Ứng dụng CNTT dạy học khái niệm về phép biến hình theo phương pháp tích cực

Từ những nghiên cứu trên ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đốivới sự đổi mới PPDH toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng, cụthể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lời cảm ơn !

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:

Thầy giáo – Th.s Nguyễn Văn Hà, tổ trưởng tổ Phương pháp dạy học toán, khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình dạy dỗ em trong quá trình học tập và nghiên cứu, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn em thực hiện đề tài này.

Các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận.

Ban giám hiệu, phòng Đào tạo đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này.

Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tinh thần để em hoàn thành đề tài Cuối cùng em xin kính chúc quý thầy cô, những người thân và bạn bè lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt.

Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Trần Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả đúng, khách quan, trung thực và là kết quả của

em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – Th.s Nguyễn Văn Hà

Em xin cam đoan khóa luận và đề tài:

“Ứng dụng CNTT dạy học khái niệm về phép biến hình theo phương pháp tích cực” không trùng với những kết quả của các tác giả khác.

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Trần Thị Nhung

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 05

Chương 1 Cơ sở lí luận v à thực tiễn 07

1.1 PPDH tích cực 07

1.2 Dạy học khái niệm Toán học 11

1.3 Tác dụng của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán 28

Chương 2 Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm phép biến hình 31 2.1 Phương pháp sử dụng phần mềm tin học trong dạy học Toán ở trường phổ thông 31

2.1.1 Phần mềm Microsoft PowerPoint 31

2.1.2 Phần mềm Cabri (Cabri Geometry II P lus và Cabri 3D) 34

2.1.3 Phần mềm Geometer’s Sketchpad 35

2.2 Ứng dụng CNTT trong dạy học các khái niệm về phép biến hình 36

2.2.1 Mở đầu về phép biến hình 36

2.2.2 Phép tịnh tiến 37

2.2.3 Phép dời hình 38

2.2.4 Phép đối xứng trục 39

2.2.5 Phép quay 40

2.2.6 Phép đối xứng tâm 41

2.2.7 Hai hình bằng nhau 41

2.2.8 Phép vị tự 42

2.2.9 Phép đồng dạng 43

2.2.10.Hai hình đồng dạng 43

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, hiện nay ứng dụng Công nghệ Thông tin (CNTT) đãđược áp dụng ở hầu hết các lĩnh vực hoạt động của xã hội và mang lại hiệuquả thiết thực Trong giáo dục cũng vậy, CNTT đã mang lại triển vọng to lớntrong việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và quản lý giáo dục

Cùng với việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa thì việc đổi mớiphương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức cần thiết.Hiện nay ngoài các phương pháp dạy học truyền thống, việc ứng dụng CNTTtrong dạy học sẽ góp phần làm cho giờ học trở nên sinh động, hiệu quả, kíchthích được tính tích cực, sáng tạo của học sinh

Qua nghiên cứu chương trình SGK môn Toán (THPT), bản thân tôi nhậnthấy có nhiều nội dung khi dạy học rất cần sự hỗ trợ CNTT để tiết kiệm thờigian trên lớp, đảm bảo nội dung cần truyền đạt, làm đơn giản hoá các vấn đềmang tính trừu tượng cao, phát huy tính tích cực của học sinh nhằm nâng caohiệu quả của việc dạy học Phép biến hình là một trong những nội dung khá làkhó và trừu tượng đối với học sinh THPT Chính vì thế tôi đã chọn đề tài

“Ứng dụng CNTT dạy học khái niệm về phép biến hình theo phương pháp

tích cực ” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theophương pháp dạy học tích cực.

