Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

Tính chất kết hợp Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được gộplại thành từng nhóm nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng thì chuỗi mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quảnghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng vào các lĩnh vực khácnhau của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý,hóa học, thiên văn học, …

Mặt khác, trong giải tích các kết quả nghiên cứu về lý thuyết chuỗi có ýnghĩa rất lớn về cả mặt lý thuyết lẫn thực hành Vì vậy trong khóa luận này

em chọn đề tài “Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm hệ thống lại những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗitrong giải tích toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu những nội dung cơ bản về: Chuỗi số, chuỗi hàm,chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier

4 Đối tượng và phạm vi nhiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi Phạm vi nghiên cứu: Học phần giải tích 2

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu, phân tích các tài liệu

- Hệ thống các vấn đề

- Sưu tầm, giải quyết các bài toán

- Tống kết kinh nghiệm

riêng của chuỗi số

Định nghĩa 1.2 Cho chuỗi số

a n

n 1

có dãy tổng riêng là S n Nếu S n hội

tụ tới S thì ta nói chuỗi a n

n 1 hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi số Kí hiệu S

Nếu dãy S n phân kì thì chuỗi

hội tụ về S thì với mọi n nguyên dương

hiệu S S n được gọi là phần dư thứ n của chuỗi Kí hiệu: r n

k n 1

Từ các định nghĩa trên, dễ dàng suy ra được định lý sau

Từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Caychy về

sự hội tụ của chuỗi số như sau:

Nhưng lưu ý rằng đó chỉ là điều kiện cần của sự hội tụ, mà không phải là điềukiện đủ

n 1 n có số hạng tổng quát a n

1

1

0 , n n

nhưng chuỗi này không hội tụ Thật vậy, 0 n N

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra ngay chuỗi điều hòa không hội tụ

Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính) Giả sử các chuỗi

tụ và có tổng lần lượt là A và B, và là các hằng số thực Khi đó

Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được gộp

lại thành từng nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng) thì chuỗi mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi đã cho.

n 1 a1 a2 a n (1) hội tụ Ta nhómmột cách tùy ý các số hạng kề nhau (không làm thay đổi thứ tự của chúng):

pN

n > N ta có2M

sao cho |A n | = |a 1 + a 2 + + a n | M với mọi n.

ii) {b n } là dãy đơn điệu giảm và lim b n 0

n

Khi đó chuỗi

n a n b n

1

hội tụ.

tồn tại số tự nhiên N sao cho b n

2Mbn2M 2M1

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có điều phải chứng minh.W

hội tụ.

nào đó, ta xét dãy c n với

c n b n b và áp dụng dấu hiệu Dirichlet ta cũng

Dễ dàng suy ra được định lý sau

Định lí 1.7 (Điều kiện cần và đủ) Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương hội

tụ là dãy tổng riêng của nó bị chặn.

Để chứng minh một chuỗi số dương hội tụ ta thường sử dụng một trongcác dấu hiệu (không chứng minh) sau:

Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử

bn hội tụ thì

n 1

Định lí 1.9 (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số dương

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim a n k

hội tụ thì các

chuỗi (a n

n 1

b n ), a, n b n

Nhận xét Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với các chuỗi

trội hay dễ thấy sự hội tu hay phân kì của chúng

Định lí 1.10 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

f x là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1,

Khi p

0 , xét hàm f x

n Khi đó:

1 Nếu c

2 Nếu c

1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số

1 a ab a2b a2b2

a n b n 1 a n b n

trong đó a, b là hai số dương khác nhau.

