route selection× model selection× nhóm công cụ selection× Từ khóa efficient core selectionselection plancore selection advanced selection queries mv lv architecture selection guide materials selectionselection process
Trang 1Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si
- Trang | 1 -
1 Chứng minh rằng: 1 a 1 b 2 1 a b, 0
HD
a b
VT
2 Chứng minh rằng: 2 a 2 b 2 c 3 1 a b c, , 0
HD
Với mọi a, b, c>0 ta có:
3
1
3
VT
3 Cho 0
1
a,b,c
abc
a b c
HD
Với a, b, c>0 và abc=1 ta có:
a b c a b c
Ta có VT a a a a a a b2 b2 b2 c3 c3 11 6a b c6 6 6 11(đpcm)
4 Cho , , 0
4
a b c
abc
Chứng minh rằng: (2 + a)(2 + b)(1 + c) 32
HD
Với a, b, c > 0 và abc=1 ta có:
VT=(2 + a)(2 + b)(1 + c) =4 2 b 2a ab 4 2c bc 2ac abc
Các bài tập
Trang 2Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si
- Trang | 12-
4
2
4
4
4
2
2 2 2
a a b c
b b c a
c c a b
Cộng các vế lại với nhau kết hợp a2 b2 c2 abbcca
Ta có ĐPCM
6 Cho , , 0
3
a b c
a b c
3
2a b a 2a c 2b c b 2b a 2c a c 2c b
HD
3
a b c
a b c
ta có đề bài trở thành:
CM: 2 a32 2 b32 2 c32 a 9b c
Thật vậy, ta có:
3
3
3
a
a b a c
b
b c b a
c
c a c b
Cộng từng vế ta được ĐPCM
7 Cho , , 0
1
a b c
ab bc ca
b cc aa b
HD
1
a b c
ab bc ca
Đề bài trở thành, chứng minh rằng: a32 b32 c32 ab bc3 ca
Ta có:
2 4
2 4
2 4
a
ab ac
b
bc ab
ca cb c
c
ca cb
Cộng vế với vế ta được
Trang 3Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si
- Trang | 1 -
CỘNG THÊM HẰNG SỐ
1 Cho 0
3
a,b,c
a b c abc
a b c
HD
a b c
ab
bc
b c
ca
ab bc ca
2 Cho a b c, , 0 thỏa mãn a3 b3 c3 3 Chứng minh rằng a5 b5 c5 3
HD
1 1 5
1 1 5
1 1 5
3
a b c
3 Cho a b c, , 0 thỏa mãn a b3 3 b c3 3 c a3 3 1 Chứng minh rằng: 7 7 7
6 1 3
a b c
HD
6
7 1
3 3
a b c
- si (Phần 04) thuộc khóa học Bồi
vn Để sử dụng hiệu quả, bạn
Trang 4Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Bất đẳng thức Cô - si
- Trang | 2 -
9
4
Dấu “=” xảy ra khi:
3
a x
a x b
Ta sẽ chọn các tham số sao cho:
3 3
81
16
3
3
3
1
1
S
MinS
Dấu “=” xảy ra các bạn tự làm
3 Cho a b c m n, , , , 0 thỏa mãn abbcca 1 Tìm Min Sma2 nb2 c2 theo tham số m, n
HD
Xét các tham số x, y, z >0 thoả mãn: mx n, y,1 z 0
1 2
2
xa yb xyab
m x a zc m x zac
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2
1
xa yb
xa
Ta sẽ chọn x, y, z sao cho xy mx z ny1 zk
Trang 5Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Phương pháp đạo hàm
- Trang | 3 -
32 3 2 3 2 3 2
Do x 3;2 x3 27;8 27 2 y3 8 6 y3 29 (1)
Mặt khác y 3;2 nên y3 27;8 (2) Từ (1) và (2) t y3 6;8
Xét f t trên D 6;8 Ta có:
'
f t
và f ' t 0 t 1 Lập bảng biến thiên ta có
D
S t f f đạt tại x y; 0; 2 3 hoặc hoán vị
MaxS Maxf t f 6 4 36 đạt tại x y; 3 3;2 hoặc hoán vị
3
a b
ab a b
Giải
Từ ab a b 3 3 ababa4b2 a b 2. Ta có
a b
1
Xét hàm số g t t2 t 12 2, 2.t
t
g t' 2 1t 122 0, t 2
t
2
3
t g t g
Vậy MaxS 32 a b 1.
