Tìm hiểu về bài toán tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

Với đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháptìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên.. Các phương pháp tìm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy côgiáo trong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trongsuốt thời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầyNguyễn Trung Dũng - người đã giúp em tận tình trong quá trìnhchuẩn bị và hoàn thành khóa luận

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viênNguyễn Thị Thúy

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt màinghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ NguyễnTrung Dũng

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệunhư đã nêu ở mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luậnnày là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùngvới kết quả của bất kì tác giả nào khác

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viênNguyễn Thị Thúy

ii

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 11.1 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 11.1.1 Một số định nghĩa 11.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên

thường gặp 11.2 HÀM SINH MÔMEN 31.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 31.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên

thường gặp 4

2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 92.1.1 Mô tả phương pháp 92.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min 102.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên 132.1.4 Phân phối của tích và thương 162.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH MÔMEN 192.2.1 Mô tả phương pháp 192.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 212.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 232.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác

suất rời rạc 232.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác

Khóa luận tốt nghiệp

Ngày nay "Lý thuyết xác suất" đã không còn là một lĩnh vựctoán học mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trongnền toán học thế giới Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ

vì nó là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứngdụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội

và nhân văn Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoahọc về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu,thông tin định lượng

Với đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháptìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên Khóa luận gồm

2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở

Trong chương này, trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp vàhàm sinh mômen của nó

Chương 2 Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫunhiên

Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phốixác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích chonhững ai quan tâm về phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X1, X2) Hàm số

1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên

b Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiênX được gọi là có phân phối Poissonvới tham số λ(λ > 0), nếu

P (X = k) = e

−λλkk! , k=0, 1, 2,

Kí hiệu X ∼ P oi(λ)

c Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)

Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩnvới tham số (µ, σ2) với −∞ < µ < +∞, σ2 > 0 nếu hàm mật độ códạng

−∞

1

√2πe

Khóa luận tốt nghiệp

e Phân phối đều

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đềutrên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ xác suất có dạng

f Phân phối Gamma

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiênX được gọi là có phân phối Gammavới các tham số r > 0, λ > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng

λ−1e−rx , x > 0

Kí hiệu là X ∼ G(r, λ)

1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen

Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X Hàm sinh mômen của X

kí hiệu làmX(t)được xác định bởimX(t) = E(etX) nếu tồn tạih > 0

sao cho mX(t) tồn tại với mọi |t| < h

Nhận xét: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp

r của X, có thể được tính từ mX(t)

Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm ex ta có

mX(t) = E(etX) = E

∞X

i=0

(tX)ii!

!

=

∞X

i=0

tii!E(X

i) = 1 + tE(X) + t

2E(X2)2! + (1.1)

Cho t = 0 ta được m0X(0) = E(X).

Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với t ta được

m00X(t) = E(X2) + tE(X3) +

Cho t = 0 ta được m00X(0) = E(X2)

Tiếp tục quá trình này ta được

m(r)X (0) = E(Xr)

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiênX có hàm sinh mômen làmX(t).Khi

đó biến ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b là hằng số thực có hàm sinhmômen là

mY(t) = etbmX(at)

Chứng minh

Ta có mY(t) = E(etY) = E(et(aX+b)) = etbE(eatX) = etbmX(at) 

Định lý 1.2 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập vớicác hàm sinh mômen tương ứng là mXi(t), i = 1, 2, , n Đặt

i=1

Eetai X i =

nY

i=1

mXi(ait).1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường

gặp

Khóa luận tốt nghiệp

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Becnuli B(1, p) thì

mX(t) = pet + q
, q = 1 − p

Thật vậy, ta có

mX(t) = E(etX) =

nX

k=0

etkCnkpkqn−k

=

nX

k=0

Cnk(etp)kqn−k = (pet + q)n, q = 1 − p

b Biến ngẫu nhiên có phân phối Poison

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson P oi(λ) thì

mX(t) = eλ(et−1)

Thật vậy, ta có

mX(t) = E(etX) =

∞X

k=0

etkλ

ke−λk!

= e−λ

∞X

k=0

(λet)kk! = e

−λeλet

= eλ(et−1)

c Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) thì

mX(t) = et22.+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N (µ, σ2) thì

mX(t) = etµ+σ2t22

2 (t−x)2dx = et22.+ X tuân theo phân phối chuẩn N (µ, σ2) thì

= etµ+σ2t22

d Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối mũ Exp(λ) thì

mX(t) = λ

λ − t .

