Nghiệm của một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảo toàn

Giới thiệuLuận án trình bày những kết quả nghiên cứu của chúng tôi liênquan đến một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảotoàn.. Những kết quả chính trong chương này đã đượ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO HUY CƯỜNG

NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ HYPERBOLIC CÁCĐỊNH LUẬT CÂN BẰNG DẠNG PHI BẢO TOÀN

Ngành : Toán Giải tích

Mã số ngành : 62460102

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP Hồ Chí Minh - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mai Đức Thành

Phản biện 1: PGS.TS Lê Thị Phương Ngọc

Phản biện 2: TS Đào Nguyên Anh

Phản biện 3: TS Nguyễn Thành Nhân

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Lê Xuân Trường

Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Anh Triết

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở đàotạo họp tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM

vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tổng hợp Quốc gia TP.HCM

2 Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM

Giới thiệu

Luận án trình bày những kết quả nghiên cứu của chúng tôi liênquan đến một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảotoàn

Nội dung thứ nhất, được trình bày trong Chương 2, liên quanđến hai mô hình dòng lưu chất chảy trong một ống dẫn có tiết diệnbiến thiên Mô hình thứ nhất (ứng với dòng lưu chất đẳng entropy) là

Nội dung thứ hai, được trình bày trong Chương 3, nghiên cứu về

hệ phương trình nước nông với đáy biến thiên (a = a(x))

∂th + ∂x(hu) = 0,

∂t(hu) + ∂x

h



u2+gh2



= −gh∂xa, x ∈ R, t > 0, (0.3)

trong đó h(x, t) là chiều cao của dòng nước tính từ đáy đến mặt nước,

và u(x, t) là vận tốc của dòng nước; g là hằng số trọng trường

Những kết quả chính trong chương này đã được công bố trong 2bài báo khoa học (P3), (P7)

Nội dung thứ ba, được trình bày trong Chương 4, nghiện cứu về

mô hình dòng chảy hai pha đẳng entropy

trong đó, α(x, t), ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) tương ứng là tỉ số thể tích, mật

độ, vận tốc, và áp suất của pha I; β(x, t), θ(x, t), v(x, t), q(x, t) tươngứng là tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc, và áp suất của pha II

Những kết quả chính trong chương này đã được công bố trong 2bài báo khoa học (P2), (P5)

Ngoài phần giới thiệu và ba chương chứa nội dung chính như đãnói trên, luận án còn bao gồm các phần sau:

• Kiến thức chuẩn bị: phần này trình bày một số kiến thức cơ sở

và các ký hiệu có liên quan đến nội dung chính của luận án

• Kết luận: phần này tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồngthời cũng nêu ra một số vấn đề tồn tại và đề xuất một số hướngnghiên cứu tiếp theo

Chương 2

Mô hình dòng lưu chất

chảy trong ống với tiết

diện biến thiên

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của chúng tôi về hai

mô hình dòng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biến thiên:

• Mô hình dòng lưu chất đẳng entropy:

2.1 Mô hình dòng lưu chất đẳng entropy

2.1.3 Xây dựng các lược đồ số kiểu Godunov và kiểu van



 (2.36)

Khi đó, hệ (2.1) được viết lại thành

∂tU + ∂xF (U ) = H(U )∂xa, x ∈ R, t > 0 (2.37)Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov

và xj+1/2không ảnh hưởng đến nhau, chúng tôi giả thiết ∆t phải thỏamãn điều kiện ổn định C.F.L

Ujn+1= Ujn− ∆t

∆x

F

Un j+1− Un

Nếu UL, URlà hai trạng thái cân bằng của hệ (2.1) thì nghiệm xấp

xỉ cho bởi các lược đồ số (2.42), (2.52) là

Ujn= Uj0, j ∈ Z, n ∈ N∗

Do đó, các lược đồ số kiểu Godunov (2.42) và kiểu van Leer (2.52) làcác lược đồ số cân bằng

