Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8

Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8 Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8

A Phương pháp giải toán tính diện tích

đa giác và chứng minh bằng phương pháp diện tích.

3

I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác 3

II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt

3

III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích

5

B Một số dạng bài tập áp dụng và hướng dẫn giải. 6

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác 6 II/ Các bài toán giải bằng phương pháp diện tích 14

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ về

Như chúng ta đã biết, cùng với sự phát triển tư duy của con

người, toán học ra đời Toán học là môn khoa học đặc biệt, môn khởi

đầu cho sự ra đời của các môn khoa học khác và cung rất cần thiết cho

các ngành khoa học kỹ thuật Toán học đã rèn luyện cho con người

nhiều đức tính quí: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì

Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học Hình

học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo

và khả năng phân tích tổng hợp Trong đó, một dạng toán tương đối

khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng tư duy cao, vận dụng linh hoạt những

kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc

điểm từng bài toán, đó là

" Diện tích đa giác và phưong pháp diện tích "

Trong quá trình giảng dạy cho học sinh của câu lạc bộ toán lớp 8

của trường tôi nhận thấy các bài tập về diện tích đa giác và chứng minh

bằng phương pháp diện tích rất hay và lí thú Chúng có mặt rất nhiều

trong các đề thi học sinh giỏi của Quận và trong các đề thi vào lớp 10

các trường chuyên

Chính vì vậy tôi đã viết SKKN về chuyên đề này để dạy cho học

sinh của câu lạc bộ toán lớp 8 của trường để giúp học sinh bớt lúng

túng khi gặp những bài tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố

những kiến thức cơ bản đã học và nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

Chuyên đề gồm

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác

II/ Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng

diện tích để tìm quan hệ về độ dài đoạn thẳng

2/ Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ

I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:

1 Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung

thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng)

2 Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau( tính bất biến)

3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một

đơn vị vuông ( tính chuẩn hóa)

4 Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy

tương ứng với hai chiều cao

5 Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều

cao ứng với cạnh đó

6 Tam giác đều cạnh a có diện tích

2

3 a

II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:

1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

2 Công thức tính diện tích hình vuông:

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

3 Công thức tính diện tích tam giác:

a) Diện tích tam giác:

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với

cạnh đó

b) Diện tích tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

h

b

a

4 Công thức tính diện tích hình thang:

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng

nửa tích của hai đường chéo đó

7 Công thức tính diện tích của hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo

III/ Cách giảI bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích:

1/ Để tính diện tích của một đa giác:

a

S = a.h

h a

+/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi

ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

+/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không

thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng

các tính chất đã nêu ở trên

+/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến

đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện

tích

2/ Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích:

+/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác dã nêu

ở trên Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện

tích của những hình ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai

hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên

quan để suy ra điều cần chứng minh

+/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích,

ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó

Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách;

Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các

yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố

tương ứng của hình được đưa ra

Cách 2: Thay điều kiện một đại lựợng đạt cực trị bằng các điều kiện

tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của

điểm để đạt cực trị

Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị:

+/ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

+/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

+/ Bất đẳng thức tam giác

+ / Các bất đẳng thức đại số

B Một số bài tập và hướng dẫn giải

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác

Để tính diện tích của một đa giác:

+/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi

ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

+/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không

thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng

các tính chất đã nêu ở trên

+/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến

đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện

tích

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O

là trung điểm của đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và

4.6 2

Phân tích đề bài và hướng giải:

Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD =

2

1

Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ

Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD

Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí

đặc biệt không bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD

D

A B

C

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM =

Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm

SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN

(b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ S MNPQ với SAMN vì

các đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của  AMN

Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua  APQ

Ta nhận thấy  APQ và  AMN có hai đáy cùng thuộc một đường

thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH Từ đó suy ra

lời giải của bài toán

PK MH.AN 2

1

PK.AQ 2

1 S

AD PM

N

M

Phân tích đề bài và hướng giải:

Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận ra phải sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không

3 6

5 AN

AQ AM

Bài 4: Cho  ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5 Vẽ các đường phân

giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF

( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999)

Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5

Nên ddcm  ABC vuông tại A

Ta có CF là phân giác ACB =>

5

4 CB

CA FB

( Dựa vào định lí đường phân giác

trong tam giác) => DC =

7 20

(*) SBFD =

7

10 7

15 3

4 2

1 2

20 2

3 2

1 2

Phân tích đề bài và hướng giải:

- Để tính được diện tích của  DEF thì ta phải đi tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC

