ky thuat tìm giới hạn (giải tích DH)(up)

Giîi h¤n v  li¶n töc cõa h m mët bi¸n

1 Tâm t­t lþ thuy¸t

1.1 Væ còng b²

1.1.1 ành ngh¾a

f (x)÷ñc gåi l  VCB khi x → x0 n¸u lim

x→x 0

f (x) = 0

V½ dö 1 f(x) = x2 l  VCB khi x → 0

f (x) = sin(x − 1) l  VCB khi x → 1

1.1.2 So s¡nh væ còng b²

G¿a sû f(x) v  g(x) l  c¡c VCB khi x → x0 X²t giîi h¤n

lim

x→x 0

f (x) g(x) = k

• N¸u k = 0 ta nâi f(x) l  VCB bªc cao hìn g(x) khi x → x0 v  kþ hi»u f(x) = o(g(x)), x → x0

• N¸u k = 1 ta nâi f(x) v  g(x) l  c¡c VCB t÷ìng ÷ìng, kþ hi»u f(x) ∼ g(x), x → x0

• N¸u k 6= 0, 1 ta nâi f(x) v  g(x) l  c¡c VCB còng bªc, kþ hi»u f(x) = O(g(x)), x →

x0

• N¸u giîi h¤n khæng tçn t¤i f(x) v  g(x) l  c¡c VCB khæng so s¡nh ÷ñc

1.1.3 C¡c VCB t÷ìng ÷ìng khi x → 0

1 sin x ∼ x

2 tg x ∼ x

3 arcsin x ∼ x

4 arctgx ∼ x

5 ex− 1 ∼ x

6 ln(x + 1) ∼ x

7 (1 + mx)α− 1 ∼ mαx

8 1 − cos x ∼ x2

2

Mët c¡ch têng qu¡t

sin u(x) ∼ u(x)n¸u u(x) → 0 khi x → x0

t÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i trong cæng thùc tr¶n

V½ dö 2 1 sin√x ∼√x khi x → 0 v¼ √x → 0 khi x → 0

2 ln(1 + sin x2) ∼ sin x khi x → 0 v¼ sin x2 → 0 khi x → 0

3 arctg(x − 2)2∼ (x − 2)2 khi x → 2 v¼ (x − 2)2 → 0 khi x → 2

1.1.4 Quy t­c thay th¸ t÷ìng ÷ìng

Gi£ sû f(x), g(x), f(x), g(x) l  c¡c VCB khi x → x0 v  f(x) ∼ f(x), g(x) ∼ g(x) khi

x → x0 Khi â

lim

x→x 0

f (x) g(x) = limx→x 0

f (x) g(x) Chó þ: N¸u f(x), g(x), f(x), g(x) l  c¡c VCB khi x → x0 v  f(x) ∼ f(x), g(x) ∼ g(x) khi x → x0 khi â

f (x)g(x) ∼ f (x)g(x), x → x0 nh÷ng

f (x) + g(x) 6∼ f (x) + g(x), x → x0

1.2 Quy t­c Læpitan

Quy t­c Læpitan câ thº n¶u ng­n gån (vîi c¡c i·u ki»n thäa m¢n)

lim

x→x 0

f (x) g(x)

0

0 ho°c∞

∞
= lim

x→x 0

f0(x)

g0(x)

1.3 Mët sè d¤ng væ ành

1.3.1 D¤ng 0

0

• Nh¥n biºu thùc li¶n hñp ho°c thay th¸ t÷ìng ÷ìng

• Dòng quy t­c Læpitan

1.3.2 D¤ng ∞∞

• ÷a v· d¤ng 0

0

• Dòng quy t­c Læpitan

1.3.3 D¤ng 0 × ∞

÷a v· d¤ng 0

0 ho°c ∞∞

1.3.4 D¤ng 1∞

lim

x→x 0

u(x)v(x)(1∞) = ex→x0lim v(x)(u(x)−1)

1.3.5 D¤ng 00

Gi£ sû c¦n t½nh giîi h¤n

A = lim

x→x 0

u(x)v(x)

ln hai v¸

ln A = lim

x→x 0

v(x) ln(u(x))

