàn hồi trong đó có

hình thành một hệ sóng đứng Số các sóng đứng đàn hồi trong thể tích V của vật

rắn sẽ đƣợc xác định theo công thức sau:

(thừa số 2 là do sóng ngang có 2 khả năng phân cực)

Nếu ta đƣa vào kí hiệu thu gọn

Hệ 3N dao động chuẩn với các tần số khác nhau, kể từ tần số 0 đến tần số cực

đại νmax Giá trị của νmax xác định từ điều kiện:

3 max 3

Tần số νmax được gọi là tần số Debye Nó tùy thuộc vào vận tốc truyền sóng âm

trong vật rắn và mật độ nguyên tử trong môi trường đó

Trên cơ sở đó ta viết lại (3.17)

3 max

Vì vậy thay (3.20) và (3.21) vào (3.22) ta được nội năng của vật rắn là

Chú ý, năng lƣợng không của vật rắn là giới nội bởi vì số dao động tử chuẩn là giới nội

Đặt biến số mới x hv

kT

 thì dx h dv

* Ta xét một số trường hợp đặc biệt sau đây:

1 Ở vùng nhiệt độ thấp, khi T T D

khi đó D

T

T có giá trị rất lớn Ta khảo sát hàm T D

D T

 

 

  trong trường hợp đó giới hạn trên của tích phân trong

hàm Debye tiến đến vô cùng

Tức là

 

3 0

Theo (3.25) ta tìm được công thức của năng lượng:

3.2 Xác định nhiệt dung Debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống

kê biến dạng

Dao động tử Bosson đơn mode biến dạng q được mô tả qua các toán tử sinh và

hủy hạt theo hệ thức giao hoán:

q n

W 0

N n

q e aa

truyền trong vật rắn nên νmax trong thể tích V của vật rắn có N nguyên tử sẽ ứng với 3N dao động độc lập:

 

max

3 max 3 0

4 3

q kT

hv q kT

C

T T X

* Khi T→0 (ở nhiệt độ rất thấp), tức là T C

T   thì ta có

3 0

6

X

Li q X

1

q Nk

1 216

4 3 3

KẾT LUẬN CHƯƠNG III:

Như vậy, trong chương 3 ta đã nghiên cứu nội năng và nhiệt dung đẳng tích của vật rắn khi coi vật rắn như một hệ dao động điều hòa Đồng thời cũng tính được nội năng và nhiệt dung đẳng tích của vật rắn khi coi vật rắn như một

hệ dao động điều hòa biến dạng

Kết quả cho thấy, nếu coi vật rắn như một hệ sóng đàn hồi lan truyền trong vật rắn thì nó sẽ giống như một hệ dao động biến dạng và các đại lượng vật

lý tìm được trong trường hợp này có giá trị tổng quát hơn khi ta coi vật rắn như

một hệ dao động điều hòa thông thường Cụ thể: khi thông số biến dạng q tiến

đến giá trị giới hạn (q→1) thì tất cả các kết quả khi coi vật rắn như một hệ dao động điều hòa biến dạng mà ta tìm được sẽ trở về các kết quả khi coi vật rắn như một hệ dao động điều hòa thông thường

Điều đó chứng tỏ, dao động biến dạng xem xét vấn đề một cách tổng quát hơn Và dao động khi chưa biến dạng là một trường hợp riêng của dao động biến dạng

KẾT LUẬN

Sau một thời gian tiến hành nghiên cứu, tìm hiểu về dao động tử điều hòa,

dao động tử biến dạng q tôi đã giải quyết được các nhiệm vụ cơ bản sau đây:

biến dạng q của các hạt có spin nguyên và bán nguyên

(2) Tính thống kê của các dao động tử điều hòa và dao động tử biến dạng q

tìm nhiệt dung Debye của mạng tinh thể

Và nhận thấy: các kết quả tính toán đối với các dao động biến dạng là tổng quát hơn Giá trị các đại lượng vật lý tìm được đối với dao động biến dạng

có chứa các kết quả của dao động lúc chưa biến dạng và có thể xem dao động lúc

chưa biến dạng như là một trường hợp riêng khi thông số biến dạng q tiến đến

giá trị giới hạn nào đó

Trong khoảng thời gian giới hạn, tôi đã hết sức cố gắng để trình bày cũng như hoàn chỉnh luận văn này nhưng vẫn không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý quý báu của các quý Thầy, Cô và của bạn đọc để tôi

có thể hoàn thiện luận văn được tốt hơn và sẽ nghiên cứu sâu sắc hơn khi điều kiện cho phép

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT

(1) Nguyễn Ngọc Long (2007), Vật lý chất rắn, cấu trúc và các tính chất của vật rắn, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

lý thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

cáo tổng kết đề tài KHCN cấp trường

(4) Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết của vật lý lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH

(7) E G Floratos (1990), The Many-body problem for the q-Oscillator,

Preprint LPTENS, Paris

(8) S Chaturvedi, A K Kapoor, R Saudhya, V Srinivasan, R Simon,

Generalized commutation relations for single mode oscillator, Preprint

University of Hyderabad

(9) W S Chung, A U Klimyk (1995), On Deformation of the Oscillator, Algebra, Preprint SNTUP 95-014