Tuyển tập bài toán hình học từ các kì thi olympic 2017

Jean Alexandre Eugène Dieudonné (tiếng Pháp: djødɔne; sinh ngày 1 tháng 7 năm 1906 – 29 tháng 11 năm 1992) là một nhà Toán người Pháp, nổi tiếng về nghiên cứu trong Đại số trừu tượng, hình học đại số và phân tích chức năng, cho sự liên quan chặt chẽ với nhóm Nicolas Bourbaki và Éléments de géométrie algébrique của Alexander Grothendieck, và là một nhà sử học về toán học. Đặc biệt trong các lĩnh vực phân tích chức năng và topo đại số

Tuyển tập Hình Học từ các kì thi Olympic 2017

Ngày 4 tháng 7 năm 2017

Bài Toán 1 (Đề thi vòng chung kết MYTS Khối 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn γ Điểm D nằm trên cung BC không chứa A của γ Gọi E, F lần lượt là hai điểm trên cạnh AB, AC sao cho BD = BE và CD = CF Gọi G là trung điểm EF Chứng minh rằng:

BG ⊥ CG

Lời giải

Ta dễ thấy: ∠EJF = 360◦− ∠BDC − ∠BEJ − ∠JF C = 360◦

− ∠BDC − ∠BAC − ∠EJF

⇒ ∠EJF = 90◦ ⇒ JG = EG = GF

Suy ra E đối xứng với J qua BG; F đối xứng với J qua CG

Từ đó suy ra ∠BGC = 90◦

Bài Toán 2 (IRAN TST 2017 - Phần 1) Cho tam giác ABC với Ia là tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi ω là một đường tròn bất kỳ qua A, Ia và cắt phần kéo dài của các cạnh

AB, AC (kéo dài từ B, C) tại X, Y tương ứng Gọi S, T là các điểm trên các đoạn IaB, IaC tương ứng sao cho∠AXIa = ∠BT Ia và∠AY Ia= ∠CSIa Các đường thẳng BT, CS cắt nhau tại K Các đường thẳng KIa, T S cắt nhau tại Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng

Lời giải

Dễ thấy 4BXS ∼ 4BIaC ∼ 4T Y C ⇒ ∠BXS ∼ ∠BIaC ∼ ∠T Y C = 90◦−1

2∠A

2∠A = ∠T Y C + 1

2∠A = 90◦ ⇒ XS ⊥ AIa, Y T ⊥ AIa ⇒ XS k Y T (1) Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE = BX ⇒ CE = CY

∠KSIa+ ∠KT Ia= ∠AY Ia+ ∠AXIa= 180◦ ⇒ SKT Ia nội tiếp

∠CEIa = ∠CY Ia = ∠CSIa ⇒ CESIa nội tiếp ⇒ BES = ∠BIaC = ∠BKS ⇒ BEKS nội tiếp

⇒ E là điểm Miquel của tứ giác SKT Ia ⇒ ∠SEZ = ∠T EZ

T Z =

SE

T E =

SX

T Y (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 4XSZ ∼ 4Y T Z ⇒∠SZX = ∠Y ZT

⇒ X, Y, Z thẳng hàng

Bài Toán 3 (Olympic chuyên KHTN 2017 - Ngày 2) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn (O) I là tâm nội tiếp của tam giác ABC AI cắt BC tại D và cắt (O) tại K khác A P là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC và nằm trong tam giác ABC P K cắt BC tại L AL cắt (O) tại F khác A Giả sử KF cắt BC tại T

a, Gọi U là giao điểm của KR với BC

Ta có KT.KF = KB2 nên ∠KT B = ∠KBF = ∠KAF Suy ra ADF T nội tiếp Khi đó ta

có LD.LT = LF.LA = LB.LC = LP.LQ nên tứ giác T P DQ nội tiếp

Lại có KR.KU = KC2 nên tứ giác ADRU nội tiếp Và KQ2 = KC2 = KD.KA nên ta có

∠DU R = ∠DAR = ∠KQD = ∠P T D Từ đây suy ra KR k T P

b,Gọi M là giap điểm của P K với (O).Ta có KL.KM = KB2 = KP2 = KQ2nên (M L, P Q) =

−1 = A(M L, P Q) = A(M F, ER) = (M F, ER) = K(M F, ER) =⇒ KE chia đôi T P

Bài Toán 4 (USA JMO 2017) Cho O và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn ABC Các điểm M và D nằm trên cạnh BC sao cho BM = CM

và ∠BAD = ∠CAD Tia MO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại N Chứng minh rằng ∠ADO = ∠HAN

Lời giải

Dễ thấy AD và OM cắt nhau tại điểm J nằm trên đường tròn (O)

Bổ đề quen thuộc: J đối xứng với N qua BC

⇒ DN = DJ ⇒ ∠JAO = ∠DJN = ∠DNJ

⇒ 4JDN ∼ 4JOA ⇒ JD.JA = JN.JO ⇒ Tứ giác DAON nội tiếp

⇒ ∠DAN = ∠DON ⇒ ∠DAN + ∠HAD = ∠DON + ∠HAD

⇒ ∠HAN = ∠ADO

Bài Toán 5 (APMO 2017) Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong góc BAC và đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Gọi Z là giao điểm của đường trung trực AC với đường phân giác ngoài góc BAC Chứng minh rằng trung điểm AB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADZ

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC, P là hình chiếu của D lên AB, Q là hình chiếu của D lên AC

Ta có AP = AQ và BP = CQ nên AB + 2BP = AC suy ra M P = 1

2 AC suy ra M P = AN

Dễ thấy 4ZAN ∼ 4ADP nên AZ

DA

DP suy ra

AZ

DA

P M

P D suy ra 4ZAD ∼ 4M P D suy ra ∠P MD = ∠AZD, từ đó đường tròn ngoại tiếp 4AZD đi qua trung điểm AB Bài Toán 6 (Hong Kong TST 2017) Cho tam giác ABC với phân giác AD Đường thẳng qua B vuông góc AD cắt (ABD) tại E Chứng minh rằng EA đi qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải

Cho B, D, E, A đồng viên nên (AD, AE) = (BD, BE) = (BD, AD)+(AD, BE) = (BC, AD)+ (AH, BC) = (AH, AD) = (AD, AO) (mod 180◦)

Suy ra (AE, AO) = 0 (mod 180◦) nên A, O, E thẳng hàng

Bài Toán 7 (CHKMO 2017) Cho tam giác ABC nhọn D thuộc đoạn BC và I là tâm nội tiếp ABC (ABD) cắt BI tại P (ACD) cắt CI tại Q Giả sử rằng hai tam giác P ID và QID có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng P I.QD = QI.P D

Lời giải

Từ [P ID] = [QID] thì P D đi qua trung điểm M của P Q

Mặt khác dễ thấy P A = P D, QA = QD nên A, D đối xứng qua P Q

Từ đó nếu J đối xứng I qua P Q thì AJ đi qua M Vậy gọi K đối xứng I qua trung trực P Q thì J, K đối xứng qua M nói cách khác AI là đường đối trung của tam giác AP Q

Từ đó tứ giác AP IQ điều hòa nên QI.AP = P I.AQ hay QI.DP = P I.DQ