sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới

sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới

Trang 1

0 www.dayhoctoan.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ

TRƯỜNG THPT VINH LỘC

www.dayhoctoan.vn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT QUA ĐỀ THI

ĐẠI HỌC

Lĩnh vực/Môn: Toán

Tên tác giả: Nguyễn Đắc Tuấn

GV môn: Toán

Phú Lộc, tháng 02 năm 2015

Trang 2

MỤC LỤC

Nội dung Trang

1 Đặt vấn đề tài 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

a Cơ sở lí luận 2

b Cơ sở thực tiễn 2

1.2 Phạm vi đề tài 2

2 Giải quyết vấn đề (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 3

2.1 Những vấn đề lí luận chung 3

2.1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN của một hàm số (hay biểu thức) 3

2.1.2 Các dạng biểu diễn bất đẳng thức cô-si 3

2.2.Thực trạng của vấn đề 4

3 Kết luận 19

3.1 Tóm lược những giải pháp 19

3.2 Phạm vi áp dụng 19

3.3 Kiến nghị 19

4 Tài liệu tham khảo 20

Trang 3

1 Đặt vấn đề:

1.1 Lý do chọn đề tài

a) Cơ sở lý luận:

Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu cực (truyền thụ áp đặt, một chiều từ thầy giáo đến học sinh) đến các phương pháp tích cực, sáng tạo (tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy tính sáng tạo, chủ động để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức và kĩ năng) Nhưng không phải ngay lập tức thay đổi bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Một trong những yếu tố phát huy tính tích cực, sáng tạo là dạy học có sự tham gia nhiệt tình, hưng phấn của học sinh, giúp học sinh tìm ra cách học mới

Như vậy giáo viên là người khơi nguồn và tạo ra sự hưng phấn, khám phá cái mới trong học tập của học sinh: sưu tầm, soạn thảo một số cách giải khác mới

lạ và hay để học sinh trải nghiệm

b) Cơ sở thực tiễn:

Trong đề thi đại học thường xuyên xuất hiện câu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay của một biểu thức, đây là một trong những câu khó đối với đa số học sinh, một trong những phương pháp sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay của một biểu thức là dùng bất đẳng thức Cô si (bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)) hay các bất đẳng thức cơ bản khác, kết hợp với đạo hàm nên tôi đã chọn đề tài này để nghiên cứu

1.2 Phạm vi đề tài:

Đề tài đưa ra phương pháp để giải một số bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hay của một biểu thức trong các đề thi đại học: Chủ yếu là sử dụng bất đẳng thức Cô si, các bất đẳng thức quen thuộc khác, kết hợp với đạo hàm để tìm

GTLN, GTNN của hàm số hay một biểu thức qua từng bài tập cụ thể

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

Trang 4

2.1 Những vấn đề lý luận chung:

2.1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN của một hàm số (hay biểu thức):

a) Cho hàm số y f x  xác định trên tập D

Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x  trên D nếu f x M,  x D và có

 

0 : 0

x D f x M Kí hiệu: ax  .

D

Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x  trên D nếu f x m,  x D và có

 

0 : 0

x D f x m Kí hiệu:  .

D

b) Đối với một biểu thức nhiều biến ta cũng có định nghĩa hoàn toàn tương tự 2.1.2 Các dạng biểu diễn bất đẳng thức cô-si (bất đẳng thức AM – GM):

a) Dạng tổng quát: Giả sử a a1, 2, ,a n là n số thực không âm, khi đó ta có:

1 2

n n

n

a a a n

1 2 n 1 2

1 2

n n

n

  

Đẳng thức xảy ra a1a2   a n  0.

b) Hệ quả:

 Nếu a1  a2 a n S: hằng số thì ax 1 2 

n n

S

n

 

  

  xảy ra

a1 a2 a n S.

n

 Nếu a1  a2 a n P: hằng số thì Min a a 1 2 a nn P.n xảy ra

1 2 n .

n

c) Các trường hợp đặc biệt:

Điều kiện a b,  0 a b c, ,  0 a b c d, , ,  0

Dạng 1

2

a b

ab

3

a b c

abc

4

abcd

3.

4.

a b c   d abcd

2

a b

ab



3

a b c

abc

 

4

a b c d

abcd

  

d) Các bất đẳng thức cơ bản thường dùng:

   1 1 1 1 1 1

4



 2 2 2

;

x y z xyyzzx

   1 1 1

9, , , 0.

