Đề tài nghiên cứu của em là ''Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO TRƯỜNG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2
Người hướng dẫn: ThS NGUYÊN TRUNG DŨNG
Cơ quan công tác:Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2
Ho va tén sinh vién: PHAM HONG DIEU HUYEN
Khoa: Toan Nganh: Su Pham Toan Lop: K36B
Xuan Hoa - 2014
Trang 2LOI CAM GN
Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành
nhất tới thầy giáo-Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng, người đã tận tình hướng dẫn em
hoàn thành khóa luận này
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo trong khoa
toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này
Xuân Hòa, ngày I5 tháng 05 năm 2014
Sinh Viên
Phạm Hồng Diệu Huyền
Trang 3LOI CAM DOAN
Em là Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán Đề tài
nghiên cứu của em là ''Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo
sát sự ổn định của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo
viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Em xin cam đoan nội dung khóa luận được thực
hiện hoàn toàn do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân không trùng lặp bất
cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác
Các tài liệu tham khảo em đã đề cập chí tiết trong nội dung khóa luận và đã được giáo viên hướng dẫn thông qua
Em xin chân thành cảm ơn!
Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014
Sinh Viên
Phạm Hồng Diệu Huyền
Trang 4Muc luc
Chương 1.|Một số khái niệm và công cụ toán học| 3
1.1 |Một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường! 3
1.2 |Hàm LyapunovV| -.-‹ ‹ « « «<< << 5s s se 5552 5 1.3 |Lớp hàm lKLL -««c « se «Ốc 2S S11 16 111 112 9 1.4 Dao ham Dini| -.cc «c2 11 1.5 |Một số bất đẳng thức vi tích phân| 15
Chương 2.|Sự ổn định Lyapunov | - 18
2.1 |Định nghĩa sự ổn định Lyapunov| - - - - 18
2.2 |Một số ví dụ | << sec c5 %2 20 2.3 |Phương pháp Lyapunov thứ 2| - - ‹ - 21
2.3.1.|Minh hoạ hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2| 21
2.3.2.|Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đêu| 23
2.3.3.|Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ | 29
Kết luận| -.-. .-. .<‹ 31 Tài liệu tham khảo| ‹ ‹ -‹ ‹ ‹ ‹ - ‹ ‹ - ‹ ‹ 31
Trang 5
LOI NOI DAU
1 Ly do chon dé tai
Sự phát triển của Lý thuyết ổn định đã diễn ra rất nhanh chóng va phổ biến một cách rộng rãi Các kết quả về Lý thuyết ổn định được công bồ trên rất nhiều tạp chí khoa học, bởi vậy rất khó để phát hiện ra đâu là những tiến bộ thực sự, đặc biệt đối với những nhà nghiên cứu mới muốn sử dụng kết quả của lý thuyết ốn định
để áp dụng trong những lĩnh vực khác Đây cũng là mối quan tâm đối với các nhà
nghiên cứu và các học viên trong lĩnh vực khác nhau Do đó, tôi đã chọn đề tài
''Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ
điều khiển'"' nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ
điều khiển Khóa luận của tôi gồm hai chương
e Chương 1 Trình bày một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường,
ham Lyapunov, đạo hàm Dini và một số bất đẳng thức vi phân
e Chương 2 Trình bày định nghĩa sự ổn định Lyapunov, một số ví dụ về mối quan hệ giữa các dạng ổn định, minh họa hình học của phương pháp Lya-
punov thứ 2, điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều và ổn định
mũ
Dù rất cô gắng nhưng thời gian và năng lực của em còn hạn chế nên khóa luận khó
có thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!
