Kĩ thuật nâng lũy thừa và sử dụng viet đảo

Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo Kĩ thuật nâng lúy thừa và sử dụng viet đảo

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Lý thuyết cơ bản

• Nếu một đa thức f x( ) có các nghiệm phân biệt x x thì đa thức 1, 2 f x( ) chia hết cho x2 −Sx+P

trong đó S = +x1 x2 và P=x x1 2

• Nếu đa thức f x( ) chia hết cho thu được kết quả là đa

thức g x( ) thì ( ) ( 2 ) ( )

f x = x −Sx+P g x

• Để tính gần đúng một nghiệm của phương đa thức bậc n

ví dụ ta cần giải phương trình hữu tỷ sau:

x − x +x − x+ = Ta sử dụng máy tính CASIO

theo các bước, đó là:

o Truy cập Mode 1, ta bấm X4 −3X3+X2−2X + =1 0

o Bấm SHIFT + CALC Máy tính hỏi giá trị của X ta có thể nhập một giá trị X bất kỳ, ví

dụ ta sẽ gán X =0 ( Bấm 0, sau đó ấn “ = “ )

o Đợi một lúc, màn hình máy tính sẽ hiện ra như sau

Và giá trị X =0.476888865 chính là một nghiệm của phương trình đã cho

• Các hằng đẳng thức đáng nhớ cần áp dụng:

2

a±b =a ± ab+b

o ( )3 3 2 2 3

a±b =a ± a b+ ab ±b

2

a+ +b c =a +b + +c ab+bc+ca

o ( )3 3 3 3 ( )( )( )

3

a+ +b c =a + + +b c a+b b+c c+a

• Các dạng toán thường gặp, đó là:

o ( ) ( ) 2( ) ( ) ( )

0

f x

≥



=

 ; ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( )

f x h x

f x h x g x

f x h x g x

≥



=

o ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

f x







=



;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

f x h x

f x q x h x g x





=



Chú ý:

Với tiêu đề NÂNG LŨY THỪA VÀ VIET ĐẢO, phương pháp này cho ta tìm nghiệm của một đa thức bậc cao hay nói cách khác nghiệm của một phương trình vô tỷ có chứa căn thức Tuy nhiên không phải trường hợp nào cũng có thể nâng lũy thừa và giải quyết được, vậy ta quy ước như sau:

a) Bậc cao tối thiểu sẽ là 8 , tức là các bài toán dạng ( ) 1( )

vậy sẽ dễ dàng hơn trong việc chúng ta khai triển đa thức

b) Thường gặp sẽ là ở các bài toán đa thức bậc 4 và bậc 6 , bậc 6 ta có thể tách thành 6= +4 2 tức

là thành đa thức bậc 4 nhân đa thức bậc hai 2 Vậy trong trường hợp SHIFT + CALC mà đa thức

03 KĨ THUẬT NÂNG LŨY THỪA VÀ DÙNG VI-ET ĐẢO

Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Cở sở của phương pháp là tìm được hai nghiệm của phương trình, thậm chí là ba nghiệm để xét tổng và

hiệu chính là x1+x2; x x1 2 sau đó tìm được nhân tử 2 ( )

x − x +x x+x x

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 2 ( ) ( ) ( )

4 5

2

x

PHÂN TÍCH CASIO Bài toán trên thực chất được phát biểu gần giống với đề toán THPT Quốc Gia

năm 2015 Bây giờ, trước hết ta sẽ dùng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát

miền nghiệm của bài toán trước

• Nhập hàm số

2

4 5

2

X

+

• Vì điều kiện bài cho là x≥ −3 nên ta sẽ nhập các giá trị như sau:

o START = −3

o END =5

o STEP =0.5

• Dựa vào bảng bên ta có thể

thấy được rằng x=1 và

(2; 2.5)

x∈ là các nghiệm

của phương trình đã cho

• Bây giờ ta có thể tự tin dùng SHIFT + CALC cho

phương trình bài cho và lưu

ý là gán x∈(2; 2.5)