Bài 6 Cho x2 y2 1 Tìm Max, Min của A x 1 y y 1x
Giả
1 Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có
A x2 y21 y 1 x 2 x y
2 2x2 y2 2 2 Với 1
2
x y thì Max A 2 2
2 Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây
Trang 6Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Phương pháp đạo hàm
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 -
Bài 10 (Đề TSĐH khối D, 2007):
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Giải
Đặt u x 1;v y 1
3 3
x
8
u v, là nghiệm của phương trình bậc hai f t t2 5 8t m
Hệ có nghiệm f t m có 2 nghiệm t t1 2, thỏa mãn t1 2; t2 2
Lập Bảng biến thiên của hàm số f t với t 2
2
/2
+
f t +
2
2
7 /4
+
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 7 2 m 22
Bài 11 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001):
Tìm x để bất phương trình x2 2 sinx y cosy 1 0 đúng với y
Giải
Đặt usinycosy 2, 2 ,
2, 2
u
Do đồ thị yg u là một đoạn thẳng với u 2, 2 nên
2, 2
u
g u
2 2
g
Trang 7Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Phương pháp đạo hàm
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 15 -
4 4
3
1
1
a
b
1
1
b
1
2
3 3
1
t
2
3
2 3
2
3 3
1
t
f(t) = 0 t = 1 Bảng biến thiên của f(t)
Từ BBT 4
3
2
2 f(t) < 1 t > 0 4 4 4 4
2 2
a b
a b
3 3 3 4 4 4
a b a b
Dấu bằng xảy ra a = b > 0
Giáo viên : Lê Đức Việt
Nguồn : Hocmai.vn
f 1
4 3
2
2
1
Trang 8Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
81
*Nhận xét: Dồn biến khéo léo để phát hiện ra t x y
Bài 5 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng
9
Chứng minh
Không mất tính tổng quát, giả sử a b c 3 Bài toán cần chứng minh qui về dạng sau
3
Dễ dàng dự đoán bất đẳng thức phụ sau
2
Điều này hiển nhiên đúng do a[0,3)
Sử dụng bất đẳng thức này cho b c, rồi cộng lại, ta có đpcm
Giáo viên : Lê Đức Việt
Nguồn : Hocmai.vn
Trang 9Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1 Cho x 1,y 2,z 3 thỏa mãn: xyz3xyyz2xz6x3y2z 5
6
S
GIẢI
* Đặt
1
2
1 3
a b c
abc
c z
a b c
2
2
2
2 2
1 1
2 2
1
2
f t
t t
t t
t t
BBT:
'
1 0, 0
* Từ đó ta có: f a f b f c 0 nên suy ra
BÀI 25 PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ĐỨC VIỆT
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 25 Phương pháp dồn biến (Phần 2) thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 10Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
Đặt t a b, 0 t 2 3
2
2
2 2
1
2
1
2
2
t
BBT:
'
2
1
2
c
3 [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method]
Chứng minh
Ta cần xác định hệ số để bất đẳng thức sau là đúng
2
Dễ dàng tìm ra bất đẳng thức phụ sau
2
Tương tự với các biến còn lại
Trang 11Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 -
Như vâ ̣y bài toán đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c hoặc ab c, 0 và các hoán vị Hằng số k tốt nhất cần tìm là 5
Giáo viên : Lê Đức Việt
Nguồn : Hocmai.vn