CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN

CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN CÁC kỹ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG WWW DAYHOCTOAN VN

CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN THƯỜNG DÙNG

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Thông thường ta gặp các loại tích phân sau:

Loại 1: Tích phân của các hàm số đa thức phân thức hữu tỷ

Loại 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức

Loại 3: Tích phân của hàm số lượng giác

Loại 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit

I Phương pháp biến đổi trực tiếp:

1 Dùng các công thức biến đổi về các tích phân đơn giản và áp dụng được

b

b a a



Ví dụ Tính:

2

3

e

2 Biến đổi nhờ các công thức lượng giác

Ví dụ Tính:

2

2

os3 os5 ;





2

sin 2 sin 7 ;





2

os3 sin 7 ;





0

sin ;





2

4

0

sin ;



0

tan ;





3 Biến đổi biểu thức ngoài vi phân vào trong vi phân

3

3

1

2 1

x



7

2 3

1

  

0

2

1

1

0

;

x

0

6

t anx ; cotx ;



0

s inx

;

1 3cos

x







1

sin ln

;

e

x

x

1

; 2

x

x

e

e







ln 2

0

1

;

1

x

x

e

e







0

;

x

x x

e







4 Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức f(x) trong giá trị tuyệt đối để tính  

b

a

f x dx



Ví dụ Tính:

2 2 0

2 3 ;

4 ; 2x 4 ;



0

1 cos 2 ;



0

1 sin 2 ;



 

II Phương pháp đổi biến số:

1 Phương pháp đổi biến số dạng 1:

Giả sử cần tính tích phân: b  

a

I f x dx ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt xu t 

Bước 2: Lấy vi phân dxu t dt'  và biểu thị f x dx theo t và dt Chẳng hạn   f x dx  g t dt 

Bước 3: Đổi cận khi x a thì u t   a t ; khi xb thì u t   b t 

Bước 4: Biến đổi b  

a

I g t dt (tích phân này đơn giản hơn tích phân lúc đầu thì phép biến đổi mới có ý nghĩa)

Một số dạng thường dùng đổi biến số dạng 1:

Dạng 1 Nếu hàm số có chứa A2x2 thì đặt sin ;

2 2

x A t t   

  

  hoặc đặt x Acost t 0; 

2

b

  

     

  

và đặt như trên

Nếu hàm số dưới dấu tích phân chứa a2b x2 2 ta thường đặt x asin t

b



Ví dụ Tính:

2 2 2

1

;

x

x



2 0

; 4

x

x





1

0

4 3 ;

2 2 2 3

1

; 1

x x







Dạng 2 Nếu tích phân có chứa b x2 2a2 ta thường đặt

sin

a x



* Nếu tích phân có chứa x a bx   ta thường đặt 2

sin

a

b



Dạng 3 Nếu tích phân có chứa 1 x 2 hoặc 1 x 2 thì ta đặt tan , ;

2 2

 

cot , 0;

Chú ý: * Nếu gặp tích phân chứa 2

a bx hoặc a bx 2 thì ta viết:

2 2

a

hoặc

2 2

a

   

    

   

và ta đặt tan , ;

2 2

b

a

 

 * Nếu tích phân có chứa

2 2 2

a b x hoặc a2b x2 2 ta thường đặt x atan t

b



Ví dụ Tính:

3 2 1 3

1

; 1

x





1

1

; 1





0

1

; 1



 



Dạng 4 Nếu tích phân có chứa a x



 hoặc



 thì ta đặt x acos 2 ,t t 0;2



    và lưu ý vận dụng

1cos2t2sin ; 1t cos2t2 cos t Ví dụ Tính

2 2

0

1

; 1

x

x









2 Phương pháp đổi biến số dạng 2:

Giả sử cần tính tích phân b  

a

I  f x dx ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt tu x 

Bước 2: Lấy vi phân dxu t dt'  và biểu thị f x dx  g t dt 

Bước 3: Đổi cận Khi x a u t   a t ; khi x b u t   b t ;

Bước 4: Biến đổi I g t dt 





 (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)

Dạng 5 Nếu hàm số chứa căn thức n x thì đặt     1  

n

t   x  t  x n t  dt x dx

Chú ý Nếu tích phân chứa cả n x ; m x thì đặt m n.  

t  x

Ví dụ Tính tích phân:

1

0

4 3

;

2 3 1

x

x





0

; 1

x

x





2

2 1

1

; 1





2

3 1

1

; 1





0

2

; 1

x







 6

3 1

1

;

9 1 9 1





sin 2 s inx os3 s in2x

0

sin 2

; cos 4sin

x









1

ln 1 3ln

;

e

x





1

3 2 ln

;

1 2 ln

e

x







ln 2

; 1

x

dx U

e





0

;

1 x

dx V

e





0

3

x x

x

dx e









Dạng 6 Nếu hàm số chứa các đại lượng s inx, cos , tan

2

x

 

  thì đặt tan 2

x

 

  khi đó

2



Ví dụ Tính:

2

0

1

; 5sin 3cos 5





0

tan

2 ; cos 2

x

x







0

cos 2

; os2 sin 2 1

x







 

4

0

sin

4

; sin 2 2 1 s inx cos

x





Dạng 7 Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân

Nếu tích phân có dạng a  

a



  thì ta có thể viết 0    

0

a

a



   Đặt t x để biến đổi

 

0

a



Nếu tích phân có dạng  

0



 thì ta có thể đặt t   x;

Nếu tích phân có dạng 2  

0



  thì ta có thể đặt t2x;

Nếu tích phân có dạng 2  

0



 thì ta có thể đặt ;