• Nhập phương trình 2 ( ) ( )

2

4 5

2

X

+ , sẽ gán X =2.3 thì máy tính sẽ xuất hiện nghiệm còn lại của phương trình đã cho, đó là:

• Với hai nghiệm tìm được, ta sẽ thay vào căn

thức ta được 3 2

3 2.0302775638

X





• Mặt khác: với x=1 thì x2 +4x− =5 0 nên ta sẽ tách được nhân tử chung với lượng x+ −3 2

nên ta sẽ tìm được nghiệm x=1 như sau:

2

4 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )



• Vấn đề còn lại là giải quyết phương trình ( )∗ , và dễ thấy ta sẽ biến đổi ( )∗ về dạng

( ) ( ) ( )

f x =h x g x

như sau: ( ) 3 2

x+ x+ =x + x − Khi đưa về dạng quen thuộc rồi, ta sẽ mạnh dạn bình phương hai vế, ta được: ( 3 2 )2 ( ) (2 ) ( )

x + x − = x+ x+ i Tiếp tục, theo bài trước, ta sẽ dùng máy tính để phân tích nhân tử đa thức, đó là: gán x=100, ta sẽ thấy:

i

VP = x + x − = x +x +x − = x +x + x +x x − + x −

i

VT = x+ x+ =x + x + x+

Nên ta xét

2 x +x x − +6 x −6 −VP i =2 x +x x − +6 x −6 − −x 13x −55x−75

2x 3x 13x 37x 55x 39

Khi đó ( ) 6 5 4 3 2

i ⇔x + x + x − x − x − x− =

• Với phương trình ( )i dùng SHIFT + CALC ta tìm được hai nghiệm là x1 = −1.302775638 và nghiệm còn lại là x2 =2.302775638 Từ đó xét tổng, tích là 1 2

1 2

1 3

x x

x x





= −

 nên ta có nhân tử là

3

x − −x , khi đó thực hiện phép chia đa thức

2

5 12 14 13 3

Và ta sẽ thấy rằng phương trình x4 +5x3+12x2 +14x+13=0 (xem cách chứng minh ở dưới )

Tuy nhiên, ta có thể nhìn nhận theo hướng hàm số như sau:

2

Xét hàm số ( ) ( 2 ) ( )

f t = t + t+ , có ( ) ( ) 2 2 2 ( )2

f t = t t+ + + =t t + + = +t t t+ > ∀ ∈t ℝ

nên suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên ℝ mà

2

x

x x

≥

− − =



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; 1 13

2

x= x= +

Ví dụ 2 Giải phương trình 2 ( )

2x −6x− =1 4x+5 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Đây là dạng phương trình cơ bản có dạng ( ) ( ) 2( ) ( ) ( )

0

f x

≥



=

dễ thấy được điều kiện bài toán là 2x2 −6x− ≥1 0 Và giải pháp mà ta hướng tới đó chính là nâng lũy thừa hai vế, khi đó ta được phương trình đã cho ( 2 )2 4 3 2

2x 6x 1 4x 5 x 6x 8x 2x 1 0

• Phương trình trên, dùng chức năng SHIFT + CALC ta sẽ tính được gần đúng bốn nghiệm của phương trình ( vì nó là một đa thức bậc bốn ), các nghiệm đó là 1

2

2.4142135262 0.4142135262

x x

=





= −

3

4

3.732050808

0.2679491924

x

x

=





=



• Nhưng để xét được tích và tổng, thì chú ý đến mỗi cặp nghiệm là hai nghiệm của một phương trình bậc hai vì thế ta cần chia nghiệm để chia thành hai cặp nghiệm như thế nào ? Và ta cần chú ý đến các nghiệm có phần thập phân giống nhau như hai nghiệm 1