  3

3 3

, , 0;

4

u v

    2 2 1 2

, , 0.

2

a b  a b a b

2.2.Thực trạng của vấn đề:

Trang 5

Bất đẳng thức Cô si không xa lạ gì đối với học sinh nhưng để vận dụng linh hoạt nó

để làm toán đặc biệt là các bài toán về tìm GTLN, GTNN là cả vấn đề lớn đối với các em

Trong khi học học sinh thường chỉ làm được một số bài tập về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở dạng rất đơn giản và quen thuộc Các bài tập ở dạng khó hơn như hai biến hoặc ba biến học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết nó Bài toán về tìm GTLN, GTNN là một trong những vấn đề khó đối với các

em Một trong các phương pháp thường hay được sử dụng để giải quyết vấn đề này

là sử dụng bất đẳng thức Cô si, hoặc các bất đẳng thức khác có thể kết hợp với sử dụng đạo hàm một cách phù hợp

Ta xét ví dụ cụ thể sau để thấy sự cần thiết của vấn đề này:

Ví dụ 1 Tìm GTNN của biểu thức:   1

3 2

x

  với x 1.

Bài này đối với HS lớp 12 thì không có vấn đề gì vì HS có thể dùng đạo hàm trực tiếp để suy ra kết quả như sau:

x



    7

1

2

f x  f  Vậy

1;      7

2

Min f x f

Nhưng với HS lớp 10 chưa có công cụ đạo hàm thì lại là cả một vấn đề lớn

Một sai lầm thường gặp của HS là: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương,

ta có:

Vậy

 1;  6.

Min y

 

Lời giải trên sai vì trong đánh giá trên, dấu bằng xảy ra khi 3 1 6 1

x

không thuộc miền xác định của bài toán

Lời giải đúng

Trang 6

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x 1. Để đảm bảo dấu “=” xảy ra khi áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta chọn số  sao cho 1

2

x x

  Cho x 1 ta thu được 1.

2

  Từ đó

ta có lời giải:

Vậy

1;      7

2

Min f x f

Ví dụ 2 Tìm GTNN của biểu thức (hàm số):

a)   2 2 3 3

1

f x

x



 trên  0; 2

b) Cho ,a b là các số dương thỏa a b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  4 4 2013

4

ab

Bài giải

Đối với câu a) thì HS 12 dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng quy tắc tìm GTLN

và GTNN trên đoạn [a; b] như sau:

Ta có:  

2 2

1

f x

x





0

x

f x

x

 





Ta lại có:     17

3

Vậy

     

0;2

Tuy nhiên với câu b) thì hoàn toàn khác, HS không thể dùng đạo hàm ngay được vì

ở đây có nhiều hơn 1 biến Đây là dạng bài tập mà học sinh thường gặp phải trong các kì thi ĐH, CĐ những năm trở lại đây Ta có thể giải quyết bài toán này như sau:

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

4 4 2 2

2

1

4

Đặt tab 0. Ta có: 2 2013 1

t

Xét hàm số   2 2013 1

t

2013 128 2013

t



128 4

Trang 7

Bảng biến thiên:

t

0 1

4

  '

 

2014

Suy ra: P 2014

Vậy Min P = 2014 khi 1

4

t  hay 1.

2

a b

Cách 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

4 4 2 2

2

1

ab

2 2 3

a b

ab ab

Vậy Min P = 2014 khi

2 2

1

1 2 1

16

4

a b

ab



  









Nhận xét Đối với cách 1, ta đã đánh giá để đưa về một biểu thức trung gian có

chứa ab và có thể khảo sát hàm số   2 2013 1

t

    với tab Đối với cách 2, ta đã dùng bất đẳng thức Cô si bằng cách tách

4ab  4ab 4ab 4ab

Vì sao ta tách được như vậy Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi 1

2

a b Ở đây nếu ta

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương 2 2 2013

16 ;

4

a b

ab thì không được vì dấu bằng không xảy ra Do đó ta chọn số  sao cho 2 2

16a b

ab



2

a b ta có:

1

4

 

Tiếp theo là một số bài tập vận dụng:

Bài 1 Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c   1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

2 2 2

P

Trang 8

Phân tích Ở đây ta thấy các số a b c, , vai trò như nhau nên dự đoán P đạt GTNN khi

1

.