Khóa luận tốt nghiệp

e Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều thì

a

etx 1

b − adx =

ett(b − a)(e

b − ea)

f Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Gamma G(r, λ) thì

Bằng cách tính tích phân từng phần λ lần ta thu được

ChoX1, , Xnlà các biến ngẫu nhiên vàg1(·, , ·), g2(·, , ·), ,

gk(·, , ·) là các hàm đo được trên Rn Khi đó hàm phân phối xácsuất đồng thời của các biến ngẫu nhiên Y1, ,Yk được xác định bởi

FY1, ,Yk(y1,y2, ,yk) = P [Y1<y1, ,Yk<yk]

= P [g1(X1, ,Xn) <y1, ,gk(X1, ,Xn) <yk]

trong đó Yj = gj (X1, ,Xn) , j = 1, 2, ,k

Phương pháp này được gọi là phương pháp dựa trên phân phối xácsuất

Đặc biệt, nếu k = 1 thì FY (y) = P [Y < y] = P [g(X1, , Xn) < y]

Ví dụ 2.1 Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N (0, 1).Tìm phân phối xácsuất của biến ngẫu nhiên Y = g(X) = X2

Giải Theo định nghĩa ta có

yfX(

√y)

2√

y√2πe

−y2.d

2√

yfX(

√y)

2√

y√2πe



1

√2ye



12



1

√2ye

− 1

2 y , y > 0

Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp này

2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min

Giả sử X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng khônggian xác suất (Ω, A, P ) Ta kí hiệu

Y1 = M in[X1, , Xn], Yn = M ax[X1, , Xn] Khi đó Y1, Yn cũng làcác biến ngẫu nhiên

Ta có hàm phân phối xác suất của Y1, Yn có dạng

FY1(y) = P [Y1 < y] = 1−P [Y1 ≥ y] = 1−P [X1 ≥ y, , Xn ≥ y] ,

và FY n(y) = P [Yn < y] = P [X1 < y, , Xn < y]

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.1 NếuX1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cáchàm phân phối xác suất tương ứng là FXi(·), Yn = M ax[X1, , Xn]

thì

FYn =

nY

i=1

P [Xi < y] =

nY

i=1

FX(y) = [FX(y)]n 

Hệ quả 2.1 Nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập

có cùng hàm mật độ xác suất là fX(·) và hàm phân phối xác suất là

i=1

[1 − FXi(y)]

Nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phânphối xác suất là FX(.) thì

i=1

P [Xi ≥ y] (do X1, , Xn độc lập)

= 1 −

nY

i=1

[1 − FX(y)] = 1 − [1 − FX(y)]n 

Hệ quả 2.2 Nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lâp

và có cùng hàm mật độ xác suất là fX(·) và hàm phân phối xác suất

là FX(·) thì

fY1(y) = n[1 − FX(y)]n−1fX(y)

Ví dụ 2.2 Giả sử tuổi thọ của một bóng đèn thắp sáng là một biếnngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình là 100 giờ Thắp sángđồng thời 10 bóng Tìm phân phối xác suất của bóng đèn tắt đầu tiên

và tính kì vọng của nó

Giải

Giả sử Xi là tuổi thọ của bóng đèn thứ i, i = 1; n thì

Y1=M in [X1, , Xn]là bóng đèn có tuổi thọ ngắn nhất (hay là bóngđèn tắt đầu tiên)

Khóa luận tốt nghiệp

2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên

Định lý 2.3 Giả sử X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục có hàmmật độ xác suất đồng thời fX,Y(x, y) Đặt Z = X + Y và V = X − Y

Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 2.3 Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập và

Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường được gọi

là công thức chập Trong giải tích toán, hàm fZ(.) được gọi là tíchchập của các hàm fX(.) và fY(.)

Ví dụ 2.3 Giả sử X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập và có cáchàm mật độ xác suất fX(x) = fY(y) = I(0,1)(x) Chứng minh rằng

0 ≤ Z = X + Y ≤ 2

dx + I[1,2)(z)

1Z

z−1

dx

= zI(0,1)(z) + (2 − z)I[1,2)(z)

Vậy 0 ≤ Z = X + Y ≤ 2

2.1.4 Phân phối của tích và thương

Định lý 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàmmật độ xác suất fX,Y(x, y) Giả sử Z = XY và U = X

Khóa luận tốt nghiệp

Bằng cách thay u = xy ta có

FZ(z) =

0Z

−∞

fX,Y(x,u

x)

dux



dx

=

zZ

−∞





0Z

FU(u) =

0Z

−∞





0Z

|y|fX,Y(zy, y)dy 

Ví dụ 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phânphối đều trên khoảng (0, 1).Giả sử U = X

0

ydy + I[1,+∞)(u)

1 u



dx

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 2.5 Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N (0, 1) Tìm hàm phânphối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2

Giải Ta có

− 1

2e−12 y

, y > 0

Ví dụ 2.6 Giả sử X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân

phối chuẩn tắc Tìm phân phối xác suất của biến Y1 = g1(X1, X2) =

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 2.7 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử

X ∼ N (α, β), Y ∼ N (γ, δ) Tìm hàm phân phối xác suất của biếnngẫu nhiên Z = aX + bY

Định lý 2.5 Nếu X1, ,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và tồn tạicác hàm mXi(t) với −h ≤ t ≤ h, h > 0 Giả sử Y =

nX

i=1

E(eXi t

) =

nY

i=1

Xi

mXi(t) =

nY

i=1

expλi(et − 1)

