CHUYÊN đề tự LUẬN HÌNH học KHÔNG GIAN 11 kỳ II

a Chứng minh rằng AIMBC b Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng ABC... 2 Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng ABC... a Chứng minh các mặt bên hình chóp l

CHUYÊN ĐỀ HÌNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 1 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại B ,

ta lấy một điểm M sao cho MB  2a Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng AIMBC

b) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng ( ABC)

c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng MAI .

BH  MB  BI  a a  a  

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD có . SAABCD và ABCD là hình thang vuông tại, ABBC , a

SA AD  SAB và SAD vuông tại A.

 BCAB BC, SABCSABBCSB   SBC vuông tại B

Câu 3 Cho hình hộp ABCD EFGH có AB a AD, b AE, c

3



BSC 600

3) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

 Ta có: (SBD)  (ABCD) BD, SOBD AO, BD (SBD),(ABCD)   SOA

 SAO vuông tại A    SA 

SOA

AO

Câu 5 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc và OA OB= OCa , I là trung điểm

 OBC cân tại O I, là trung điểm của BCOIBC(2)

Từ (1) và (2) BCOAIABC  OAI

3) Gọi K là trung điểm của OC IK / / OB  AI OB,  AI IK,  AIK

 AOK vuông tại O     a

6

A

B

C O

I K

Câu 6 Cho hình chóp S ABC. có ABC vuông tạiA , góc 

3) Từ câu 2), BH SACBH HK BHKvuông tại H

4) Vì SC BHK nên KHlà hình chiếu của SA trên BHK

K

0

60

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a SA, ABCD

và SA 2 a

1) Chứng minh (SAC)  (SBD); (SCD)  (SAD)

2) Tính góc giữa SD và ABCD; SB và SAD ; SB vàSAC.

3) Tính d A SCD ,  ; d B SAC ,  

1) BD AC BD, SABDSACSBD  SAC

 CD AD CD, SACDSADDCS  SAD 2)  Tìm góc giữa SD và mặt phẳng ABCD

O H

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  BAD 60 0

vàSASBSDa

a) Chứng minh SACvuông góc với ABCD.

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến ABCD

a) VẽSH ABCD Vì SASBSCa nên

HAHBHDH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABD Mặt khác ABD có AB ADvà  BAD 0

H

Câu 9 Cho tam giác ABC vuông cân tại B, ABBC a 2, I là trung điểm cạnh AC,

AM là đường cao củaSAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp ABC  tại I , lấy điểm S sao cho IS a

a) Chứng minh ACSB SB, AMC.

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp ABC .

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp AMC .

a)  AC BI AC, SI ACSB.

 SBAM SB,  ACSBAMC b) SI ABC SB ABC,( )   SBI

2

AC aBI aSI  SBI vuông cân   SBI 0

45

c) SBAMC SC AMC,( )   SCM

Tính được SBSC a 2 BC SBC đều, suy ra M là trung điểm của

 SOABCD SK ABCD,( ) SKO

S

A

B

C I

M

S

C D

F H

0

60

 BOC có OB a,OC a 3

a OK

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB

 SAAB C A H là hình chiều của SH trên ABC

Mà CH SH nên CH  AH

 AC cố định,  AHC 0 

90 H nằm trên đường tròn đường kính

AC nằm trong mp ABC  Mặt khác: + Khi M A thì H  A + Khi M B thì H E (E là trung điểm của BC)

Vậy quĩ tích các điểm H là cung  AHE của đường tròn đường kính



  SAH vuông tại A có SA a

SH

2 2

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng ADH và DH a

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng ABC

K

Câu 13 Cho tứ diện OABC cóOAOBOCa, AOB AOC 60 , 0 BOC 90 0

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông

Từ (3) ta có tam giác JOA cân tại J IA, IO  gt nênIJ OA (4)