2

t  x

Nếu tích phân có dạng b  

a

I f x dx thì ta có thể đặt ta b  x

Ví dụ Tính:

1 2008 1

sin x ;



0

sin

;

1 cos

x









Dạng 8 Nếu tích phân có chứa 2  

ax bx c a 0 thì ta có thể đặt t a x  ax2bx c sau đó tính x theo t

và tính dx theo t và dt (Phép thế Ơ le)

Ví dụ Tính:

Dạng 9

(i) Khi gặp tích phân dạng: sin

b n

a

I  x dx

*Nếu n chẵn thì ta hạ bậc

*Nếu n lẻ thì ta đặt ts inx

(ii) Khi gặp tích phân dạng: cos

b n

a

I  xdx

*Nếu n chẵn thì ta hạ bậc

*Nếu n lẻ thì ta đặt tcosx

(iii) Đối với tích phân sin cos

b

a

I  x x dx ta có các trường hợp sau:

*Nếu n chẵn, m lẻ ta đặt tsin x

*Nếu n lẻ, m chẵn ta đặt tcos x

(iv) Ngoài những cách trên ta lưu ý khi gặp tích phân sin , cos 

b

a

I R x x dx ta có thể đặt tan

2

x

 

  ta

chuyển được tích phân đã cho về tích phân hàm hữu tỉ

(V) Khi gặp tích phân dạng tan 

b

a

I f x dx (hoặc cotx

b

a

J f dx) Ta có thể đặt ttanx(hoặc đặt tcotx

)

III Phương pháp từng phần:

Giả sử cần tính tích phân  

b

a

I  f x dx Khi đó ta thực hiện các phép tính:

Bước 1: Viết tích phân dưới dạng:      

' ,





Bước 3: Áp dụng công thức:

b a

I u dvu v v du

Đối với tích phân từng phần thì các em cần lưu ý đặt u theo thứ tự ưu tiên sau:

“Nhất ln, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Dạng 10

* Nếu tích phân có dạng  .sin

b

a

I P x x dx thì ta sẽ đặt   ' 

cos sin

x

a











 

*Nếu tích phân có dạng  .cos

b

a

I P x x dx thì ta sẽ đặt   ' 

cos sin

x









 

*Nếu tích phân có dạng  

b

x

a

x x

e







 

 

 

2

1



Dạng 11

* Nếu tích phân có dạng sin

b x

a

I e x dx thì ta sẽ đặt

os sin

x x

e





 













* Nếu tích phân có dạng os

b x

a

I e c x dx thì ta sẽ đặt

.sin os

x x

e





 





 







Ví dụ Tính:

2

.sin 3 ; os2 ; os



Dạng 12

* Nếu tích phân có dạng ln    

b

a

 

 

 

 

' ln

P x

P x





    

   



 

6

ln s inx ln

c os

e

x





        

IV Phương pháp tìm hệ số bất định bằng cách đồng nhất thức:

1 Khi gặp tích phân:  

 

b

a

P x

Q x

 với P x Q x là các đa thức của x    ,

Bước 1: Nếu bậc của P x bậc của Q x thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) được thương A(x) và dư R(x),  

tức là: P x Q x A x    R x , với bậc R x bậc Q x  

Suy ra:  

              .

Bước 2: Ta đi tính  

 . ,

b

a

R x

Q x

 với bậc R x bậc Q x  

Có thể xảy ra các khả năng sau:

Q x ax bx c a  thì bậc R x  2 R x M x N và

 

ax





TH1: Q x có hai nghiệm x  1, x2, tức là: Q x a x x1xx2 Chọn hằng số A, B sao cho:

 

a



TH2: Q x có nghiệm kép   x tức là: 0,    2

0

Q x a xx Chọn hằng số A, B sao cho:

 

a



TH3: Q x vô nghiệm Chọn hằng số sao cho:   R x A Q x ' B và

 

  '     .

Q x ax bx  cx d a thì bậc R x 3

TH1: Q x có ba nghiệm x  1, x2, x3 tức là: Q x  a xx1xx2xx3 Chọn hằng số A, B,

C sao cho:

 

a

TH2: Q x có một nghiệm đơn x  1, có một nghiệm kép x tức là: 0,     2

Chọn hằng số A, B, C sao cho:

 

a

 

TH3: Q x có một nghiệm x  0 (bội 3), tức là:    3

0

Q x a xx Chọn hằng số A, B, C sao cho:

 

0



TH4: Q x có một nghiệm đơn x  1 ,, tức là:      2 

1 ax

Q x  xx x (trong đó

2

 

 

1 1



  

  

Khả năng 3: Với bậc Q x 3 thì thông thường ta gặp Q(x) là các biểu thức đơn giản như:

Ví dụ Tính:

0 2 2 1

1

3 2



 



1 2 0

; 1

x



 

1

1 3







2 Khi gặp tích phân a sin cos  

, 0 sin cos









 thì ta viết: TS  A MS. B MS. ', tức là chọn A, B sao cho: a sinx b cosx A c s inxd.cosxB c sinx d cosx' hoặc đặt

2



 

    

 

Ví dụ Tính:

2

0

3sin 5cos

;

s inx cos

x









2

3 0

3sin cos

;

s inx cos

x











3 Khi gặp tích phân sin cos  

, 0

s inx cos





 thì ta viết TS  A MS. B MS. 'C Chọn A,

B, C sao cho: asinx b cosx m  A c sinx dcosx n  B c sinx d cosx m 'C

Hoặc có thể đặt

2



 

    

 

4 Ví dụ Tính:

2

0

7 sin cos 7

; 4sin 3cos 5