Phương pháp sử dụng một số phần mềm chuyên dụng trong dạy họcmôn toán ở phổ thông

Thiết kế và xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy học theophương pháp tích cực các khái niệm về phép biến hình trong hình họcphẳng – Hình học 11 nâng cao

4 Đối tượng nghiên cứu

Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theophương pháp dạy học tích cực

Các phần mềm chuyên dụng trong dạy học môn toán ở phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu một số tài liệu về PPDH tích cực; tham khảo các giáo án,bài giảng theo phương pháp dạy học này

Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết kế bàigiảng điện tử theo PPDH tích cực:

- Phần mềm trình diễn MS PowerPoint, Violet,

- Phần mềm hình học động Cabri Geometry, Geometer’s Sketchpad Nghiên cứu nội dung chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trongmặt phẳng – sách giáo khoa Hình học 11 NC

NỘI DUNGChương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.

- Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là để chỉ nhữngPPDH theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học

- PPDH tích cực còn có thể được hiểu một cách ngắn gọn là PPDHhướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động

1.1 2 Hệ thống phân loại các PPDH:

- Hiện nay, chúng ta chưa có sự thống nhất trên phạm vi quốc tế việcphân loại các PPDH Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thốngnhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phươngdiện khác nhau từ đó đưa ra các loại phương pháp khác nhau

- PPDH với cách truyền thông tin tới HS bằng hoạt động bên ngoài:

+ PPDH thuyết trình

+ PPDH giảng giải minh họa

+ PPDH gợi mở- vấn đáp

+ PPDH trực quan

- PPDH với tình huống điển hình trong quá trình dạy học:

+ Môn toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lý toánhọc

PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học.+ Môn vật lý: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật

PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm, …+ Môn văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phântích tác phẩm văn học, …

1.1.3 Đặc trưng của PPDH tích cực:

- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS

Theo tâm lý học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi họ có nhucầu hứng thú với hoạt động đó Nhà tâm lý học Xô Viết V.P Simonov đã mô

tả tính tích cực hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn vàlôi cuốn của nhiệm vụ học tập - nhu cầu là một hàm phụ thuộc vào hiệu sốcủa kiến thức cần thiết và kiến thức đã có như sau:

T = N(KCT – KĐC) (Trong đó T là mức độ tích cực của HS; N là nhu cầu nhậnthức; KCT là kiến thức, kỹ năng cần thiết của HS; KĐC là kiến thức, kỹ năng

đã có của HS) Do đó, trong dạy học theo phương pháp tích cực GV cần thiết

và trước tiên phải làm cho HS có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm

vụ học tập

- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Phương pháp tự học là rèn luyện cho người học có được phương pháp,

kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức: biết tự lực phát hiện, đặt ra vàgiải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh hoạt vận dụngnhững điều đã học vào những tình huống mới, từ đó sẽ tạo cho người họclòng ham học, ham hiểu biết Do vậy, trong quá trình dạy học cần chú ý dạycho người học phương pháp học, tạo ra sự chuyển biến từ việc học tập thụđộng sang học tập chủ động

- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hìnhthành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân Thông qua việc thảo luận,tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định haybác bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới.

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạtđộng hợp tác trong nhóm nhỏ Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập,nhất là phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầuphối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt độngnhóm nhỏ sẽ không có hiện tượng ỷ lại, tính cách năng lực của mỗi thành viênđược bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ

- Kết hợp sự đánh giá của GV với sự đánh giá của HS:

Trong dạy học, việc đánh giá HS là nhằm mục đích đánh giá thực trạng

và điều chỉnh hoạt động của đồng thời của cả HS và GV

Trong PPDH tích cực, GV phải hướng dẫn HS tự đánh giá kiến thứccủa mình để tự điều chỉnh cách học tập của mình và GV cũng phải tạo điềukiện để các HS tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau Từ đó hình thành cho HSbiết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình

đó chính là năng lực rất cần thiết cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhàtrường cần trang bị cho các HS

- Dạy học thông qua các hoạt động học tập của HS

Trong dạy học, theo quan điểm tích cực GV phải đặt HS vào nhữngtình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và HS được trực tiếp quan sát,thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết

Đối với môn Toán, GV tạo ra và đặt HS vào các tình huống toán họcthực tiễn, đồng thời tổ chức để cho HS có thể trực tiếp tham gia trải nghiệmvào các dạng khác nhau của hoạt động toán học sau đây:

+ Hoạt động trí tuệ chung: Quan sát, so sánh, phân tích, tổnghợp, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, …

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức toán học

+ Hoạt động toán học phức hợp: Chứng minh toán học, địnhnghĩa khái niệm toán học, giải bài toán (giải phương trình, giải toán dựnghình, giải toán tìm tập hợp điểm, … )

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến của toán học: Lật ngược vấn đề, xéttính giải được, mô hình hóa và thể hiện, …

+ Hoạt động ngôn ngữ: HS phát biểu, trình bày nội dung kiếnthức toán học hoặc lập luận biến đổi mệnh đề, chứng minh mệnh đề toán học

Như chúng ta đã biết, đặc điểm của môn Toán là khoa học suy diễn,trong đó mọi kiến thức toán học đều được rút ra từ tiên đề hoặc điều đã biếtbằng suy luận lôgic Do đó, nhiệm vụ hàng đầu của dạy học toán ở trường phổthông là phải dạy cho HS cách suy nghĩ một cách đúng đắn, hợp lý (cách suynghĩ hợp lôgic) Vì vậy, dạy học toán ở trường phổ thông bằng các hoạt độngtoán học thực chất là cho HS trực tiếp được tập dượt cách suy nghĩ thông quaviệc trải nghiệm các hoạt động toán học phức hợp

Từ những nghiên cứu trên ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đốivới sự đổi mới PPDH toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng, cụthể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đối với các tình huống dạy học

điển hình của môn Toán Quan điểm đó là: Dạy học tình huống toán học này như thế nào được coi là tích cực và như thế nào được coi là thụ động (ít tích cực)?

Dạy học tích cực Dạy học thụ động (ít tích cực) Dạy

học

+ Phân tích tìm các dấu hiệu

đặc trưng khái niệm toán học.

+ Công bố định nghĩa khái niệmtoán học

+ Hoạt động gợi động cơ suy

đoán định lý - Nêu nội dung định

Dạy + Tóm tắt nội dung bài toán + Tóm tắt nội dung bài toán

học + Phân tích tìm đường lối chứng + Hoạt động chứng minh toán

tập + Hoạt động chứng minh toán

toán học

học + Kiểm tra và khai thác bài toán.

Kết luận: Quan điểm nổi bật của PPDH tích cực đối với môn Toán ở

trường phổ thông là tổ chức các hoạt động học tập cho HS theo phương châmcoi trọng việc tìm ra đường lối chứng minh toán học, không chỉ chú trọng vàoviệc dạy học chứng minh toán học

1.2 Dạy học khái niệm Toán học

1.2.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a) Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó

một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối

tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó.

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ có tính quy luật, nội hàm càng

được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Thật vậy, nếu ta

mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sungđặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộphận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái

niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A.

b) Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ

Ở trên có nêu khái niệm phản ánh một lớp đối tượng Điều đó có gì sai

hay không, trong khi có những tác giả phân biệt khái niệm về một đối tượng,

chẳng hạn “hình chóp” với khái niệm về một quan hệ, chẳng hạn “chia hết” ? Thật ra, dưới góc độ Toán học, một quan hệ n ngôi là một tập con của tích Đềcac của n tập hợp Quan hệ chia hết là một tập con A của tích Đềcac N N:

- Đối tượng (3, 25) không phải là một phần tử của A ( hay ta còn nói

“số 3 không chia hết cho 25”), bởi vì không tồn tại một số tự nhiên q nào saocho 25 = 3 q )

Tuy về mặt Toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trườnghợp riêng của khái niệm về một đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt

giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ lại là cấn thiết dướigóc độ sư phạm, nhất là trong tình hình học sinh còn mơ hồ về khái niệm

quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương trình hệ quả” hoặc phát biểu: “Tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn”.

c) Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt lớp đối

tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch

ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

chủng)

nhau.