Từ (3) và (4) ta có IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SAABCD

A

c) SAABCD hình chiếu của SC trên ABCD làAC

Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là SCA

a SA

SC ABCD SCA

AC a

6 3 3

3 2

 ABCD là hình vuông nên BD AC, BDSA SAABCD  BDSAC BDSC

 SBD chứa BDSAC nên SBD  SAC

 Dế thấy do SAABCD nên hình chiếu của SC

trên ABCD là AC  góc giữa SC và ABCD là

E

H

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA a,

SA ABCD Gọi I K, là hình chiếu vuông góc của A lên SB SD,

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh: SAC    AIK

 các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A

b) Chứng minh: SACvuông góc AIK

 SAABCD SABD BD, AC  BDSAC

 SAB; SAD vuông cân tại A, AK  SA AI,   SB

nên I và K là các trung điểm của AB và AD  IK//BD

mà BDSAC nên IK SACAIK  SAC

Câu 18 Cho tứ diện S ABC. có ABC đều cạnh a, SA (ABC SA), 3a

2

  Gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh: SBCvuông góc SAI

3 2

I

A B

C S

H

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,  BAD 0

K

F

E O

Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD. bị cắt bời ( ) là hình thang AB C D’ ’

 SOABCD, OF là hình chiếu của SF trên ABCDnên SF BC SF AD

a SO

3 1 4 tan

4

     ( ),( ABCD) 30 0

Câu 20 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, ADa và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng ADH và DH a 2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng ABC

 ADa DH, a  DAH cân tại D, mặt khác I

là trung điểm AHnên DI AH

 BC ADHBCDI  DI ABC3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

 Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK AD (1)

K

Câu 21 Cho hình chóp S ABC. có các mặt bên SAB, SAC cùng vuông góc với

ABC, tam giác ABC vuông cân tại C ACa , SAx

a) Xác định và tính góc giữa SB và ABC, SB và SAC

b) Chứng minh (SAC)  (SBC) Tính khoảng cách từ A đến SBC

c) Tinh khoảng cách từ O đến SBC (O là trung điểm của AB)

d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC

a) Xác định và tính góc giữa SB và ABC, SB và SAC

 (SAB)  (ABC) và (SAC)  (ABC) nên SA (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên

b) Chứng minh (SAC)  (SBC) Tính khoảng cách từ A đến SBC

 Theo chứng minh trên ta có BC (SAC)  (SBC)  (SAC)

 Hạ AH SCAH BC (doBC (SAC) Vậy AH  (SBC) d A( ,(SBC)) AH

c) Tính khoảng cách từ O đến SBC (O là trung điểm của AB)

Gọi K là trung điểm của BH OK/ /AH OK  (SBC) và OK  AH

d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC

 Dựng mặt phẳng ( ) đi qua AC và vuông góc với SB tại P CPSB và APSB

 Trong tam giác PAC hạ PQ ACPQSB vìSB (PAC)

Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a,

 Trong tam giác SAC có AH SC

3) Tính góc giữa mặt phẳng SBD với mặt phẳng ABCD

 Vì ABCD là hình vuông nênAOBD, SOBD

(SBD)  (ABCD) BD ((SBD),(ABCD)) SOA

 Tam giác SOA vuông tại A   

a SA

OA a

0

6 2

2 2

 Đáy ABCD là hình vuông nên OBOC, mà OB và

OC lần lượt là hình chiếu của NB và NC trên ABCD NBNC NBC cân tại

N, lại có M là trung điểm BC (gt)

MN BC MN AD

    (vì AD / / BC)

c) Tính góc giữa SA và mp ABCD

 SO (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên ABCD

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng ABCD là  SAO



a AO

SAO

SA a

2 2 2

N

M O

D

C

A B

S

đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời cóEN / / BD,

3

Câu 25 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại C,

CAa, CBb, mặt bên AABB là hình vuông Từ C kẻCH AB, (HAB, KAA) a) Chứng minh rằng: BCCK ,AB (CHK)

c) Tính khoảng cách giữa BB CC

Hướng dẫn giải

a) ABC có AB2BC2  2a2  AC2  ABC vuông tại BBCAB

Mặt khác BCBB, suy ra BC (AA B B  ) BCAB

b) Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh BC M   ACC A 

*) Tam giác ABC cân tại B và MAMC

Vậy SAD vuông tại A

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC

Câu 27 Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a , nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh tam giác SAD vuông