Học sinh dễ dàng tính được

SABC, SAEF vì đó là hai tam giác vuông

- Để tính được SBFD, SDFC thì cần phải kẻ thêm đường cao

K H

E F

B

A

Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O

Đường trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a,

NA = b Tính diện tích hình thoi theo a và b

O

M

N H

HN MB

*) AHN ∽ AOB (g.g) =>

OB

HN AO

HN AH

*) AHN vuông tại H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago)

=> HA2(1 + 2

2 a

b

) = b2

Do đó HA2 = 2 2

2 2

b a

b a

 => AB2 = 4HA2 = 2 2

2 2

b a

b 4a

b

= 2 2

2 2

b a

b 4a



Do đó OA2 = 2

)

2 2

2 4

b (a

b 4a

 => OA = 2 2

2

b a

b 2a

 và OB = 2 2

2

b a

b 2a

3 3

b (a

b 8a



Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm Trên các cạnh

AB, BC, CD, DA thứ tự lấy các điểm E, F, G, H: AE = 10cm;

N M

16cm

14cm

12cm 10cm

H

G

F E

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

a) Ta nhận thấy để tính được S EFGH phải thông qua SABCD, SAEH, SEBF,

SFCG, SHGD là các hình tính được diện tích qua các công thức đã học

b) Vì tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh của tứ giác EFGH ở

những vị trí đặc biệt theo gt đã nêu Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa

tứ giác MNPQ với EFGH Từ đó tính được diện tích của tứ giác

= SEFGH5 1

Bài 7: Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo là 3 và

5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2 Tính diện tích hình

thang

P

E

K N

M

D

C B

DK



=> MNPC là hình bình hành => CP = MN = 2

Dựng hình bình hành ACKE ta có: CE = 4, EK = 3, CK = 5

=>  EKC vuông tại E => AC  CP

SCAK = 2.SACP = AC.CP = 6 đvdt

Vậy SABCD = 6 đvdt

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M, N, P lần lượt thuộc AB,

BC, CD sao cho AM : MB = 1:2 ; BN : NC = 2:3 ; CP : PD = 3:4

Nối CM, DN chúng cắt nhau tại điểm E Đường thẳng qua E song

song với AB cắt AP tại F Đường thẳng BF cắt AD tại Q

a) Tính DQ : QA ?

b) Tính S PEQ theo S ABCD ?

( Đề thi học sinh giỏi lớp 8 quận Ba Đình năm học 2000 - 2001)

E

P

N M

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

a) +/ Để tính DQ : DA ta cần xem tỉ số đó bằng tỉ số nào ?

+/ Để tìm các đoạn thẳng tỉ lệ với bài này ta nên sử dụng định lí Ta Lét

vì có các đường song song nhưng phải kéo dài DN , CD, AB, BQ:

DN  AB = {I} ; BQ  CD = { K}

Do đó ta thấy được:

AB

KD DA

b) Ta nhận thấy các đỉnh của  PEQ đều nằm trên các cạnh của hình

thang vuông TEPD

Do đó để tính SPEQ ta cần phải thông qua các STEPD , STQE , SDPQ

Bài giải:

MB = AB

3

2

= CD 3 2

Có MI// CD =>

3

4 EC

EM CD

MI ED

ME

 mà

3

4 FK

FB FK

FB SC

FB

 =>

3

4 KP

AB

 => KP = CD

4

3 AB 4

28

5 AB

98

27 AD.CD 7

9 7

3 2

1 AD 7

3 CD 7

5 CD 7

4 2

1 ET).TD (DP

QD

 => QD = AD

33 5

3234

320 AD

231

64 CD.

7

5 2

1 TE.TQ

4 AD.

33

5 2

1 QD.DP

431 S II/ Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng:

+/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác đã nêu

ở trên Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện

tích của những hình ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai

 ; có MB =

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ

- 15 -

hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên

quan để suy ra điều cần chứng minh

+/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có

thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó

bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa

hai đoạn thẳng cần so sánh

Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD Các đường chéo cắt nhau

tại O Chứng minh rằng: S OAB = S OCD

O

D A

C B

Bài giải:

- Vì BC // AD ( gt) => Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng

nhau

=> SBAD = SCAD

=> SOAB +SOAD = SOCD + SOAD

Vậy SOAB = SOCD

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn,

đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC

tại N Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của

OB và CD

Chứng minh:a) S OBN = S ODC b) SBCK + SNOC = SDOK

Phân tích đề bài và hướng giải:

- Ta nhận thấy OAB và

OCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh

- BAD và CAD là hai tam giác có chiều cao

Phân tích đề bài và hướng giải:

Có OM = ON( cmt) => OMN cân

Có OM = OC( cmt ) => OCM cân tại O => CMO = MCO (2)

Từ (1) và (2) => CNO = MCO

Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c)

Vậy SOBN = SODC

b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3)

SDOK = SODC - SOCK (4)

Mà SOBN = SODC (cmt) (5)

Từ (3) (4)(5) => SBCK + SNOC = SDOK (đpcm)

Bài 3: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đường chéo AC, BD của

tứ giác ABCD cắt các cạnh AB, CD ở M và K

Chứng minh rằng: SDMC = SAKB

Q P

K

M

B A

Phân tích đề bài và hướng giải:

=> BNA = NAB

=> CMO = CNO (1)

Để cm: SDMC = SAKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bằng

nhau ở trong bài này và diện tích tam giác đó có mối liên hệ

thế nào với diện tích tam giác ta cần chứng minh

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Điểm E trên tia đối của tia BA,

điểm F trên tia đối của tia DA Nối BF và DE cắt nhau ở K

Chứng minh: SABKD = SCKE +SCKF

K D

F

N

C M

E B

Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ

Bài 7: Cho  ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE Gọi H, K là

hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED Chứng minh rằng:

Nếu ta lấy thêm Q là trung điểm của AP => MNPQ là hình bình hành.Do đó SMNP =

Bài giải:

a) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và ED

MED có ME = MD (cùng bằng 1/2 BC) nên là tam giác cân

b) Vẽ EE' , NN', DD' vuông góc với BC

Ddcm được NN' là đường trung bình hình thangEE'D'D

Ta có BC.NN' = SBPQC (2)

Mà ddcm được: NHP = NKQ (g.c.g) => SNHP = SNKQ

=> SBPQC = SBHKC (3)

Từ (1)(2)(3) => S BEC + SBDC = SBHKC

Bài 8: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB cắt CD tại E Gọi F

và G theo thứ tự là trung điểm của đường chéo AC và BD

Bài giải:

Nối AG , CG Ta có:

Phân tích đề bài và hướng giải:

+/ Để cm: S EFG =

4

1

S ABCD

ta cần phải biểu diễn

S EFG thông qua diện

tích của các hình có liên quan với SABCD +/ Cần dựa vào gt có các đoạn thẳng bằng nhau => Có diện tích

D'

S EFG = SAEG - SAFG - SAFE

Mà SAEG = SABG + SEBG

Nên S EFG = SABG + SEBG- SAFG - SAFE

Bài 9: Cho  ABC và hình bình hành BCDE nằm cùng phía đối với

BC sao cho các điểm D, E nằm bên ngoài tam giác Vẽ các hình

bình hànhABGH, ACIK sao cho đường thẳng GH đi qua E, đường

thẳng IK đi qua D Cmr: S BCDE = S ABGH + S ACIK

(Bài toán của Páp, nhà toán học Hi Lạp thế kỉ III)

N

M

O K

I H

G

D E

C B

A

Phân tích đề bài và hướng giải:

CM: SBCDE = SABGH + SACIK

+/ Rõ ràng bài này ta cần vẽ đường phụ

+/ Ta cần cm: S BENM = SABGH.; SCDNM = SACIK

Bài giải:

Vẽ hình bình hành ABEO => ACDO là hình bình hành

Do đó GH  IK = {O}

Cho OA  BC ={M}; OA  DE = {N}

Ddcm được SABGH = SABEO ( chung cạnh, chung đường cao)

SABEO = S BENM ( chung cạnh BE, đường cao từ A và N xuống BE bằng nhau)

=> S BENM = SABGH

Cmtt => SCDNM = SACIK

Do đó : S BENM + SCDNM = SABGH.+ SACIK

Vậy : S BEDC = S ABGH. + S ACIK

Bài 10: Cho tứ giác ABCD M và N là trung điểm của AB, CD AN

cắt DM tại P, CM cắt BN tại Q

Chứng minh: S MPNQ = S ADP + S BCQ

( Đề thi học sinh giỏi Quận Ba Đình năm học 1999 - 2000)

Phân tích đề bài và hướng giải:

Chứng minh: S MPNQ = S ADP + S BCQ

+/ Cần tìm mối liên hệ của SMPNQ với SMDC

+/ Cần tìm mối liên hệ SADP với SADN ; SBCQ với SBCN

N H

M

D

C B A