Kí hiệu số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là c n , ta có:

2) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.

a n Giải Từ giả thiết suy ra q 0 Với

q1 q , ta xét chuỗi n

, trong đó

n 1 q1

thỏa mãn dấu hiệu D’Alembert thì cũng thỏa mãn dấu hiệu Cauchy.

iii) Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D’Alembert nếu các giới hạn lim n a n ,

Định lí 1.14 (Dấu hiệu Gauss) Cho

n a n là chuỗi số dương Giả sử

Theo dấu hiệu Gauss, nếu p

thì chuỗi đã cho phân kì

2 thì chuỗi đã cho hội tụ, còn với p

1.3 Chuỗi với các số hạng có dấu bất kỳ

n 1

a n cùng

dấu được gọi là chuỗi đan dấu Để đơn giản ta luôn xem a n

S lim

S 2n n tồn tại Hơn nữa lim a n 2n 1 0 , nên

lim S 2n 1 lim S 2n lim a 2n 1 S

1 thì với mọi n > N (ho ặc n chẵn hoặc n

lẻ) ta đều có S n S , suy ra dãy S n hội tụ đến S W

a n n

Chú ý Trong định lí Leibniz giả thiết về tính đơn điệu giảm dần về 0 khi

n + của dãy a n có ý nghĩa quan trọng vì có những ví dụ chứng tỏ rằng:

có thể phân kì Chẳng hạn, chuỗi n 1( 1)n-1 2 ( 1)n là một chuỗi đan dấu có

( 1)n-1 2 1

n n

trong đó chuỗi

( 1)n

n 1

1.2

n

hội tụ theo định lí Leibniz còn chuỗi

kì Vì vậy chuỗi n 1( 1)n 1 2 ( 1)n ( 1)

n 1 2

phân kì thì ta nói chuỗi

tụ (hay hội tụ có điều kiện).

Từ định nghĩa trên ta có kết quả sau

Định lí 1.16 Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

Nhận xét Điều kiện a n

n 1 hội tụ chỉ là điều kiện cần để chuỗi

Khi đó chuỗi a (n) cũng hội tụ tuyệt đối và

n 1 Nói một cách khác: Việc thay đổi thứ tự các số hạng của một chuỗi số hội tụ tuyệt đối không làm thay đổi tính hội tụ và tổng của chuỗi đó.

Chứng minh Theo giả thiết

hội tụ tuyệt đối

Gọi S n và T n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi

khi đó lim S n

n S và với mọi 0 cho trước bao giờ cũng có một số tự

nhiên n0 sao cho a k .

S W

Định lí 1.18 (Định lí Riemann) Giả sử chuỗi

n a n (A) hội tụ tuyệt đối.

1

Khi đó với số L cho trước (hữu hạn hay vô hạn) ta có thể hoán vị các

số hạng của chuỗi số (A) để nhận được một chuỗi số có tổng bằng L.

(A) ) hội tụ không tuyệt đối.

Trước hết, giả thiết L là một số hữu hạn ta chọn k 1 đủ lớn sao cho:

Sau đó chọn các số hạng c

1,c2 , ,c sao cho1

Tiếp tục chọn k2 sao cho

Sau đó chọn m2 sao cho

Tiếp tục quá trình này đến vô hạn ta nhận được chuỗi đan dấu

C1 B2 C2 B3 C3 D

B1

Nếu L thì ta chọn chuỗi D sao cho dãy tổng riêng S n

lần lượt lớn hơn 1, 2, 3, …khi đó tổng của chuỗi D sẽ là

Trường hợp L được là tương tự W

của nó

2.1.1 Khái niệm Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm

Dãy hàm là một họ đếm được các hàm số xác định trên một tập U nào

đó được đánh số theo thứ tự tăng dần, kí hiệu f n

Ta nói dãy hàm f n hội tụ tại x0 U nếu dãy số f n x0 hội tụ, còn

nếu tại x0 dãy số f n x0 phân kì thì ta nói dãy hàm f n phân kì tại x0

Nếu dãy hàm f n hội tụ tại mọi điểm x U thì ta nói dãy hàm f n hội tụ trên U và khi đó hàm số f xác định trên U sao cho f(x) lim

(x)

với

x U được gọi là giới hạn của dãy hàm f n trên tập U Kí hiệu: f n

hiệu f n nếu với mỗi số dương cho trước tồn tại số tự nhiên

với m,n

f (x)sup fn (x)