2.2.3 Xây dựng lược đồ kiểu Godunov

(2.77)Khi đó, hệ (2.2) được viết lại dưới dạng

∂tU + ∂xF (U ) = S(U )∂xa, t > 0, x ∈ R

Lược đồ số kiểu Godunov cho mô hình (2.2) như sau

Chương 3

Hệ phương trình nước

nông với đáy biến thiên

Mô hình hệ phương trình nước nông với đáy biến thiên (a = a(x))được cho bởi

∂th + ∂x(hu) = 0,

∂t(hu) + ∂x

h



u2+gh2



= −gh∂xa, x ∈ R, t > 0, (3.1)trong đó chiều cao của dòng nước tính từ đáy đến mặt nước h(x, t) vàvận tốc của dòng nước u(x, t) là các ẩn hàm; g là hằng số trọng trường

Thêm vào hệ (3.1) một phương trình hiển nhiên ∂ta = 0, ta viết hệ(3.1) dưới dạng dạng ma trận

∂tU + A(U )∂xU = 0, x ∈ R, t > 0,trong đó

U =





hua

Hai trường đặc trưng ứng với λ1, λ2 có tính phi tuyến thực sự Trườngđặc trưng ứng với λ3 có tính suy biến tuyến tính λ1 trùng với λ3 trênmặt

C+:=n(h, u, a) : u =pgho (3.2)

λ2 trùng với λ3 trên mặt

C− :=

n(h, u, a) : u = −pgh

o,

o.Cho trước trạng thái bên trái U0 = (h0, u0, a0) và a 6= a0 Trạngthái U = (h, u, a) được nối với trạng thái U0 bởi một sóng 3−tiếp xúckhi và chỉ khi u = h0u0/h và h là nghiệm của phương trình

F (U0, a; h) := 2gh3+

2g(a − a0− h0) − u20



h2+ h20u20 = 0 (3.13)Các đường cong sóng cơ bản ứng với các trường phi tuyến thực sự

có phương trình là

W1(U0) := R1(U0) ∪ S1(U0) = {U (h, u, a) : a = a0, u = w1(U0; h)} ,

W2B(U0) := RB2(U0) ∪ S2B(U0) =U (h, u, a) : a = a0, u = w2B(U0; h) ,

(3.16)trong đó

3.2 Tính đơn điệu của các đường cong kết hợp

g

(h−, u−, aL) := W1(UL) ∩ C−.Khi đó,

d

dhϕ2(h) > 0, với mọi h ∈ (h

#

L, h\) ∪ (h\, h−),trong đó

ϕ2(h) := ϕ2(U (h), aR),

w1(UL; h\) = 0,với các đường cong C−, W1(U0), và hàm w1(U0; h) có phương trình vàbiểu thức được cho bởi (3.3), (3.16), (3.17); ϕ2(U0, a) ký hiệu nghiệmlớn của hàm F (U0, a; h) được cho bởi (3.13)

Bổ đề 3.5 Cho trước UL∈ G1∪ C+ và aR< aL Gọi

g

(h−, u−, aL) := W1(UL) ∩ C−.Khi đó

d

dhu(h) < 0, với mọi h ∈ (h

#

L, h\) ∪ (h\, h−),

3.2.2 Trường hợp 2: UL∈ G2

Bổ đề 3.6 Cho trước UL∈ G2 và aR< aL Gọi

U (h) :=h, w1(UL; h), aL= W1(UL) ∩ G2, h+< h < h−,trong đó

(h±, u±, aL) := W1(UL) ∩ C±.Khi đó,

Bổ đề 3.7 Cho trước UL∈ G2 và aR< aL Gọi

U (h) :=h, w1(UL; h), aL= W1(UL) ∩ G2, h+< h < h−,trong đó

(h±, u±, aL) := W1(UL) ∩ C±.Khi đó,

d

dhu(h) < 0, với mọi h ∈ (h

+, h\) ∪ (h\, h−),

trong đó

u(h) = w1(UL; h)h

ϕ2(U (h), aR),

w1(UL; h\) = 0,với các đường cong C±, W1(U0) và hàm w1(U0; h) có phương trình vàbiểu thức được cho bởi (3.3), (3.2), (3.16), (3.17); ϕ2(U0, a) ký hiệunghiệm lớn của hàm F (U0, a; h) được cho bởi (3.13)

ϕ1(U0, a), ϕ2(U0, a) lần lượt ký hiệu nghiệm nhỏ và nghiệm lớn củahàm F (U0, a; h) được cho bởi (3.13) Khi đó, bài toán Riemann cho hệ(3.1) có nghiệm là một trong ba dạng sau:

W3(UL, ULs) ⊕ W1(ULs, U ) ⊕ W2(U, UR), (3.38)hoặc

W3(UL, ULs) ⊕ S1(ULs, ULs#) ⊕ W3(ULs#, ULs#b) ⊕ W2(ULs#b, UR), (3.39)

S1(UL, U ) ⊕ W3(U, Ub) ⊕ W2(Ub, UR) (3.40)Hơn nữa, nếu (3.37) được kết hợp thêm giả thiết

hs#L < h#bL ,trong đó

hs#L :=

−hs

L+

s(hs

L)2+8h

s

L(usL)2g

2(U0, h) cóphương trình và biểu thức được cho trong (3.3), (3.2), (3.16), (3.17),

(3.18); ϕ1(U0, a), ϕ2(U0, a) lần lượt ký hiệu nghiệm nhỏ và nghiệm lớncủa hàm F (U0, a; h) được cho bởi (3.13) Khi đó, bài toán Riemann cho

hệ (3.1) có nghiệm là một trong ba dạng sau:

R1(UL, U+) ⊕ W3(U+, U+s) ⊕ W1(U+s, U ) ⊕ W2(U, UR), (3.42)hoặc

R1(UL, U+) ⊕ W3(U+, U+s) ⊕ S1(U+s, Us#)

⊕ W3(Us#, U+s#b) ⊕ W2(U+s#b, UR), (3.43)hoặc

W1(UL, U ) ⊕ W3(U, Ub) ⊕ W2(Ub, UR) (3.44)Hơn nữa, nếu (3.41) được kết hợp thêm giả thiết

h+s# < h+b,trong đó

h+s#:=

−h+s+

s(h+s)2+8h

+s(u+s)2g

h+b:= ϕ2(U+, aR),thì bài toán Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm duy nhất





(3.45)Khi đó, hệ (3.1) được viết lại dưới dạng

Sjn= (Uj+1n − Ujn)Φ(θjn),

θnj = U

n

j − Un j−1

Chương 4

Mô hình dòng chảy hai pha

Mô hình dòng chảy hai pha trong trường hợp đẳng entropy gồm 5phương trình

Hệ (4.1) được viết lại dưới dạng ma trận

∂tU + A(U)∂xU = 0, x ∈ R, t > 0,trong đó

U =





UVα



, U =ρ

u

, V =θ

v



Ma trận A(U) có năm giá trị riêng thực

λ1= u −pp0(ρ), λ2 = u +pp0(ρ), λ3= v −pq0(θ),

λ4= v +pq0(θ), λ5= v

Bốn trường đặc trưng ứng với λ1, λ2, λ3, λ4 có tính phi tuyến thực

sự Trường đặc trưng ứng với λ5 có tính suy biến tuyến tính λ5 có thểtrùng với λ1 hoặc λ2 trên các mặt âm thanh

C+:= {u − v = c},

C−:= {u − v = −c},trong đó

Các đường cong sóng cơ bản ứng với các trường phi tuyến thực sự

đi qua điểm U0 = (U0, V0, α0) := (ρ0, u0, θ0, v0, α0) là

γ − 1



ργ−12 − ρ

γ−1 2

0

, ρ ≤ ρ0,

u0−

(p − p0)

1

ρ0 −

1ρ

γ − 1



ργ−12 − ρ

γ−1 2

0

, ρ ≤ ρ0,

u0+

(p − p0) 1

ρ0 −

1ρ

δ − 1



θδ−12 − θ

δ−1 2

0

, θ ≤ θ0,

v0−

(q − q0)1

θ0 −

1θ

δ − 1



θδ−12 − θ

δ−1 2

0

, θ ≤ θ0,

v0+

(q − q0)

1

θ0 −

1θ

(4.30)

4.1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Riemann

Nghiệm Riemann của từng pha

Nghiệm Riemann đối với pha II: luôn luôn là

W3(VL, V−) ⊕ W5(V−, V+) ⊕ W4(V+, VR) (4.31)Nghiệm Riemann đối với pha I: có thể là

W5(UL= U−, U+) ⊕ W1(U+, U1) ⊕ W2(U1, UR), (4.32)hoặc

W1(UL, U−) ⊕ W5(U−, U+) ⊕ W2(U+, UR), (4.33)hoặc

W1(UL, U1) ⊕ W2(U1, U−) ⊕ W5(U−, U+= UR), (4.34)tương ứng với các trường hợp

λ5 < λ1 < λ2,

λ1 < λ5 < λ2,

λ1 < λ2 < λ5.Trường hợp 1: λ5 < λ1< λ2

Hai trạng thái hai bên của sóng 5−tiếp xúc là

Định lý 4.1 Giả sử

W3(VL) ∩ W4B(VR) = (θ∗, v∗)sao cho UL∈ G1(v∗), tức là

uL− v∗>pp0(ρL)