1.3.6 T½nh ch§t kµp

Gi£ sû

f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) trong l¥n cªn x0 Hìn núa

lim

x→x 0

f (x) = lim

x→x 0

g(x) = L Khi â

lim

x→x 0

h(x) = A V½ dö 3 T½nh c¡c giîi h¤n sau

1 lim

x→0

ln(1 + 3x sin x)

tg x2

2 lim

x→0

sin x − x

xarctgx2

3 lim

x→0

√

1 + tg x −√1 + sin x

x3

4 lim

x→0 +x ln x

Gi£i

1

I1 = lim

x→0

ln(1 + 3x sin x)

tg x2

¥y l  d¤ng 0

0 Dòng thay th¸ t÷ìng ÷ìng, ta câ

ln(1 + 3x sin x) ∼ 3x sin x ∼ 3x2, x → 0

tg x2 ∼ x2, x → 0

Do â

I1= lim

x→0

3x2

x2 = 3

I2 = lim

x→0

sin x − x

xarctgx2

¥y l  d¤ng 0

0 Tr÷îc h¸t thay th¸ t÷ìng ÷ìng

arctgx2 ∼ x2, x → 0 Khi â

I2 = lim

x→0

sin x − x

x3

ð ¥y ta khæng thº thay th¸ sin x ∼ x º ÷ñc giîi h¤n b¬ng 0 (theo chó þ ð tr¶n) Dòng quy t­c Læpitan

I2= lim

x→0

cos x − 1 3x2

¥y l¤i l  d¤ng 0

0 , thay th¸ cos x − 1 ∼ −x2

2 , x → 0 ta ÷ñc

I2= − lim

x→0

x2 6x2 = −1

6 3

I3 = lim

x→0

√

1 + tg x −√1 + sin x

x3

¥y l  d¤ng 0

0 Nh¥n biºu thùc li¶n hñp cõa tû sè

I3 = lim

x→0

tg x − sin x

x3(√1 + tg x +√1 + sin x)

= lim

x→0

tg x(1 − cos x) 2x3

Do

p

1 + tg x +√1 + sin x → 2, x → 0 Thay th¸ t÷ìng ÷ìng

tg x ∼ x, 1 − cos x ∼ x2

2 , x → 0 Khi â

I3= lim

x→0

x3 2x3 = 1 2 4

lim

x→0 +x ln x

¥y l  d¤ng 0 × ∞ ÷a v· d¤ng ∞

∞

I4= lim

x→0 +

ln x

1 x

Dòng quy t­c Læpitan

I4 = − lim

x→0 +

x2

x = 0

V½ dö 4 T½nh c¡c giîi h¤n:

1 lim

x→∞

 2x + 1

2x − 3

x

2 lim

x→0

 sin x

x

 1 x2

3 lim

x→0+(sin x)x

Gi£i

1 ¥y l  giîi h¤n d¤ng 1∞ Ta câ

lim

x→∞

 2x + 1 2x − 3

x

= ex→∞lim x 2x+1−1

= ex→∞lim

4x 2x−3 = e2

2 Giîi h¤n tr¶n câ d¤ng 1∞ Ta câ

lim

x→0

 sin x x

1 x2

= ex→0lim

1 x2 sin x

x −1

= ex→0lim

sin x−x x3 = e−1

(Dòng quy t­c Læpitan)

3 ¥y l  giîi h¤n d¤ng 00 °t

K = lim

x→0+(sin x)x L§y logarit 2 v¸ ta ÷ñc

ln K = lim

x→0+x ln sin x, (0 × ∞)

= lim

x→0+

ln sin x

1 x

¡p döng quy t­c Læpitan ta ÷ñc

ln K = − lim

x→0+

x2cos x sin x = 0 Vªy K = 1 Chó þ c¡c giîi h¤n sau ÷ñc t½nh t÷ìng tü v  cho k¸t qu£ l  1

lim

x→0+(sin x) tgx = lim

x→0+(x) tg x= lim

x→0+( tg x)x = lim

x→0+( tg x)sin x= 1 V½ dö 5 T½nh giîi h¤n

I = lim

x→0x sin 1

x

Ta câ

−1 ≤ sin1

x ≤ 1 ⇒ −|x| ≤ x sin

1

x ≤ |x|

Hìn núa

lim

x→x 0

|x| = 0 Vªy theo t½nh ch§t kµp suy ra

I = 0

1.4 So s¡nh c¡c VCB khi x → x0

Gi£ sû f(x) v  g(x) l  c¡c VCB khi x → x0 º so s¡nh hai VCB n y ta x²t giîi h¤n:

lim

x→x 0

f (x) g(x)

v  k¸t luªn

V½ dö 6 So s¡nh c¡c c°p VCB sau:

1 f(x) = ln(1 + x) − ln(1 − x) v  g(x) =√1 + 4x − 1khi x → 0

2 f(x) = x sin x v  g(x) = ln(1 + sin x) khi x → 0

3 f(x) = arctg(x − 2) v  g(x) = ln(5 − x2) khi x → 2

Gi£i

1 X²t giîi h¤n

lim

x→0

f (x) g(x) = limx→0

ln(1 + x) − ln(1 − x)