Điều này có nghĩa là dãy hàm

Định lí 2.3 (Weierstrass) Dãy hàm

f n hội tụ đều trên A đến f W

f n là hội tụ đều đến hàm f trên tập A nếu tồn tại dãy số dương a n hội tụ đến 0 và thỏa mãn điều kiện

tồn tại số tự nhiên n0 (đủ lớn) sao cho mọi số tự nhiên n lớn hơn n0 ta đều có

a n kết hợp với điều kiện của định lý ta có

f n x Vậy f n hội tụ đều đến hàm f trên tập A W

2.1.2 Tính chất hàm giới hạn của dãy hàm

Định lí 2.4 (Tính liên tục) Giả sử rằng:

a) f n là dãy hàm hội tụ đều trên tập A đến hàm f.

b) f n ( n = 1, 2, …) là các hàm liên tục trên A.

Khi đó f là một hàm liên tục trên A.

b) Dãy hàm f n hội tụ đều đến hàm f trên a,b

Khi đó f là hàm khả tích trên a,b và

x a, b ta có

tụ đều đến f trên a,b thì f liên tục trên a,b và

lim

n f n x dx f (x)dx.

Chú ý Nếu chỉ thỏa mãn điều kiên hội tụ đều thì chưa đủ để có kết luận trên.

2, hội tụ đều trênđoạn 0,1 nhưng

Giải Ta có lim f x lim

nxe nx2 0 x 0,1 Do đó

Tuy nhiên

Vậy

Định lí 2.6 (Qua giới hạn dưới dấu đạo hàm) Giả thiết:

a) Các hàm f n : a,b R khả vi trên a,b

b) Dãy hàm f n hội tụ tại một điểm

hội tụ tại mỗi điểm trên tập U thì ta nói

rằng chuỗi hàm (2.2) hội tụ (hay hội tụ điểm) trên tập U.

k 1 x hội tụ đều trên tập U.

Nghĩa là, chuỗi hàm gọi là hội tụ đều trên U nếu

Nhận xét Như vậy chuỗi hàm cũng có bản chất tương tự như dãy hàm, cho

nên từ kết quả về dãy hàm ta dễ dàng suy ra các kết quả đối với chuỗi hàm

k 1 x hội tụ đều trên tập U khi và chỉ khi với 0 cho trước tồn tại số tự nhiên n0 n0 (

) sao cho với

mọi n n0 và với mọi m nguyên dương đều xảy ra n m

k n 1

u k (x) x U

k 1 x hội tụ đều trên tập A thì dãy hàm u n là hội tụ đều đến 0 trên tập A.

n x gồm các hàm u n

n 1 xác định trên tập U Giả thiết tồn tại một dãy số dương C n sao cho:

a) u n (x)

sử dụng tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra điều cần chứng minh W

Nhận xét Với chứng minh như trên ta cũng suy ra được rằng chuỗi hàm là hội

tụ tuyệt đối (và đều trên tập U) Dấu hiệu này tuy đơn giản nhưng rất hữu ích.

sin nx

và chuỗi số

Định lí 2.9 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm

trên tập U Giả thiết :

có nghĩa là tồn tại một số M 0 sao cho A n (x)

b) Dãy hàm b n đơn điệu có nghĩa là với mỗi x U dãy b n x là dãy số đơn điệu và dãy hàm

b n

hội tụ đều trên U đến 0.

hội tụ đều trên U W

Nhận xét Dấu hiệu Dirichlet thường khó kiểm tra hơn tiêu chuẩn Weierstrass,

cho nên nó chỉ được dùng khi không áp dụng được tiêu chuẩn Weierstrass, như trong trường hợp sau đây

