CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

Trang 1

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

I Lý thuyết cần nhớ:

1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì f x'( )0  0.

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại x 0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm

số tại ( ; ( ))x f x0 0 song song hay trùng với trục hoành

2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng 0

( ; )a x và ( ; )x b0 Khi đó:

 Nếu f x'( )    0, x ( ;a x0) và f x'( )    0, x ( ; )x b0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f x'( )    0, x ( ;a x0) và f x'( )    0, x ( ; )x b0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0

b.) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f x'( )0  0 và f(x) có

đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó:

 Nếu f "( )x0  0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

 Nếu f "( )x0  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

II BÀI TẬP

Bài 1 Xác định m để mỗi hàm số sau có cực đại và cực tiểu:

a.) y x 3 3x2mx m 1

b.) y x 4 2(m1)x2m

c.)

1

y

x





Gợi ý giải:

a.)

+ y' 3 x26x m ; y' 0 3x2 6x m 0 (*)

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

' 9 3m 0 m 3

Vậy, với m3 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

b.)

+ y' 4 x34(m1)x4 (x x2  m 1)

0 ' 0 4 ( 1) 0

1 (*)

x







+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0      m 1 0 m 1

Vậy, với m 1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Trang 2

WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

c.)

+

2

2 2 1 '

( 1)

y

x



 ;

2

2 2 1

( 1)

y

x



2

1

2 2 1 0 (*)

x





 

   



+ Đặt: g x( )x22x2m1

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

1

m

Vậy, với m 1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Bài 2 Cho hàm số: 1 3 2 2

( 1) 1 3

y x mx m m x

Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

Lưu ý: Hàm số y ax 3 bx2 cx d a ,(  0) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 khi và chỉ khi 0

0

'( ) 0

''( ) 0

y x





 (hoặc

0 0

'( ) 0 ''( ) 0

y x





Ghi nhớ:

Hàm số bậc ba: y ax 3bx2cx d , (a0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0  có hai nghiệm phân biệt

Hàm số trùng phương: y ax 4bx2c a, ( 0) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình

' 0

y  có ba nghiệm phân biệt

Hàm số:

2

, ( ' 0)

a x b

 có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0 có hai nghiệm

phân biệt khác '

'

b a



3

1 3 2







y Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x , x 1 2 thoả mãn

x x  ?

* y' x2  2mx m ; y' 0  x2  2mx m  0 (*)

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

1

m

m m

m







* Ta có: x x1 2 4  2 2

(x - x )  16  ( x + x )  4x x  16 (**) + Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:  1 2 2

1 2

x + x = m

x x = m

Trang 3

2 2

1 - 17 2

1 + 17 2







 



m

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: 1 - 17

2



m hoặc 1 + 17

2



Bài tập 2 Cho hàm số 3 2

y x mx x m có đồ thị là C m Xác định m để đồ thị  C m có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất?

* y'  3x2 6mx 3; 'y   0 x2 2mx  1 0, (*)

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

   ' m2    1 0, m R

Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số luôn có hai điểm cực trị

* Tìm tọa độ các điểm cực trị của  C m : Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị, khi đó hoành độ điểm A, B là các nghiệm của phương trình (*)

Cách 1: Vì A B,  C m nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có:

Cách 2:

- Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng: '.(1 1 ) (2 2 2) 2 2

3 3

y y x m m x m

- Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có phương trình:

y  (2m2 2)x 2m 2 (**)

- Lần lượt thay các nghiệm của (*) vào (**), ta có:

A m(  m2 1; 2m32m m2 2 1 2 m2 1 2) ,

B m(  m2 1; 2m32m m2 2 1 2 m2 1 2)

+ AB ( 2 m21;4m m2 2 1 4 m21)

2 ( 1)(4 8 5) 2 ( 1)[4( 1) 1] 2 5

Cách 3:

- Gọi x x1, 2là hai nghiệm của (*) và lần lượt thay vào (**) , ta có:

(4m 8m 5)[(x x ) 4x x ]

- Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:  12



1 2

x + x = m

x x =

Trang 4

-WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

(4 8 5)(4 4)

 2 [4(m2  1) 1]( 2  m2   1) 2 5

+ ABmin 2 5  m 0

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m =0

Bài tập 3 Cho hàm số y x 3 mx2  12x 3 Xác định m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm

cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = x -7?

* y' 3  x2 2mx 12

y' 0   3x2 2mx 12 0  (*)

+ Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

' 0 36 0

6

m m

m

 





* Chia y cho y’ và viết lại hàm số dạng: (1 1 ) ' (8 2 2) 4 3

y x m y  m x m Suy ra đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có phương trình (8 2 2) 4 3

y  m x m

* Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng -1

1.(8 ) 1 8 1 81 2 0

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: 9

2

m 

2 3(2 1) 6 1 1

y x  m x  m m x (1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứ ng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2

'  6  6(2  1)  6  1

'   0 6  6(2  1)  6   1 0

2  

 x  m xm m  (*)

+ Vì     1 0, m nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x m x m ,   1

* Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có: A m m( ;2 3 3m2 1), B m(  1;2m3 3 )m2