Ví dụ: Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng

Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái

niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm

đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là cóthể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Hình vuông,ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một

cách khác, chẳng hạn: Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào

đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó:

những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi

là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm củakhái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đangxét

Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)

A B Nếu xét xem ABCD có phải là một hình

vuông hay không thì “AB=CD” là một trong các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ

giác đó có phải là hình bình hành hay không

D C thì thuộc tính đó là không bản chất

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, từ chỉ miền đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết Một khả năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ: “Phép cộng là phép tìm tổng của hai hay nhiều số”; “Tổng của hai hay nhiều số là kết quả thực hiện phép cộng”.

d) Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết

Ví dụ:

Để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành

ta cần định nghĩa tứ giác Tuy nhiên, quá trình trên không thể kéo dài vô

hạn, tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểmxuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhậnđiểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thủy

Ở trường phổ thông còn có một số khái niệm khác cũng không được địnhnghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả,giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được nhữngkhái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác.

1.2.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học

nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến

thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khảnăng vận dụng các kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm cótác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thếgiới quan cho học sinh

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phảilàm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:

- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng chotrước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biếtthể hiện khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt độnggiải Toán và ứng dụng vào thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệmvới những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do sưphạm, các yêu cầu trên lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối vớitừng khái niệm

Chẳng hạn, đối với những khái niệm “hình bình hành”, “đạo hàm”,

…học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng

được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm chiều củavectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tườngminh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinhnghiệm sống.

1.2.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phổ thông

a) Định nghĩa theo phương pháp loài ─ chủng

* Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài ─ chủng là một hình thức

định nghĩa nêu lên khái niệm loài và hình thức đặc trưng của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng

+ Ví dụ 1: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.Trong định nghĩa trên, hình bình hành là khái niệm loài, hai cạnh liên tiếpbằng nhau là đặc tính của chủng

+ Ví dụ 2: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1

và chính nó

Ở định nghĩa này, số tự nhiên là khái nitệm loài, chỉ có hai ước số chung

là 1 và chính nó là đặc tính của chủng

+ Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm cố định và một số k không

đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM’ = k OMđược gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V(O, k)

Trong định nghĩa này:

+ Phép biến hình là khái niệm loài

+ Số k không đổi khác 0, O cố định, OM’ = k OM là đặc trưng củachủng

b) Định nghĩa bằng quy ước

* Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối

tượng cần định nghĩa một đối tượng cụ thể nào đó

Ví dụ: a0 = 1 ( Đối tượng cần định nghĩa là a0 )

a─n = a1 ( n N, a ≠ 0)

(- a).(- b) = a.bChú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không giải thíchtại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp

lý không

Ví dụ: a0 = 1 là hợp lý vì 1= a = am - m = ao

am

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

* Nội dung: Người ta chọn ra một đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản và

thừa nhận chúng gọi là các tiên đề Từ đó đi định nghĩa các khái niệm khác,chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp logic

+ Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Cho tập X cùng quan hệ tương đương , (X, ) được gọi là quan hệtương đương nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:

i) Tính chất phản xạ

ii) Tính chất đối xứng

iii) Tính chất bắc cầu

+ Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:

Cho tập X cùng phép toán hai ngôi *

d) Định nghĩa bằng phương pháp mô tả

* Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định nghĩa

chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng cầnđịnh nghĩa hoặc quan hệ đối tượng cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo rachúng ( Mô tả theo kiểu kiến thiết)

+ Ví dụ 1: Khái niệm “ điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng”

là không định nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả

+ Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 ( định nghĩa theo quy trình tạo

ra chúng): Cho hai tia Ou, Ov nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương ( haychiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với Ov thì ta nói Tia Om quétmột góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov

1.2.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm:

a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa theo quy tác này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm làquá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

+ Ví dụ 1: “ Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là địnhnghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng

+ Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợpnhững số này không thể khai căn được.” là định nghĩa không tương xứng vìkhái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái niệm định

nghĩa, ví dụ số e và số là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép

khai căn nào

+ Ví dụ 3: “ Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” là định nghĩa không tươngxứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định

nghĩa, ví dụ có những số thập phân vô hạn như 1 , 1 nhưng không phải là

3 7

số vô tỉ

b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa mà phải dựa vào khái niệm đã biết, đã được định nghĩa

+ Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc: " Độ là 1

90vuông là góc có số đo 90o " là định nghĩa vòng quanh

c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu nghĩa là trong nội dung khái niệm

định nghĩa không chứa những thuộc tính mà có thể suy ra được những thuộctính còn lại

+ Ví dụ 1: Định nghĩa: “Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnhsong song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa 1 trongđiều kiện song song hoặc bằng nhau

+ Ví dụ 2: Định nghĩa : “ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ cóhai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “ là 1 và chính nó” nhưng vì lý do

sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ 2 ước đó

+ Ví dụ 1: “ Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêulên dấu hiệu xem xét 1 hình không phải là hình thoi, chưa chỉ ra được đặctrưng của hình thoi.

+ Ví dụ 2: “ Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩađúng vì khái niệm loài được phân chia thành số đại số và số siêu việt

1.2.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và

tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh,nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tìnhhuống có thuộc về khái niệm đó hay không

Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:

Con đường quy nạp;

Con đường suy diễn;

Con đường kiến thiết;

Sau đây sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên

a) Con đường quy nạp

Xuất phát từ một số những đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình

vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa và khái quáthóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trườnghợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biếttrực giác về khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chương trình

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:

i) Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặctác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

ii) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặcđiểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếumột vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

iii) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêutên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm.

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạtđộng tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạocho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên conđường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian, vì vậy không bao giờ cũng có điềukiện thực hiện

Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phátcho con đường suy diễn;

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của kháiniệm cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

b) Con đường suy diễn

Một khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào địnhnghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm nào đó màhọc sinh đã được học

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn:

i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đómột số đặc điểm mà ta quan tâm;

ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và địnhnghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạnchế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó;

iii) Đưa ra ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được địnhnghĩa

Việc định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như những trường hợp riêng của hình bình hành, định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit và những hàm số lượng

Con đường này thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loạilàm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.

c) Con đường kiến thiết

Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết:

i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần đượchình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộToán học hay từ thực tiễn;

ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặcđiểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;

iii) Phát biểu định nghĩa đã được gợi ý

Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suydiễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng mộthay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạpthể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diệnriêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

Ví dụ: Lũy thừa với số mũ nguyên âm (đã quy ước a0

i) Xây dựng một đối tượng đại diện

b n a m n , ta

Ta muốn định nghĩa chẳng hạn 3 4 Để đảm bảo phép nâng lên lũy thừa mớinày cũng có các tính chất cơ bản của các lũy thừa với số mũ tự nhiên, chẳnghạn

Một cách tổng quát, để đảm bảo lũy thừa với số mũ âm cũng có các tínhchất cơ bản của lũy thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa:

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:

- Chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do

đó con đường quy nạp không thích hợp;

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát chocon đường suy diễn

1.2.6 Hoạt động củng cố khái niệm

Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được địnhnghĩa khái niệm đó Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm; khâu nàythường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:

Nhận dạng và thể hiện khái niệm,

Hoạt động ngôn ngữ,

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học.

a) Nhận dạng và thể hiện

Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều hướngtrái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụngkhái niệm

Ví dụ 1: (nhận dạnh khái niệm hình chóp đều): Phải chăng mọi hình chóp

có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều?

Ví dụ 2: (thể hiện một khái niệm hình chóp đều): Cho hình lập phươngABCDA’B’C’D’ Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O Các đườngthẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau tại O’ Hãy vẽ hai hình chóp đều có đáy là hìnhvuông ABCD

Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thể hiện một khái niệm, cần lưuý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối

tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xét

thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó Việc đưa ranhững trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang những thuộc tínhnổi bật nhưng không phải là thuộc tính bản chất đói với khái niệm đang xétvừa giúp học học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm, lại vừarèn luyện cho các em khả năng trừu tượng hóa thể hiện ở chỗ biết phân biệt vàtách đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất

Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm

đang xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản

ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúchội, còn các thuộc tính thành phần khác đều được thỏa mãn