Ví dụ Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm

n 1 n là hội tụ đều trên mọi

Định lí 2.10 (Dấu hiệu Abel) Cho hai dãy hàm

n0 sao cho với mọi số tự nhiên n n0 và mọi số tự nhiên p ta có

Với cách lập luận tương tự như trong định lý trên ta suy ra rằng

và từ tiêu chuẩn Cauchy ta có điều cần chứng minh W

hội tụ tại điểm x chuỗi này cũng hội tụ với mọi x

đơn điệu giảm đến 0 khi

n Do đó theo dấu hiệu Abel chuỗi a n

hội tụ với mọi x

n 1 n

2.2.2 Tính chất của tổng chuỗi hàm

Từ tính liên tục của hàm giới hạn của dãy hàm ta có kết quả sau

tổng là một hàm liên tục nhưng chuỗi hàm x n

n 0 hội tụ không đều trên

Định lí 2.12 (Định lí Dini) Giả thiết rằng:

a) Chuỗi hàm u n

n 1 x hội tụ trên a,b đến tổng S(x).

b) u n (n 1, 2, …) là các hàm liên tục trên a,b và u n (x) 0 (hoặc

u n

x 0 ) với mọi x a,b n = 1, 2, …

n 1 x hội tụ đều trên a,b

(Trường hợp u n không dương được chứng minh hoàn toàn tương tự)

a,b

những hàm liên tục trên a,b , hơn nữa với mỗi x a,b cố định,

một dãy giảm 1(x) 2 (x) n (x) Vì chuỗi u n

n 1 x không hội tụ đều trên a,b , khi đó tồn tại

số 0 0 , với mọi n = 1, 2,… tìm được các số

Ta nhận được dãy x n a,b là một dãy bị chặn, theo nguyên lí Bolzano Weierstrass sẽ tìm được dãy con x x hội tụ và lim (x ) (x )

n 1 x hội tụ đều trên [a, b] W

tục trên a,b thì dãy hàm đó hội tụ đều trên a,b

hợp con của tập số thực và x 0 là điểm tụ của U Giả sử rằng:

a) Chuỗi hàm hội tụ đều trên U và có tổng là S.

b) Tồn tại

Khi đó:

lim u n (x)

Chứng minh 1) Từ giả thiết a) của định lý ta suy ra rằng với ε 0 tồn tại

một số tự nhiên n0 n0 sao cho với mọi n n0 và với mọi m N

k n 1 2 Điều đó có nghĩa là chuỗi số

2) Cho trước 0 theo giả thiết a) của định lý tồn tại số tự nhiên

S(x)

Theo giả thiết b) tồn tại một số tự nhiên n2 sao cho với mọi n

Đặt

n0 max n1,n2 và cố định số tự nhiên n3 x

Các định lí sau được suy ra từ tính chất của hàm giới hạn của dãy hàm:

n 1 x Giả sử rằng: a) u n (n = 1, 2, …) là các hàm khả tích trên a,b

b) Chuỗi hàm u n

n 1 Khi đó:

x hội tụ đều trên a,b đến tổng S(x).

1) S là hàm khả tích trên a,b

2)

n 1 rằng:

x Giả thiết

a) Chuỗi hàm hội tụ tại một điểm x0 nào đó thuộc a,b

b) u n là các hàm khả vi trên a,b …

Chương 3 CHUỖI LŨY THỪA

3.1 Định nghĩa Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

n (x x0 )

n 0 trong đó x0 ,a1,a2 , là những số thực

Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa.

Nhận xét Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại điểm x x0 Nếu

chuỗi có tâm tại y

Định lí 3.1 (Định lí Abel) Cho chuỗi lũy thừa

Khi đó tồn tại một số R, 0 R sao cho:

a) Chuỗi (3.1) hội tụ trong khoảng R, R và hội tụ đều trong mỗi đoạn r,r với 0

b) Tại mọi x mà x Rchuỗi (3.1) phân kì.