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình:

y x m m m

Có thể học sinh giải cách khác:

- Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng: 1 1 3 2

3 6

- Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có pt: 3 2

Trong trường hợp này việc chia đa thức cũng dễ dẫn đến kết quả sai

* Gọi I là trung điểm của AB, ta có: ( 1;2 3 3 2 1)

I m m  m 

Trang 5

+ A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) khi và chỉ khi: ( )

( ),

AB d

I d





 



 Với mọi m đường thẳng AB luôn vuông góc với (d)

 I ( )d 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 2 2 0 ( 1)(2 2 2) 0

m  m     m m  m    m m m   m

1

1 17 4

m m

 





 



Ghi nhớ:

1.) A và B cách đều đường thẳng (d) d A d( , ) d B d( , )

2.) A và B cách đều gốc tọa độ O  OA = OB

3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O O AB

OA OB





  



4.) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) ( )

( ),





  



Bài tập 5 Cho hàm số y x4  2m2x2  1 Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam

giác vuông cân

+ y' 4  x3 4m x2  4 (x x2m2)

2 0 2

' 0 4

0 (*)

x y

x m





 + Hàm số có ba điểm cực trị Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

 m 0

+ Gọi A(0;1), ( ;B m m 4  1), (C m m  ; 4  1) là các điểm cực trị của đồ thị

+ Tính: AB( ;m m 4)AB m2m8

AC  ( m m; 4)AC m2m8

+ Vì ABC cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác vuông cân khi và chỉ khi

0

AB AC AB AC

   

 m2m8 0 m m2( 6   1) 0

0

1

m m





   

 + Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m 1

Bài tập 6 Cho hàm số 4 2 2

2

yx  mx m m (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 2

b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120

a) (Học sinh tự giải)

(Với I là trung điểm AB)

(Với I là trung điểm AB)

Trang 6

'  4  4  4 (  )

y x mx x x m ; ' 0 2 0

(*)





    



x y

x m

+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0 + Gọi A m(0; 2m B), ( m m C; ), ( m m; ) là các điểm cực trị của đồ thị

+ Ta có: AB  ( m m; 2) AB m4m

( 2 ;0) 4 2



+ Vì ABC cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120 khi và chỉ khi ( , ) 1200 ( , ) 1

2

AB AC  cos AB AC  

   

4



 

3

0

3

m









+ Đối chiếu điều kiện, ta được: 3 1

3

m 

yx  mx  m (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1

b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2

'  4  4  4 (  )

y x mx x x m ; ' 0 2 0

(*)





    



x y

x m

+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0 + Gọi A(0; m 1), (B  m m; 2 m 1), (C   m m; 2 m 1) là các điểm cực trị của đồ thị

+ Ta có: AB  ( m m; 2) AB m4m

( 2 ;0) 4 2



+ Vì ABC cân tại A nên gọi I là trung điểm BC khi đó IA là đường cao

+ IA(0; ) m2 IA m 2

+ Diện tích: SABC  4 2 1 4 2

2IA BC

1 2.2 4 2

2m m

   m5   32 m5   ( 2) 5   m 2 + Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m 2

Trang 7

yx  mx  m (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1

b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

2

0 ' 4 4 4 ( ) 0  



x

y x mx x x m

x m

+ Hàm số (1) có ba điểm cực trị  m 0

+ Gọi A m(0; 1), (B m m; 2 m 1), (C  m m; 2 m 1) là các điểm cực trị của đồ thị

+ Ta có: AB( m m; 2) AB m4m

( ; ) ( 2 ;0) 4 2



+ ABC cân tại A, gọi I là trung điểm của BC, ta có: I(0; m m2   1) AI (0; m2) AI m 2

1 . 1 .2

ABC

S AI BC m m m m

+ Mặt khác: . 4 . 4 .2 ( 4 )

ABC

AB AC BC m m m m m m m m S

R



+ Từ (1) và (2) suy ra: ( 4 ) 2 ( 3 1) 2 2

2

m m m m mm m  m  m m

0 1

1 5 2

m m

m





 







 + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: 1, 1 5

2

m m  

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 Cho hàm số y x3  x2 m2xm

3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( ): 1 5

2 2

d y x

Bài 2 Cho hàm số y x3  3 (m 1 )x2  ( 2m2  3m 2 )xm(m 1 )

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với đường

thẳng 1 5

4

y  x một góc 450

Bài 3 Cho hàm số y x3  3x2  3 (m2  1 )x 3m2  1

Trang 8

b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều gốc toạ độ O

Bài 4 Cho hàm số y 2x3 9mx2  12m2x 1

b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực đạixCDvà cực tiểu xCT đồng thời 2

CD CT

x  x

Bài 5 Cho hàm số   4   2 2

y f x x  m x m  m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác

vuông cân

2

2mx m m x

y   

b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều

Hướng dẫn:

b) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu: m >0

+ Gọi A(0;2m m 4 ), B m m( ; 4m22 )m , C( m m; 4m22 )m là các điểm cực trị

+ ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC

+ Đối chiếu điều kiện để kết luận: m 3 3

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	546,99 KB