2 Mục đích, nhiệm vụ
Hệ thống lại các khái niệm và những kết quả về sự ổn định Lyapunov Đặc biệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển
3 Đôi tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp Lyapunov thứ hai là
nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển
Trang 64 Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
Trang 7Chuong 1
Mot so khai niém va cong cu
toan hoc
1.1 M6ts6 ket qua cua hé phuong trinh vi phan thudng
Xét hệ phương trình dưới đây
dx;
trong đó ,f €Ï:= (fñ1,f2), f4 > —e®, f2 < +œ, vector trạng thái x = (%1,%2; vn)” E
Q CR", g €C [I x Q,R’] ,O € Q Hé (1.1.1) c6 thể viết dưới dạng vector
Cail › Ẩn) < Kjj = const, j = 1,n, trén J x Q thi diéu kién
Rõ ràng, nêu |
Lipschitz dudc thoa man
Dinh ly 1.1.1 (Dinh li tén tại và duy nhdt nghiém) Néu g(t,x) =(g1(t,x), -, ø„(f,3))
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, khi đó V(fo,xọ) € I x ©, 3" > 0, sao cho 3 I nghiệm
3
Trang 8duy nhất x(f,tfạ,xọ) thỏa mãn phương trình vi phân với điêu kiện ban đầu
tính liên tục của Say Mb d = 1,n)
Dưới đây, chúng ta xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số
an — g(t,x, LM),
trong d6, x EQ, t € 7 và € [ị, Hạ] là một vector tham số
Định lý 1.1.3 (Định lý về sự liên tục và khả vi của nghiệm theo tham sé)
Giả sử gí,x,) 6 CỊI x © x [Hì,Hạ],R"],g thỏa mãn điêu kiện Lipschitz với mọi
giá trị € [u, tạ] Khi đó:
(1) Vío € 1, xạ €©, Họ € [mì, Hạ] thì 3 hằng số p > 0,a > 0 sao cho khi |U — Họ| < p, nghiệm của phương trình x(t) — x(f.,fo,xo,) xác định trên |to — đ;fo + a|
phụ thuộc hiên tục vào LU
(2), gi được giải tích đối với các biến, kéo theo x(f) := x(f;fo,xọ; M) cũng giải tích đối với I0
(3) Sự khả vi liên tục của g¡ đối với các biến xị, xạ và H, kéo theo sự khả vi liên
tục của x(t) := x(†,fạ,xụ, u) đối với ở
Trang 9x(t) = Asin(¢t + a)
trong đó, A và œ là hằng số, khử t trong ) thu được phương trình quỹ đạo
x2? +x” = A7, mô tả 1 họ các đường tròn khi A thay đổi Khi 0 < 2 <1, theo Định
lý , quỹ đạo nghiệm của hệ ) xấp xỉ nghiệm của ) như mô tả hình
Giả sử hàm W(z) C |O,IR†], tức là W : © — IRỶ là liên tục,
W(0) =0; Vứ,x) eC|I x ©,'R!], tức AV (t,x) 21 x © — IRỶ là liên tục và
V(t,0) =0
Định nghĩa 1.2.1 Ham W(x) duoc goi la xdc dinh duong nếu
W(x) = >0 vớixcOÔ,xz0 _ | =0 vwix=0.
Trang 10e W(x) duoc goi la nita xdc dinh duong néu W(x) > 0 véi x € Q
e W(x) duoc goi la xdc dinh dm néu —W(x) la xdc dinh duong
e W(x) duoc goi la nita xdc dinh dm néu W(x) <0
e Ham xdc dinh dm va xdc dinh dương được gọi là hàm xác định dâu
e Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có dẫu không đổi
Định nghĩa 1.2.2 Hàm V(,x) c C [I x ©,1R!] ( hoặc W(zx) € C[Q,R'| ) dugc gọi
là thay đổi dẫu nêu 3 !\,fạ C Ï và xị,xạ € Q sao cho
V(ti,x1) > 0, VC(t1,x2) < O.(W(x1) < 0,W(x2) < 0)
Vi du 1.2.1 W(x1,x2) = 3x7 + 2x3 + 2x1x2 la xcic dinh duong
Vi du 1.2.2 W(x1,x2) = x? x3 + 2x1x2 = (x1 +.x2)? ld mia xdc dinh duong