Chứng minh a) Nếu chuỗi lũy thừa (3.1) chỉ hội tụ tại đúng một điểm x

thì R

Giả sử chuỗi (3.1) hội tụ tại điểm x0 0 , ta sẽ chứng minh chuỗi (3.1)

hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x mà x x0

Từ giả thiết chuỗi

n a n x0

0

hội tụ ta suy

ra n lim a n x0 0 Do đó tồn tại

a n M | với n = 0, 1,Với những điểm x mà 0 x

x0 ta có

n 0 x0 hội tụ nên chuỗi n a x n

R Theo chứng minh ở phần trên, chuỗi (3.1) hội tụ tuyệt đối tại x.

Điều đó chứng tỏ rằng chuỗi (3.1) hội tụ tuyệt đối trong khoảng ( R, R)

Giả sử r là một số thỏa mãn điều kiện 0 < r < R Khi đó chuỗi số

a r n

n 0 hội tụ

Mặt khác với mọi x r,r ta có a x n

Theo dấu hiệu Weierstrass chuỗi lũy thừa (3.1) hội tụ đều trong đoạn

b) Giả sử R Giả thiết phản chứng tồn tại điểm x với x R mà tại

R Theo chứng minh trên,

chuỗi (3.1) hội tụ tại x1 do đó

x1

A điều này trái với giả thiết vì R

R W

Vậy chuỗi (3.1) phân kì tại mọi x mà x

Định nghĩa 3.2 Số thực R 0tồn tại theo định lí 3.1 được gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi lũy thừa, còn khoảng

chuỗi lũy thừa

R, R được gọi là khoảng hội tụ của

chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất x

nói là phân kì hầu khắp nơi và bán kính hội tụ là R 0, khoảng hội tụ suy

biến thành một điểm x

Nếu R thì ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ khắp nơi.

Định lí 3.2 (Định lí Cauchy - Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

R

3.2 Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

Từ các tính chất của tổng chuỗi hàm ta suy ra các tính chất sau:

Định lí 3.3 (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa

n a x n

0

có bán kính hội tụ

là R > 0, khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ

Định lí 3.4.(Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa

n a x n

0

có bán

R

nhận được bằng cách đạo hàm từng số

hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.

b)Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ

Chú ý Từ định lý 3.5 ta suy ra rằng các chuỗi lũy thừa nhận được từ việc đạo

hàm hay tích phân từng số hạng của một chuỗi lũy thừa cho trước có cùng bánkính hội tụ với chuỗi đã cho

Định lí 3.6 (Định lý Abel) Giả sử chuỗi lũy thừa

1)n

a R n

0

3.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

Định lí 3.7 Giả sử chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 3.3 Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cận nào đó

của điểm x0 , thì chuỗi:

được gọi là chuỗi Mac - Laurin của hàm f(x).

Như vậy, nếu hàm f khả vi vô hạn trong một lân cận nào đó của điểm

x0 là tổng của một chuỗi lũy thừa tâm tại điểm x0 , thì chuỗi lũy thừa đó chính

là chuỗi Taylor của hàm f tại x0

Nhận xét Không phải lúc nào chuỗi Taylor của một hàm f trong khoảng hội

1

f ' 0

cho, chuỗi Mac - Laurin không hội tụ về chính hàm số đó.

Định nghĩa 3.4 Ta nói hàm số f có thể khai triển được thành chuỗi Taylor tại

điểm x x0 , nếu trong khoảng hội tụ của nó, chuỗi

tổng đúng bằng hàm số f(x), tức là

f (n) x

n 0 n! x x0 có

f x Nếu hàm số f có đạo hàm cấp n + 1 trong lân cận của điểm x0 thì hàm

số đó có thể khai triển theo công thức Taylor

f x

trong đó R n (x) là phần dư dạng Lagrange

R n x

Định lí 3.8 Giả sử f là hàm có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận nào đó

của x0 Kí hiệu: R n (x) là phần dư dạng Lagrange của công thức Taylor:

0 k

(n 1)

x x0n1 !

thể khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm

Chứng minh Theo công thức Taylor ta có

2, với mọi x x , x thì hàm f có thể khai

triển được thành chuỗi Taylor tại

Chứng minh Theo giả thiết ta có

x0 .

R n x