Khi đó, tồn tại một khoảng I chứa αL sao cho khi αR thuộc vào I thì

hệ phương trình (4.35) sẽ có một bộ nghiệm duy nhất



σ, ρ+, u+, θ±

,

do đó ta xác định được ba trạng thái V±, U+ Từ đó, nếu có thêm sựgiao nhau

W1(U+) ∩ W2B(UR) = U1,sao cho σ1(U+, U1) ≥ v+ khi W1(U+, U1) là sóng 1−sốc, thì bài toánRiemann của hệ (4.1) có nghiệm được viết theo từng pha lần lượt

là (4.32), (4.31), trong đó các đường cong W1(U0), W2B(U0), W3(V0),

do đó bốn trạng thái V±, U± được xác định Từ đó, bài toán Riemanncủa hệ (4.1) có nghiệm được viết dưới dạng tách pha là (4.33), (4.31),trong đó các đường cong W1(U0), W2B(U0), W3(V0), W4B(V0) có phươngtrình được cho trong (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19).

uR− v∗ < −pp0(ρR)

Khi đó, tồn tại một khoảng I chứa αR sao cho khi αL thuộc vào I thì

hệ phương trình (4.51) sẽ có một bộ nghiệm duy nhất



σ, ρ−, u−, θ±

,

do đó ta xác định được ba trạng thái trung gian V±, U− Từ đó, nếu có

sự giao nhau

W1(UL) ∩ W2B(U−) = U1

sao cho σ2(U1, U−) ≤ v− khi W2(U1, U−) là sóng 2−sốc, thì bài toánRiemann của hệ (4.1) có nghiệm được viết dưới dạng tách pha là (4.34),(4.31), trong đó các đường cong W1(U0), W2B(U0), W3(V0), W4B(V0) có

phương trình được cho trong (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19)

0

q−p β

Khi đó, hệ (4.1) được viết dưới dạng

∂tU + ∂xF (U) = H(U)∂xα,

∂tα + v∂xα = 0, t > 0, x ∈ R (4.53)Lược đồ số kiểu Godunov để xấp xỉ nghiệm yếu cho bài toán Cauchy

j−1) + (vjn)−(αnj+1− αn

j),

(4.62)trong đó

sóng thu được từ việc giải các bài toán Riemann địa phương tại cácđiểm xj−1/2 và xj+1/2 không ảnh hưởng đến nhau, ta giả thiết điềukiện ổn định C.F.L sau đây được thỏa mãn

∆t

∆xmax{|λk(Unj)| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3, 4, 5} ≤ 1

2.Lược đồ số kiểu Godunov (4.62) có thể chụp được sóng tĩnh mộtcách chính xác, tức là nó có tính cân bằng

Kết luận

Trong luận án này, chúng tôi đã trình bày các kết quả thu được khinghiên cứu về nghiệm của một số hệ các định luật cân bằng dạng phibảo toàn (2.1), (2.2), (3.1), (4.1) Các kết quả này là mới và đã đượcđăng trong 7 bài báo khoa học (P1)-(P7)

Đối với mô hình dòng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biếnthiên ở Chương 2, chúng tôi đã xây dựng các lược đồ số kiểu Godunov

và kiểu van Leer (2.42), (2.78), (2.52) Để hoàn thiện các lược đồ sốnày, chúng tôi đã thiết lập các thuật toán xác định các trạng thái trunggian trong từng cấu trúc nghiệm Riemann Các thuật toán này chúngtôi xây dựng dựa sự giao nhau giữa các đường cong kết hợp sóng vàđường cong sóng cơ bản

Đối với hệ phương trình nước nông (3.1) ở Chương 3, bằng cáchkhảo sát dấu của đạo hàm, chúng tôi đạt được tính đơn điệu của cácđường cong kết hợp sóng được nêu trong các Bổ đề 3.4, 3.5, 3.6, 3.7,

từ đó dẫn đến miền tồn tại duy nhất nghiệm Riemann được nêu tronghai Định lý 3.1, 3.2 Sau đó, các kết quả đạt được về bài toán Riemanncho hệ (3.1) được chúng tôi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu vanLeer (2.52)