Ví dụ 1.2.3 W(x1,x2) = x} + x2 — 3xìx› là hàm thay đổi dầu
Ví dụ 1.2.4 V{(f,xị,x;) = xƒ sint +x5 cost là hàm thay đổi dầu
Định nghĩa 1.2.3 Hàm V{(¡,x) được gọi là xác định dương nếu 31 1 hàm xác định
dương W (x) sao cho
Ví dụ 1.2.5 V(/,xị,x2) = (2+eT?)(x12 +x¿? +xix2) là xác định dương vì
V (t,x1,%2) = (2+e7*) (xy? +x? +xị32) 3 xi? +xa? +xixa := W(xi32)
O day, W(x1,x2) là xác định đương, và V{(¿,0) = 0
Vi du 1.2.6 V(t,x1,x2) = (e) (x17 + ŠX132 + x2”) là nửa xác định đương, vì
không 1 ] hàm xác định dương W (x) sao cho V(t,xì,x2) > W()
Định nghĩa 1.2.4 Hàm W(x) c C IR“,R'| được gọi là xác định dương và R.u
không bị chặn nêu W (x) xác định dương và W (x) —> + khi x — œ
6
Trang 11Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian
Dinh nghia 1.2.5 Ham V(t,x) € C[I x R",R'| duoc goi la xdc dinh duong va
không bị chặn nếu 3 ] hàm xác định dương và không bị chặn Wa(x) sao cho V (t,x) >
W›(x) Hàm V{(t,x) được gọi là I.U.b nếu 3 hàm W\(x) xác định dương sao cho
Trang 12Wi (x) <V (t,x) < Wao(x), duoc thể hiện ỏ hình (1.3)
Giả sử W(x) xác định dương với ||x|| < H Cầu trúc của W (x) rắt phức tạp, và
W(x1,0) = = 1 —L; =c không có nghiệm hữu hạn đối với xì
2}
W(0,x2) = nở — c không có nghiệm hữu hạn đôi với x¿
2
Vậy theo hướng xỊ(xa = 0) hoặc x1(xa = 0), W(%1,x2) = c không đóng Tuy
nhiên, khi Ö < c < 1, xa = kxì,k # 0 là một sô thực bắt kỳ thì phương trình
Vậy theo hướng xị (xạ = 0) hoặc x1(xa = 0), W(%1,xa) = c không đóng Tuy nhiên,
khi Ö < c < 1, xa = kxị,k # 0 là một số thực bắt kỳ thì phương trình
kxf 4 x4
Trang 13Có nghiệm hữu hạn xì, do dé duéng cong W(x,,x2) = c va duing thang x, = kx,
có hữu hạn giao điểm Tuong tu, W(x1,x2) = c và xị = kxa(k # 0) có hữu hạn giao
điểm Do đó, W(x\,x¿) = c(0 < c < 1) là một đường đóng( nhìn hình 1.3)
1.3 Lớp hàm K
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm lK và mối liên hệ giữa lớp hàm
K và hàm xác định dương
Hình 1.4: V=C là 1 dường đóng gồm nhiều họ lân cận
Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm @ € [RT,RT], R* := [0;-+e) hoặc 9 € C|[0,h] ,R*|khi
đó @ được gọi là W_ hàm hoặc IK_ hàm nêu thỏa mãn:
(1) @ là hàm tăng
(2) Kí hiệu @ € K, 0(0) = 0
Định nghĩa 1.3.2 Cho ọ c [R”,R”] và ọ € K, khi đó nếu lim @(r) = + thì @(r)
r co
được gọi là lớp hàm , kí hiệu là 9 € KR
Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xác định dương và hàm thuộc lớp K
Định lý 1.3.1 Cho Q := {x,||x|| < h}, cho W(x) € [Q,R'], là một hàm xác định
dương bắt kỳ Khi đó 3 2 hàm 1,92 € K sao cho
Trang 14< € khi bat — x9|| SŠ rạ— Frị < ô(£)
Trong đó, ta lẫy xị — xọ khi xọ € Da := {x|r¿ < ||x|| < h}
Khi đó ta có (0) = 0 Bằng phương pháp tương tự, ta có thể chứng minh rằng P(r)
là hàm đơn điệu không giảm và liên tục Đặt @(r) := \(z) + kr(k > 0),
Ta có
@(1) = VữI) +kri S W(r;) +kmi < W2) + kr› = 022)
Do đó, Ø›(r) là hàm đơn điệu tăng và @›(r) € K.Từ các kết quả trên ta có
10
Trang 15Hình 1.5: Mối liên hệ giữa hàm xác định dương và lớp hàm IK