2

2.4142135262 0.4142135262

x x

=





= −

được là 1 2

1 2

2 1

x x

x x





= −

 Do đó ta được nhân tử

2

2 1

x − x− và hai nghiệm còn lại được nhân tử 2

4 1

x − x+ Và ta sẽ được:

x − x + x + x− = ⇔ x − x− x − x+ =

TƯ DUY LỜI GIẢI Điều kiện: 5

4

x≥ −

( ) ( )( )

2

2

 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x= −{1 2; 2+ 3}

Ví dụ 3 Giải phương trình ( ) ( 2 ) ( ) ( )

2x x−4 = x −6x+10 2x− −1 1 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: 1

2

x≥ Ta thấy phương trình được rút gọn lại thành:

2x −8x= x −6x+10 2x− −1 x +6x−10⇔3x −14x−10= x −6x+10 2x−1 ∗ Phương trình trên nằm trong các dạng phương trình cơ bản

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x h x

f x h x g x

f x h x g x

≥



=

 mà đã giới thiệu ở trên, chính vì thế ta được



∗ ⇔

Bây giờ sử dụng các kiến thức được cung cấp ở CHUYÊN ĐỀ 1 ta sẽ khai triển đa thức như sau:

3x −14x+10 =9x −84x +256x −280x+100

2x−1 x − 6x−10  = 2x−1 x −2x 6x−10 + 6x−10  ( cách làm này là ta

đã tách bình phương ra sao cho khi phá ra để nhân với đại lượng 2x−1 xuất hiện bậc nhỏ nhất có thể )

2

Xét riêng với đa thức 2( )( )

2x 6x−10 2x−1 , ta có thể làm như sau:

Gán x=100 suy ra

Do đó suy ra ( ) 2 ( ) 2 5 4 3 2

2x−1 x − 6x−10  =2x −25x +124x −296x +320x−100 Vậy nên ta có được

3x −14x+10 = 2x−1 x −6x+10 ⇔2x −34x +208x −552x +600x−200=0

Bây giờ ta sẽ dùng chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình bậc năm ở trên

Nhập máy tính 2X5−34X4 +208X3−552X2 +600X −200=0, gán các giá trị X bất kỳ ta sẽ được 5

nghiệm của phương trình là

1 5; 2 3.414213562; 3 0.5857864376; 4 6.449489743; 5 1.550510257

Đến đây xuất hiện bốn nghiệm lẻ và ta cũng sẽ ghép cặp như ví dụ trên, ta thấy sẽ chọn tổng hai nghiệm sao cho tổng đó là một số hữu tỷ và có hai cặp nghiệm thỏa mãn chính là 2 3

4 8

x x

x x

+ =





2 3

4 5

2 10

x x

x x

=





=

 Khi

đó ta nhóm được nhân tử là ( ) ( 2 )( 2 )

x− x − x+ x − x+ Hoặc khi ta phát hiện được một trong hai nhân tử bậc hai là x2−4x+2 hoặc x2−8x+10 ta có thể thực hiện phép chia đa thức:

2 25 124 296 320 100 2 25 124 296 320 100

;

LỜI GIẢI Điều kiện: 1

2

x≥ Phương trình đã cho tương đương với 2 ( 2 ) 2

2x −8x= x −6x+10 2x− −1 x +6x−10

3x 14x 10 x 6x 10 2x 1

5

2 2

4 6

x

x

x

=



Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên

Ví dụ 4 Giải phương trình 3 2 ( ) 2 ( )

PHÂN TÍCH CASIO Phương trình đã cho có dạng f x( ) ( ) ( )h x g x f x h x2( ) ( ) ( ). 2( ) ( )0

f x h x g x

≥



=

ta sẽ chọn giải pháp nâng lũy thừa hai vế và ta được ( 3 2 )2 2( )2( 2 )

3x −6x +5 =36x x−2 x − −x 1

• Đa thức ( 3 2 )2

3x −6x +5 để đơn giản hóa, ta sẽ tách thành như sau:

• Đa thức 2( )2( 2 )

x x− x − −x sẽ tách thành 2 ( 2 )( 2 )

x  x − x+ x − −x 

x − x+ x − − =x x − x + x − nên suy ra

( )2( )

3x −6x +5 =36x x−2 x − − ⇔x 1 27x −144x +216x −30x −84x −25=0 Nhập máy tính 27X6 −144X5 +216X4−30X3−84X2−25=0, gán một giá trị X bất kỳ ta thu được

hai nghiệm phương trình đó là

1

2 2.632993162

5 0.6329931619

3

x



=

⇒

3 3

x − x− = x − x−

Và ta sẽ tìm đa thức còn lại bằng phép chia đa thức, như sau:

2

27 144 216 30 84 25

Phương trình bậc bốn còn lại vô nghiệm

Cũng với nghiệm như trên, ta sẽ có được 2 x2 − − = +x 1 x 1 nên ta sẽ chọn giải phép ghép biểu thức liên hợp hay vì nâng lũy thừa với số mũ to như vậy Chia biểu thức như sau:

( )

2

− − − −

2

3x −5x+ +1 2 x − − =x 1 x − − +x 1 1 +2 x−1 ≥0

Do đó phương trình đã cho

3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 2 6

3

x= ±

TỔNG QUÁT Phương pháp chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm

Đặt vấn đề Giải phương trình ( ) 4 3 2

0

Lời giải Dùng SHIFT CALC hoặc TABLE ( mode 7 ) thấy phương trình vô nghiệm Ta sẽ chứng minh

phương trình f x( )=0 như sau:

• Tìm hằng số α∈ℝ sao cho

2

0 2

ax

x +ax +bx + + −cx d x + +α >

• Đạo hàm cấp 1 là ( ) 3 2

f x = x + ax + bx+c

• Giải phương trình ( ) 3 2

f x = x + ax + bx+ =c ta được nghiệm x= x0

o Một nghiệm duy nhất suy ra đây chính là điểm rơi của bài toán

o Nhiều nhiệm, ta cần thử xem nghiệm nào cho f x( )min thì đó chính là điểm rơi của bài toán

• Tìm α sao cho 02 0

2

a

α ≈ − − nhất

• Sau khi tìm được α ta sẽ tìm được 4 3 2 2 2 ( )

0 2

ax

x +ax +bx + + −cx d x + +α =g x >

Ví dụ xx Giải phương trình x4 +5x3 +12x2 +14x+13=0 trên tập số thực

Lời giải Xét đạo hàm của hàm số ( ) 4 3 2

f x = x + x + x + x+ , có ( ) 3 2

f x = x + x + x+ Dùng máy tính CASIO ta có được f '( )x = ⇔ = −0 x 1.178845902

Khi đó số α cần tìm là:

2

1.178845902 1.178845902 1.557437094

a

Do đó ta có

Nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ xx Giải phương trình 9x4 −30x3+27x2 −6x+ =5 0 trên tập số thực

Lời giải Xét đạo hàm của hàm số ( ) 4 3 2

f x = x − x + x − x+ , có ( ) 3 2

f x = x − x + x−

Dùng máy tính CASIO ta có được ( )

1.654057332

0.1434316734

x

f x x

x

=







Và ta thấy rằng f (1.654057332)min

Khi đó số α cần tìm là:

2

1.654057332 1.654057332 0.02085656246

a

Do đó ta có

4 30 3 2 6 5 2 30 1 12300 10500 12473

Nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 5 Giải phương trình x2+ − =x 1 2 x+1

A Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

x + −x = x+ ⇔ x + x − −x x− = (2) Nhập vào máy tính X4 +2X3−X2−6X− =3 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1, 618033989

Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989= A.