3

hạng tử bậc nhất khi áp dụng bất đẳng thức Cô si

Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương

3

2 , 1 , 1 1

a



Với  là số thỏa mãn:    

3

2 1

1 1

8 1

3

a

a a

a







 



Bài giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:

 

3 2 3 2

1

1 1 4 1

a a



Tương tự, ta có:

3 2

1 2 4 1

b



   

3 2

1 3 4 1

c



Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế, ta có: 3 1.

4 4

P    a b c

P    a b c

Nhận xét Đối với bất đẳng thức Cô si, việc dự đoán dấu bằng xảy ra khi nào giúp

cho việc giải bài toán dễ dàng hơn

Bài 2 Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện xyz 1. Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 2

P

Phân tích Dự đoán dấu “=” xảy ra khi x  y z 1. Ta lại có: x  y z 3 3 xyz  3 Nên ta sẽ đánh giá P theo x y z. Vì các số hạng của P đều là bậc nhất nên ta cộng thêm các số hạng bậc nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương 2 ; 1 

1

x

y

 với  thỏa

2

1

x

y

y   

 Cho x y 1 ta có:

1 4

 

Trang 9

Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương, ta có:

2 2

1 1

2.



1

x y



Tương tự, ta có: 2 1  

2

y z



2 1  

3

z x



Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:

2 2 2

3

.3

3 2

P P

 

 

(Do x  y z 3 3 xyz  3)

Dấu bằng xảy ra khi

2 2 2

1

1.

1

y

z

x xyz

 



 







2

Min P khi x  y z 1.

Bài 3 Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện 3.

2

a b c   Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 2 1 1 1

.

Cách 1

Phân tích Ta có bất đẳng thức liên hệ giữa a b c  và 1 1 1

a b c là:

a b c

 

2 2 2

a b c theo 1 1 1

a b c

Trang 10

Ở đây ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi 1

2

a a



Cho 1

2

a suy ra: 1.

8

 

Bài giải

Ta có:

a b c

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:

 

2 1 1 3 2 1 1 3

2 1 1 3  

2

b

2 1 1 3  

3

c

Cộng vế theo vế (1), (2), (3) vế theo vế, ta có: 2 2 2 1 1 1 1 9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

2 2 2

1 8 1 8

.

3 2

a a b b

c

a b c

 



 







 



   





Cách 2

Ngoài cách trên ra, ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương với 6 cặp số Cách này cũng dựa trên cơ sở dấu “=” xảy ra như trên

2

a b c   thì   3

2

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

 

2 1

1 4

a  a

 

2 1

2 4

b  b

 

2 1

3 4

c  c

 

1

4a 4 4

Trang 11

 

1

4b 4 5

1  

4c 4 6

Cộng (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có:

2 2 2 1 1 1 3

4 45

3 4

a b c     a b c     A  

Nhận xét Qua phân tích và gợi ý như trên HS dễ dàng tiếp cận và giải quyết các

bài tập tương tự như vậy một cách nhanh chóng và dễ dàng

Bài 4 Cho các số thực x y z, , và x  y z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất:

P 3 4  x  3 4  y 3 4  z

Phân tích Dự đoán P nhỏ nhất bằng 6 khi x  y z 0.

Ở đây nếu ta áp dụng Cô si cho hai số 3 và 4x thì dấu bằng không xảy ra nên ta chọn số  sao cho 4x   Cho x 0, ta có:   1. Do đó ta viết lại: 3 1 1 1   

Bài giải

3 4  x    1 1 1 4x 4 4x  3 4  x  2 4x 1

Tương tự, ta có: 8  

3 4  y  2 4y 2

8  

3 4  z  2 4z 3

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:

8 8 8  3 8

24

x y z

P

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

8 8 8

0

x

y

z

 









   





Vậy P nhỏ nhất bằng 6 khi x  y z 0.

Bài 5 Cho các số dương x y z, , thỏa mãn: xyz 1. Tìm GTNN của:

3 3 3 3 3 3

.

P

Phân tích Dự đoán dấu “=” xảy ra khi x  y z 1. Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương 3 3

1,y x,

Trang 12

Bài giải

Cách 1

3 3 3 3 3

3 3

1 3 3 3  

1

Tương tự: 1 y3 z3 3

 (2)

1 3 3 3  

3

 



Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có:

3 3

.