= exp

" nX

i=1

λi

Như vậy

nX

i=1

Xi ∼ P oi(

nX

Khóa luận tốt nghiệp

2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất

rời rạc

a Trường hợp có 1 biến

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị xi, i = 1, 2,

với xác suất là PX(xi), i=1, 2, Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = g(X)

có hàm phân phối xác suất là PY(yj) = X

22n + 1

22n + 1

2n + 1 , a = 1, 4, , n

2

0 , a 6= 0, 1, 4, , n2

b Trường hợp có nhiều biến

Giả sửPX1, ,Xn(x1, , xn)là các hàm xác suất đồng thời củanbiến

ngẫu nhiên X1, ,Xn và A = {(x1, ,xn) : PX1, ,Xn (x1, ,xn) > 0}

Đặt Y1 = g1(X1, ,Xn) , ,Yk = gk(X1, ,Xn) Khi đó, hàm xác suất

đồng thời củaY1, ,YnlàPY1, ,Yk(y1, ,yk) = P [Y1 = y1, ,Yk = yk] =

X

PX1, ,Xn (x1, ,xn)

Ví dụ 2.12 Giả sửX1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân

phối xác suất được cho trong bảng sau

(x1,x2,x3) (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1)

PX1,X2,X3(x1, x2, x3) 1

8

38

18

18

18

18

Tìm phân phối xác suất của Y1 = g1(X1, X2, X3) = X1+ X2+ X3 và

Khóa luận tốt nghiệp

2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất

liên tục

a Trường hợp có một biến

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX(x) thìhàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = g(X) có thể được tìmbằng cách sau:

Định lý 2.6 Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độxác suất fX(x) Đặt A = {x : fX(x) > 0} Giả sử rằng

(i) y = g(x) là phép biến đổi 1 − 1 từ A vào B

(ii) Đạo hàm cấp một x = g−1(y) theo y là liên tục và khác khôngvới y ∈ B, trong đó x = g−1(y) là hàm ngược của g(x)

Khi đó, Y = g(X)là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

fY(y) =

ddy



g−1(y)

fX g−1(y)

Chứng minh

Giả sử g(x)là hàm đơn điệu tăng trên A Khi đó với y ∈ B ta có

FY(y) = P [Y < y] = P [g(X) < y] = P X < g−1(y)= FX g−1(y)

Do đó

fY(y) = d

dy [FY(y)] =

ddy

Ngược lại, giả sử g(x) đơn điệu giảm trên A Khi đó y ∈ B ta có

FY(y) = P [Y < y] = P [g(X) < y] = P X ≥ g−1(y) = 1 − FX g−1(y)

Do đó

fY(y) = d

dy [FY(y)] =

ddy

ddy



g−1(y)



= 1

2e

−y1 2

2.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH CỦA VECTƠ NGẪU

Định lý 2.8 Cho X = (X1, , Xk)0 là vectơ ngẫu nhiên với hàm mật

độ xác suất đồng thời fX > 0 trên tập S ⊆Rk Đặt

Yi =

kX

j=1

dijYj, i = 1, , k

và hàm mật độ xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên Y = (Y1, , Yk)0

được cho bởi

Khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt, nếu phép biến đổi tuyến tính là trực giao thì

j=1

cj1yj, ,

kX

j=1

cjkyj



, (y1, , yk)0 ∈ T

0,nếu trái lại

Hơn nữa, trong trường hợp phép biến đổi tuyến tính là trực giao thì

kX

i=1

Yi2 =

kX

i=1

Xi2

Sau đây là ứng dụng của Định lí trên trong trường hợp có phân phốichuẩn

Định lý 2.9 Cho Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập, Xi ∼ N (µi, σ2),

i = 1, , k Xét phép biến đổi trực giao

Yi =

kX

k

exp

"

− 12σ2

kX

kX

i=1





kX





kX

j=1

kX

l=1

cjicliyjyl + µ2i − 2µi

kX

j=1

kX

l=1

yjyl

kX

i=1

cjicli+ µ2i − 2µi

kX

j=1

cjiyj

=

kX

j=1

yj2 − 2

kX

j=1

kX

i=1

cjiµiyj +

kX

i=1

µ2i

và bằng

kX

j=1

yj −

kX

j=1

y2j +

kX

i=1

kX

l=1

cjicjlµiµl − 2

kX

j=1

yj2 − 2

kX

j=1

kX

i=1

cjiµiyj +

kX

i=1

kX

l=1

µiµl

kX

j=1

cjicjl

=

kX

j=1

yj2 − 2

kX

j=1

kX

i=1

cjiµiyj +

kX

Định lý 2.7 NếuX biến ngẫu. .. nhiên liên tục có hàm phân phối xácsuấtFX(x)thìY = FX(X)có phân phối khoảng (0, 1) Ngượclại, Y có phân phối khoảng (0, 1) X = FX−1(Y ) c? ?hàm phân phối. .. nghiệp

Ví dụ 2.15 Cho biến ngẫu nhiên X hàm phân phối xác suất

Vậy X có hàm phân phối FX(x)

b Trường hợp có nhiều biến< /small>

Bài tốn: Giả sử fX1,