√

1 + 4x − 1 = limx→0

1 1+x+1−x1

2

√ 1+x

= 1

Vªy f(x) v  g(x) l  c¡c VCB t÷ìng ÷ìng khi x → 0

2 X²t giîi h¤n

lim

x→0

f (x) g(x) = limx→0

x sin x ln(1 + sin x) = limx→0

x sin x sin x = limx→0x = 0 Vªy f(x) l  VCB bªc cao hìn g(x) khi x → 0

3 X²t giîi h¤n

lim

x→2

f (x) g(x) = limx→2

arctg(x − 2) ln(5 − x2) = limx→2

arctg(x − 2) ln(1 + 4 − x2) = limx→2

x − 2

4 − x2 = −1

4 V¼

arctg(x − 2) ∼ (x − 2), ln(1 + 4 − x2) ∼ (4 − x2) khi x → 2

Vªy f(x) v  g(x) l  c¡c VCB còng bªc khi x → 2

1.5 X²t sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n

H m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n (a, b) ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ (a, b)n¸u

lim

x→x 0

f (x) = f (x0) hay lim

x→x+0

f (x) = lim

x→x−0

f (x) = f (x0)

H m sè y = f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n (a, b) n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm trong (a, b) V½ dö 7 X²t sü li¶n töc cõa h m sè sau:

f (x) =

(

x ln x x > 0

Gi£i:

• Vîi x > 0, f(x) = x ln x l  h m sì c§p, vªy f(x) li¶n töc vîi måi x > 0

• Vîi x < 0, f(x) = a l  h m sì c§p, vªy f(x) li¶n töc vîi måi x < 0

• Vîi x = 0, ta câ f(0) = a

lim

x→0 +f (x) = lim

x→0x ln x = 0 (xem ð tr¶n) lim

x→0 +f (x) = lim

x→0 −a = a N¸u a = 0 h m sè li¶n töc t¤i x = 0 ⇒ h m sè li¶n töc tr¶n R

N¸u a 6= 0 h m sè gi¡n o¤n t¤i x = 0

V½ dö 8 X²t sü li¶n töc

f (x) =







x sin1

x x 6= 0

Gi£i

• Vîi x 6= 0, f(x) = x sin1

x ¥y l  h m sì c§p n¶n f(x) li¶n töc vîi måi x 6= 0

• Vîi x = 0, ta câ f(0) = a

lim

x→0x sin1

x = 0 (xem ð tr¶n) Vªy, n¸u a = 0 h m sè li¶n töc t¤i x = 0, do â h m sè li¶n töc tr¶n R N¸u a 6= 0 h m sè gi¡n o¤n t¤i x = 0

V½ dö 9 X²t sü li¶n töc cõa h m sè f(x) =







9 + x − 3 2x n¸u x > 0

• Vîi x < 0, f(x) = a + x l  h m sì c§p n¶n f(x) li¶n töc vîi ∀x < 0

• Vîi x > 0, f(x) =

√

9 + x − 3 2x l  h m sì c§p n¶n f(x) li¶n töc vîi ∀x > 0

• Vîi x = 0, ta câ f(0) = 0

lim

x→0−f (x) = lim

x→0−(a + x) = a

lim

x→0+f (x) = lim

x→0+

√

9 + x − 3 2x = limx→0+

1

4√9 + x =

1 12 N¸u a = 1

12 h m sè li¶n töc t¤i x = 0 v  tø â h m sè li¶n töc tr¶n R N¸u a 6= 1

12 h m sè gi¡n o¤n t¤i x = 0

1.6 T¼m v  ph¥n lo¤i iºm gi¡n o¤n

Cho h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n D, gi£ sû x0 l  iºm gi¡n o¤n iºm gi¡n o¤n

÷ñc ph¥n th nh hai lo¤i

• Lo¤i 1: N¸u lim

x→x 0 +f (x)v  lim

x→x 0 −f (x)húu h¤n N¸u hai giîi h¤n n y b¬ng nhau th¼

x0 gåi l  iºm gi¡n o¤n khû ÷ñc

• Lo¤i 2: Khæng l  lo¤i 1

V½ dö 10 T¼m v  ph¥n lo¤i iºm gi¡n o¤n

1 f(x) = arctg 1

x − 1

2 f(x) = |x − 1|

(x − 1)(x − 2)