P

xyz

3 3

1 1

1.

1 1

xyz









Vậy MinP 3 3 khi x  y z 1.

Cách 2

Do xyz 1 nên ta có thể viết lại: 3 3 3 3 3 3

Pz x y x y z y  z x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có: 3 3 3 3 3

1 x y  3. x y  3xy

3 3  

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có: P 3. x y z 3 3 3 xyz  3 3.

3 3

1 1

1.

1 1

xyz









Vậy MinP 3 3 khi x  y z 1.

Nhận xét Với cách 2, ta thấy bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn

Bài 6 Cho a b c, ,  0 và a b c   6. Tìm GTNN của biểu thức:

Trang 13

3 3 3

.

A

Phân tích Dấu “=” xảy ra khi a  b c 2. Áp dụng Cô si cho ba số dương

3 ; ;

a b  với  là số sao cho a 3b     8 với a b 2.

Bài giải

12

Tương tự, ta có:

 

3 16 3

12

b c  

 

3 16 3

12

Cộng (1), (2) và (3), ta có:

3 3 3 48 4

12

a b c

Ta có:   1 1 1

9, , , 0.

Nên ta có:

3 3 3

3 3 3 3 3 3

.

6 2

A

3 2

A

 

Dấu “=” xảy ra khi

2.

6

a b c

 



  

  



   



2

Bài 7 Cho a b c, ,  0 và a b c   1. Tìm giá trị lớn nhất của

3 3 3

Phân tích Dự đoán P lớn nhất bằng 1 khi 1.

3

bằng một hằng số và dấu bằng xảy ra Để ý khi 1

3

a  b c thì 1   b c 1 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương 1;1;1 b c 

Trang 14

Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương, ta có:

1 1 1

Tương tự, ta có: 3  

3

bc ba

3  

3

ca cb

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

3 3 3

Pa   b c b   c a c      a b a b c

P lớn nhất bằng 1 khi 1.

3

a  b c

Ngoài các bài toán chỉ dùng bất đẳng thức Cô si ra, ta còn gặp các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cô si, hoặc các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá một biểu thức rồi sau đó đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ rồi xét hàm số và khảo sát sự biến thiên trên tập nào đó Ta xét các bài tập sau:

Bài 8 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

2 6

3

P



Phân tích Trước hết ta thấy nếu chia tử mẫu các số hạng của P cho y thì có thể viết

P theo t x

y

 Vấn đề còn lại ở đây là cần tìm điều kiện của x

y từ giả thiết Do đó bài này ta có thể dùng đạo hàm để khảo sát hàm số

Bài giải

Ta có:

2

6

3

P

y

 

 

Đặt t x,

y

 Do x 0,y 0,xy y 1 nên

2

2 2



suy ra: 0 1.

4

t

  Khi đó:

 

2

.

3

P

t

t t



 

Xét hàm số   2 1  2

,

3

f t

t

t t



1

4

t

Ta có:  

2

t

f t

t

t t





 

Với 0 1

4

t

Trang 15

Do đó:

t t

2

2 t 1

2 3

.

P f t  f  

 

 

Khi 1

2

x và y 2, ta có: 5 7 .

3 30

P  Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 7 .

3  30

Nhận xét Trong bài toán trên điều kiện của t ta phải tìm thật chính xác

Bài 9 Tìm GTNN của

với x, y dương và x khác y

Phân tích Trước hết ta biến đổi

2 2

Q

xy



chỉ theo t x y

Bài giải

Ta có:

2 2

2

Q

x y

y x xy



  , thì theo t ta có:

1

( )

2

t

Hơn nữa dễ thấy x y 2

y x (với x, y dương và x khác y) nên ta có t > 2

Vì thế quy về bài toán quen thuộc: Tìm GTNN của hàm số ( ) 1

2

t

 trên



















3

1 0

) ( ' , ) 2 (

3 4 )

(

2 '

t

t t

Q t

t t t

Bảng biến thiên của Q(t) trên khoảng 2 ;   như sau:

t 2 3 

Q ' (t) - 0 +

Q(t)

4

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của Q(t) trên khoảng 2 ;   là Q(3) = 4

Vậy MinP = 4 đạt được khi và chỉ khi x2

+ y2 – 3xy = 0

Bài 10 Cho các số thực a b c, ,  1; 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2

4

a b P





Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	689,32 KB