Nhập vào máy tính

0

− Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988

Bấm SHIFT STO B để gán 0, 618033988− =B

Nhập vào máy tính

0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 1

A B

+ =



⇒



= −

 (2) có nhân tử

2

1 0

x − − =x

B Lời giải

ĐK: x≥ −1 (*)

Khi đó ta có ( 2 )2 ( ) 4 3 2

x + −x = x+ ⇔ x + x − −x x− =

2

Thử lại ta được 1 5

2

x= +

thỏa mãn

Đ/s: 1 5

2

x= +

C Chú ý quan trọng

Nếu ở trên ta tính

A B

+





 mà không đẹp thì ta sẽ thực hiện chia tiếp

Nhập vào máy tính

0

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra một giá trị của x

Gán giá trị này bằng C bằng cách bấm SHIFT STO C

Sau đó tính ,

+

Nếu thấy giá trị đẹp thì ta suy ra được ngay nhân tử nếu không đẹp ta lại chia tiếp và cứ vậy

Ví dụ 6 Giải phương trình x3+ + =x 2 3 3x+2

A Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

Nhập vào máy tính X6+2X4+4X3+X2−23X − =14 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1, 618033989

Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989= A

Nhập vào máy tính

0

Bấm SHIFT STO B để gán 0, 618033988− =B.

Nhập vào máy tính

0

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 1

A B

A B

+ =



⇒



= −

 (2) có nhân tử

2

1 0

x − − =x

B Lời giải

3

x≥ − (*)

Khi đó ta có ( 3 )2 ( ) 6 4 3 2

x + +x = x+ ⇔ x + x + x + −x x− =

Mặt khác

2 2

0

x

= +  + +  + >

Do đó (3) 2 1 0 1 5

2

Thử lại ta thấy 1 5

2

x= ±

thỏa mãn

Đ/s: 1 5

2

x= ±

Ví dụ 7 Giải phương trình x4− + =x2 1 2 3x+2

A Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

Nhập vào máy tính X8−2X6+3X4−2X2−12X − =7 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1, 618033989

Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989= A

Nhập vào máy tính

0

− Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988

Bấm SHIFT STO B để gán 0, 618033988− =B

Bấm A+B và A B ta được 1

A B

+ =



⇒



= −

 (2) có nhân tử

2

1 0

x − − =x

B Lời giải

3

x≥ − (*)

Khi đó ta có ( 4 2 )2 ( ) 8 6 4 2

x − +x = x+ ⇔x − x + x − x − x− =

( 2 )( 6 5 3 2 )

Với 2 1 6 5 3 4 2 5 7 0 1 1 4.0 5 7 0

3

x≥ − > − ⇒x + + +x x x + x+ > − − + − + =

Do đó (a) 2 1 0 1 5

2

⇔ − − = ⇔ = Thử lại đã thỏa mãn (1)

Đ/s: 1 5

2

x= ±

Ví dụ 8 Giải phương trình x3− − =x2 1 3 3x2+6x+5

A Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

x − −x = x + x+ ⇔x − x + −x x − x − x− = (2) Nhập vào máy tính X6−2X5+X4−2X3−25X2−54X−44=0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =3, 236067977

Bấm SHIFT STO A để gán 3, 236067977= A

Nhập vào máy tính

0

− Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −1, 236067977

Bấm SHIFT STO B để gán 1, 236067977− =B

Bấm A+B và A B ta được 2

A B

+ =



⇒



= −

 (2) có nhân tử

2

2 4

x − x−

B Lời giải

3x +6x+ ≥ ⇔5 0 3 x+1 + ≥ ⇔ ∈2 0 x ℝ (*)

Ta có ( 3 2 ) (2 2 ) 6 5 4 3 2

x − −x = x + x+ ⇔x − x + −x x − x − x− =

Từ (1) ta có x3=x2+ +1 3 3x2+6x+ >5 0⇒x>0⇒x4+5x2+8x+ >11 0

Do đó (3) ⇔x2−2x− = ⇔ = ±4 0 x 1 5

Thử lại ta được x= +1 5 thỏa mãn (1)

Đ/s: x= +1 5

Bài giảng miễn phí chỉ có tại groups facebook

Đề thi thử hocmai,moon,uschool fb.com/groups/dethithu