1 − e3−x1

Gi£i

1 H m sè khæng x¡c ành t¤i x = 4 do â x = 1 l  iºm gi¡n o¤n Ta câ

lim

x→1−f (x) = lim

x→1−arctg 1

x − 1 = −

π

2 (do khi x → 1−, 1

x − 1 → −∞)

lim

x→1+f (x) = lim

x→1+arctg 1

x − 1 =

π

2 (do khi x → 1+, 1

x − 1 → +∞) Vªy x = 1 l  iºm gi¡n o¤n lo¤i 1

2 H m sè câ hai iºm gi¡n o¤n l  x = 1 v  x = 2

X²t x = 1, ta câ

lim

x→1−f (x) = lim

x→1−

|x − 1|

(x − 1)(x − 2) = limx→1−

−(x − 1) (x − 1)(x − 2) = 1

lim

x→1+f (x) = lim

x→1+

|x − 1|

(x − 1)(x − 2) = limx→1−

x − 1 (x − 1)(x − 2) = −1 Vªy x = 1 l  iºm gi¡n o¤n lo¤i 1

X²t x = 2, ta câ

lim

x→2f (x) = lim

x→2

|x − 1|

(x − 1)(x − 2) = ∞ (ð ¥y khæng nh§t thi¸t x²t giîi h¤n ph£i v  giîi h¤n tr¡i?)

Vªy x = 2 l  iºm gi¡n o¤n lo¤i 2

3 H m sè câ iºm gi¡n o¤n x = 3 Ta câ

lim

x→3−f (x) = lim

x→3−

1

1 − e3−x1

= 0, (do khi x → 3−, 1

3 − x → +∞, e

1 3−x → +∞)

lim

x→3+f (x) = lim

x→3+

1

1 − e3−x1

= 1, (do khi x → 3+, 1

3 − x → −∞, e

1 3−x → 0) Vªy x = 3 l  iºm gi¡n o¤n lo¤i 1

2 B i tªp

2.1 T½nh t½ch c¡c giîi h¤n

1 lim

x→0

sin 2x

sin 3x

2 lim

x→0

x2

5

√

1 + 5x − x − 1

3 lim

x→0

1 − cos x cos 2x

x2

4 lim

x→0

ex2 − cos x

x2

5 lim

x→0

ln(1 + 3x sin x)

tg x2

6 lim

x→0

8x− 7x

6x− 5x

7 lim

x→0

3

√

1 − x2− 1

xarctg5x

8 lim

x→0

5

p(1 + x)3− 1

x

9 lim

x→+∞

ln(4 + e3x)

ln(3 + e2x)

10 lim

x→0

x

√

1 − 2x

11 lim

x→0(cos 3x)

1

tg2x

12 lim

x→∞

x2+ 5x + 4

x2− 3x + 7

x

13 lim

x→∞

3x − 2

3x + 5

(3x−4)

14 lim

x→0

sin x

x

 1

1 − cos x

15 lim

x→0(2 − cos x)

1 sin2x

16 lim

x→∞

2x2+ 2x − 1

2x2− x + 1

x

17 lim

x→∞

2x − 1

2x + 3

x 2

18 lim

x→∞xsin1

x+ cos

1 x



19 lim

x→0+(sin 2x) tgx

20 lim

x→1(x − 1) tg πx

2

2.2 So s¡nh c¡c VCB

1 f(x) = 1 − cos3x, g(x) = ln(1 − 4x2), x → 0

2 f(x) = sin x − tg x, g(x) = x2, x → 0

3 f(x) = px +√x, g(x) = esin x− 1, x → 0

4 f(x) = 1 − cos3x, g(x) = ln(1 +arctg2x2), x → 0

2.3 Kh£o s¡t t½nh li¶n töc:

1 f(x) =

(

5.2x x < 0 2a − x x ≥ 0

2 f(x) =







1 + x −√3

1 + x

3 f(x) =

(

2.ex x ≤ 0

a + 2x x > 0

4 f(x) =







x sin1

x x 6= 0

5 f(x) =

(

x ln x2 x 6= 0

6 f(x) =







ln(1 + 4x) 3x x > 0

7 f(x) =

(

ax2+ x + 1 x < 1

8 f(x) =







ln(1 + x) − x 2x2 x > 0

9 f(x) =

(

x ln x x > 0

10 f(x) =







arctg|x|1 x 6= 0

2.4 T¼m v  ph¥n lo¤i iºm gi¡n o¤n

1 y = lg 1

|x + 2|

1 − e1−xx

3 y = ln x2

(x + 1)(x − 3)

1 + 2x−11

5 f(x) = x +|x + 2|x + 2