ø(|xll) < ø(lx|):=, inf WE) < WO)
< max W(£):=W(Ix|) < @(lxl)
Do đó, ø(||x||) < W(z) < ø(|x|):
Bằng phương pháp tương tự ta có định lý dưới đây
Đỉnh lý 1.3.2 Cho W(+x) c C [R",R'| là một hàm xác định dương và R.u bất kì,
khi đó tôn tại hai hàm @\ (r), @(r) € KR sao cho:
@:(I|x||) Š W(x) Š Ø(IIxlÌ):
1.4 Dao ham Dini
Dat I := [to, +e), f(t) € C |, R'] Vit € 7 bat ki thi 4 đạo hàm dưới day:
D* f(t):= im 7(f(e-+h) — FO) = lim sup7(f@+h)— FO), Q.48 ho0+ h hoot
11
Trang 16D-ƒ():= lim }(ƒ0+h)— ƒ()) = lim sp; (ƒ(+h)— f(0), (1.4.10) ho0-h h—0~
tương ứng gọi là đạo hàm phải trên, phải dưới, trái trên và trái dưới của f(t) va dudc
goi la cac dao ham Dini
Nhận xét: Nếu ƒ(7) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì 4 đạo hàm Dini là hữu hạn Hơn thế nữa, đạo hàm của ƒ(7) tồn tại khi và chỉ khi 4 đạo hàm Dini bằng nhau
Cho một hàm liên tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạo hàm Dini được
xác định như sau
Định lý 1.4.1 Điều kiện cần và đủ để ƒ(t) EC [I , R'|, don điệu không giảm trén I
là D* f(t) > 0, voit ET
Chứng minh:
Điều kiện cần là rõ rang vi f2 > t, kéo theo f(t2) > f(t)
Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ Trước tién gia sit D* f(t) > 0 trén I Néu cé 2 diém a, B EI vaa < B saocho f(a) > f(B), khi dé Sy thoa man f(a) > p > f(B)
và điểm t € [a, B] sao cho f(t) > u Dat € = Sup {t: f(t) > uw} khi do € € [œ, BỊ
va su lién tuc cua f(t) tacé f(€) = wu Do do, voit € [€, B] ta có
Chi y 1.4.1 Néu ta thay thé D* f(t) > 0 bdi Ds f(t) > 0, khi dé diéu kién du cua
dinh ly (1.4.1) van ding Tuong tu néu ta thay D* f(t) > 0 bdi D™ f(t) > 0 hodc D_ ƒ(t) >0 và do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dini không âm thì ƒ(t) là hàm không
giảm
Dưới đây, ta xét đạo hàm Dim của Ì hàm dọc theo nghiệm của Ì phương trình vi
12
Trang 17phân Xét hệ phương trình vi phân cho bởi
\V(t.x) -Vit,y)| <L||x—y|] ,Vx,y € O,Vt ET
Khi đó đạo hàm phải trên và đạo hàm phải dưới cua V(t,x) doc theo nghiém x(t)
của (1.4 14) có dạng dưới đây
Chitng minh Giả sử nghiệm x(7) xác định trong miền 7 x © Với (/,x) € ï x ©
(+h,x+hƒ(,x)) €U,(t+h,x(t+h)) €U Goi L 1a hang sé Lipschitz cua V(t, x)
trong 7 x © Sử dụng khai triển Taylor và điều kiện Lipschitz, ta được
Trang 19A A A J + ® +, ^
1.5 Mot so bat đang thức vỉ tích phân
Trong phần này,chúng tôi đề cập đến 1 số bất đẳng thức vi tích phân, chúng rất
quan trọng và có ý nghĩa với sự ổn định
Dinh lý 1.5.1 Gia sw ham @() là liên tục |t < t < b và đạo hàm phải dưới Dini
D Q(t) tôn tại thỏa mãn bắt đẳng thức vi phân
D+o() < F(t, P(t), P(t) = 6, (1.5.26) trong dé, F (t,x) € C [Ix Q,R'| ,(t,9()) € 1 x Q néu x®(t) la nghiém én nhdt
và ®(f) thỏa mãn phương trình vi phân trên + < t <S t+h
Hệ quả 1.5.1 (Bái đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử rằng g(t) và u(t) là các
hàm thực không âm liên tục, và c là 1 hằng sô không âm Khi đó nêu
inser [sls E)dé Vt € [fo f1] (1.5.31)
15