Đối với mô hình dòng chảy hai pha (4.1) ở Chương 4, để nghiêncứu nghiệm Riemann, chúng tôi tiếp cận bằng phương pháp tách pha.Với cách tiếp cận này, chúng tôi đạt được ba cấu trúc nghiệm tươngứng với từng vị trí của sóng 5−tiếp xúc Trong mỗi cấu trúc nghiệmnhư vậy, hai trạng thái quan trọng nằm hai bên của sóng 5−tiếp xúcđược xác định bằng một hệ phương trình phi tuyến Bằng cách áp dụngĐịnh lý hàm ẩn, chúng tôi đạt được các kết quả về sự tồn tại nghiệmRiemann như đã nêu trong ba Định lý 4.1, 4.2, 4.3 Các kết quả nàyđược chúng tôi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu Godunov (4.62)

Các lược đồ số mà chúng tôi đã xây dựng trong luận án này đềuđược chứng minh là có tính cân bằng, tức là có thể chụp được các sóngtĩnh một cách chính xác Ngoài ra, các thí dụ số chứng tỏ rằng cáclược đồ số này cho nghiệm xấp xỉ rất tốt không chỉ đối với các bàitoán có nghiệm Riemann chỉ là một sóng cơ bản, hoặc trường hợp dữkiện Riemann thuộc cùng một miền dưới âm tốc, siêu âm, mà đối vớinhững trường hợp miền dữ liệu Riemann thuộc hai miền khác nhauchúng cũng tỏ ra rất hiệu quả Đặc biệt, trong trường hợp cộng hưởng,các lược đồ số này cũng cho nghiệm xấp xỉ với độ chính xác khá tốt.Hơn nữa, các lược đồ số kiểu van Leer cho thấy chúng có độ chính xáctốt hơn các lược đồ số kiểu Godunov.

Dựa trên các kết quả đã đạt được, chúng tôi xin đề xuất một sốcông việc nghiên cứu tiếp theo như sau:

• Nghiên cứu xây dựng nghiệm Riemann cho mô hình dòng hai pha(4.1) trong trường hợp cộng hưởng

• Nghiên cứu tính đơn điệu cho các đường cong kết hợp sóng trongcác mô hình dòng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biến thiên(2.1), (2.2)

• Chứng minh một số tính chất của các lược đồ số mà chúng tôi đãxây dựng trong luận án này, chẳng hạn: bảo toàn tính dương củahàm mật độ ρ trong các lược đồ số (2.42), (2.78), (2.52), (4.62);bảo toàn tính dương của hàm chiều cao h trong lược đồ (3.46);bảo toàn tính không giảm entropy trong lược đồ (2.78)

• Nghiên cứu xây dựng một lược đồ số kiểu van Leer cho mô hìnhdòng hai pha (4.1)

Danh mục công trình của tác giả

(P1) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, A Godunov-type scheme forthe isentropic model of a fluid flow in a nozzle with variablecross-section, Applied Mathematics and Computation, 256 (2015)602–629

(P2) Mai Duc Thanh, Dao Huy Cuong, Existence of solutions to theRiemann problem for a model of two-phase flows, Electronic Jour-nal of Differential Equations, Vol 2015 (2015), No 32, pp 1-18.(P3) Mai Duc Thanh, Dao Huy Cuong, Properties of the wave curves

in the shallow water equations with discontinuous topography,Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, (2016)39: 305-337

(P4) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, A high-resolution van type scheme for a model of fluid flows in a nozzle with variablecross-section, Journal of the Korean Mathematical Society, Vol

Leer-54 (2017), No 1, pp 141-175

(P5) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, Building a Godunov-type merical scheme for a model of two-phase flows, Computers andFluids 148 (2017), 69-81

nu-(P6) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, Constructing a Godunov-typescheme for the model of a general fluid flow in a nozzle with vari-able cross-section, Applied Mathematics and Computation 305(2017), 136-160

(P7) Dao Huy Cuong, Mai Duc Thanh, A well-balanced van type numerical scheme for shallow water equations with variabletopography, Advances in Computational Mathematics (2017) 43: 1197-1225, DOI: 10.1007/s10444-017-9521-4