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC

c) Gọi F là trung điểm của AD Chứng minh SID  SFC Tính khoảng cách từ I đến

SFC

Gọi M N Q, , lần lượt là trung điểm các cạnh SA SD BC, ,

Khi đó

,

1 2

Suy ra, MNQB là hình bình hành, nên NQ  MB

Ta có AD (SAB) ADMB nên BCNQ (do BC  AD và NQ  MB)

Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD

Tam giác SAB đều cạnh a nên 3

c) Hình chiếu của SC trên ABCD là AC

Khi đó SC ABCD, ( )SC AC, SCA

tan

SA a SCA

AC a

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là 30

Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD a) Chứng minh SAB  SBC

Hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD là AC

Suy ra ( SC ABCD, ( ))(SC AC, )SCA

Tam giác SAC vuông tại A có ACa 2 và SAa 2 gt

SA ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng SCD và ABCD

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng MND

AD a SDA

Suy ra MN  (SAD) (do MN  AB)

Dựng SH vuông với DM tại H

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnha, tâm O Cạnh

SA  a và SA (ABCD) Gọi E F, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD

a) Chứng minhBC  (SAB), CD  (SAD).

b) Chứng minh (AEF)  (SAC).

c) Tính tan  với  là góc giữa cạnh SC với (ABCD).

FE SAC FE AEF  SAC  AEF

c) SA (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  SCA

0 1

a) Gọi M N, lân lượt là trung điểm của CD và CB

a MQ

a) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng:BC  (SAM)

a) Chứng minh tam giác SBCvuông

b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giácABC Chứng minh(SAC)  (SBH).

c) ChoAB  , a BC  2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

a) SA  (ABC) => BC  SA, BC  AB (gt)=> BC  (SAB) => BC  SB

Vậy tam giác SBCvuông tại B

b)SA  (ABC) => BH  SA, mặt khác BH  AC (gt) nên BH  (SAC)

Câu 36 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnha

 SOABCD nên AO là hình chiếu của SA trên ABCD



a AO SAO

2 2 2

 Gọi E F, lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN FM FE, , lần lượt là

N

M O

D

C

A B

S

(SBD)  (ABCD) BD ((SBD),(ABCD)) SOA

a SA

OA a

0

6 2

2 2

Câu 38 Cho hình chóp S ABC. có các mặt bênSAB , SAC cùng vuông góc vớiABC , tam giác ABC vuông cân tại C AC a SA, x

a) Xác định và tính góc giữa SB và ABC, SB vàSAC

a) Xác định và tính góc giữa SB vàABC , SB vàSAC

 SAB  ABC và SAC  ABC nên SAABC  AB là hình chiếu của SB trên ABC

APSB

Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC

Câu 39

Câu 40 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a , AD vuông

K

a) Chứng minh: SOF vuông góc SBC

 CBD đều, E là trung điểm BC nên DE BC

 BEDcó OF là đường trung bình nên

a OH

K

F

E O

Gọi B'   SB C, '   SC B C   BC BC AD

Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD bị cắt bời ( ) là hình thang AB C D 

 SO ABCD, OF là hình chiếu của SF trên ABCD nênSF BC SF AD (*)

H

 (SBC),(ABC)SIA

3 2

3 2

a SA

a) Chứng minh: SAC vuông và SC vuông góc với BD

b) Chứng minh: (SAD)  (SAB), (SCB)  (SCD).

Gọi H là trung điểm của SA

Từ (1) và (4) ta suy ra DH SAB, mà DH  SAD nên SAD  SAB

 Gọi I là trung điểm của SC, dễ thấy OI OH OB OD IBD vuông tạiI ID BI (5)

I K H

Câu 44 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA, a SA, vuông góc với

ABCD Gọi I K, là hình chiếu vuông góc của A lên SB SD,

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh: SAC vuông góc AIK

 các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A

b) Chứng minh: SAC vuông góc AIK.

 SAABCD  SABD BD,   AC  BD SAC

 SAB và SAD vuông cân tại A AK, SA và AI  SB

nên I và K là các trung điểm của AB và AD IK BD

mà BD SAC nênIK SAC  AIK (SAC)

c) Tính góc giữa SC và SAB.

O

I K

 CB AB (từ gt), CB SA (SAABCD) nên CB SAB hình chiếu của SC trên