Luận văn: Dạng chính tắc của một số ma trận đặc biệt

Tìm hiểu một số dạng chính tắc của các ma trận đặc biệt như ma trận Hermit, ma trận đường chéo, ma trận tự liên hợp trong không gian phức, mở rộng các kết quả đã biết trong không gian thực đã được biết đến trong bộ môn Đại số tuyến tính và Hình học giải tích.

Möc löc

Líi nâi ¦u 1

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4

1.1 D¤ng chu©n t­c Jordan 4

1.2 T½ch væ h÷îng tr¶n Cn 11

Ch÷ìng 2 Mët sè d¤ng ma trªn °c bi»t 14

2.1 Ma trªn H- tü li¶n hñp 14

2.2 Ma trªn H− unita 19

2.3 T֓ng ֓ng Unita 24

2.4 Ma trªn Symplectic 26

T i li»u tham kh£o 30

Líi nâi ¦u

Trong vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa ma trªn, công nh÷ vi»c trongt½nh to¡n c¡c h m ma trªn, vi»c l m to¡n trüc ti¸p r§t khâ kh«n V¼ vªy,vi»c nghi¶n cùu º ÷a c¡c ma trªn v· d¤ng ch½nh t­c trð n¶n r§t quantrång Vi»c n y t÷ìng ÷ìng vîi vi»c nghi¶n cùu t¼m ra d¤ng ìn gi£nnh§t cõa ma trªn (d¤ng Jordan) ngh¾a l  t¼m ra mët ma trªn ìn gi£nnh§t çng d¤ng vîi nâ Vi»c n y thüc hi»n qua vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nhch§t v· gi¡ trà ri¶ng, khæng gian ri¶ng

èi vîi nhâm c¡c ma trªn thüc, ta ¢ t¼m ÷ñc mët sè k¸t qu£ °c bi»tcho ma trªn trüc giao, ma trªn èi xùng Vªy th¼ nhúng k¸t qu£ n y câthº mð rëng èi vîi c¡c ma trªn phùc hay khæng

Khâa luªn " " vîi nëi dung ch½nh chia l m hai ch÷ìng t¼m hiºu c§utróc v· khæng gian ri¶ng, gi¡ trà ri¶ng cõa mët sè lîp c¡c ma trªn phùc

°c bi»t Cö thº

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà tr¼nh b y c¡c v§n · cì b£n v·gi¡ trà ri¶ng, a thùc °c tr÷ng cõa mët çng c§u, ma trªn lôy linh v  matrªn d¤ng chu©n t­c Jordan

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· phê v  mët sè t½nh ch§t cõa mët

sè ma trªn ma trªn °c bi»t nh÷: ma trªn H- tü li¶n hñp, ma trªn Unita Trong suèt qu¡ tr¼nh l m khâa luªn tèt nghi»p n y, tæi xin ch¥n th nhc£m ìn ThS Nguy¹n V«n Ninh ¢ quan t¥m, ành h÷îng v  ÷a ra nhi·u

þ ki¸n âng gâp bê ½ch º tæi câ thº ho n thi»n nëi dung khâa luªn Tæicông xin c£m ìn c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m-

¤i håc Th¡i Nguy¶n còng gia ¼nh v  b¤n b± ¢ t¤o i·u ki»n, gióp ïtæi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p n y

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn

Th¡i Nguy¶n, ng y 20 th¡ng 4 n«m 2017

Sinh vi¶nTr¦n Thà Hçng Nhung

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ta luæn gi£ sû V l  K− khæng gian vectì húu h¤n chi·u v  f ∈ End(V )

1.1 D¤ng chu©n t­c Jordan

ành ngh¾a 1.1.1 Cho U l  mët khæng gian vectì con cõa V U ÷ñc gåi

l  khæng gian vectì con b§t bi¸n èi vîi f (hay f− b§t bi¸n) n¸u f(U) ⊂ U

i·u ki»n f(U) ⊂ U t÷ìng ÷ìng ∀ε ∈ U → f(ε) ∈ U Tø ành ngh¾a

3 N¸u tçn t¤i mët khæng gian con b§t bi¸n W kh¡c cõa V thäa m¢n

V = U ⊕ W v  ta chån {εm+1, , εn} l  cì sð cõa W th¼ ma trªn cõa

- Mët tü çng c§u f ∈ End(V ) gåi l  mët nghi»m cõa a thùc P (X) n¸u

p(f ) = amfm + + a1f + a0IdV = 0(0 l  tü çng c§u khæng.)

Vîi λ ∈ K, x²t Ker(f − λIdV) Khi nâ kh¡c ~0 th¼ â l  khæng gianvectì con cõa V gçm vectì ~0 v  t§t c£ c¡c vectì ri¶ng cõa f ùng vîi gi¡trà ri¶ng λ Khæng gian n y gåi l  khæng gian ri¶ng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ

v  ÷ñc k½ hi»u l  Pλ Vªy

Pλ = Ker(f − λIdV)

ành ngh¾a 1.1.5 Gi£ sû f l  mët tü çng c§u cõa K− khæng gian vectì

V húu h¤n chi·u Vîi méi λ ∈ K, x²t tªp {−→α ∈ V | câ sè nguy¶n d÷ìng m º(f − λIdV)m(−→α ) = 0} l  mët khæng gian vectì con cõa V Khi nâ kh¡c ~0th¼ gåi nâ l  khæng gian ri¶ng suy rëng cõa f ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ v  k½hi»u l  Rλ

M»nh · 1.1.1 Cho Rλ l  khæng gian ri¶ng suy rëng cõa f ùng vîi gi¡trà ri¶ng λ, ta câ nhúng m»nh · sau:

1 Rλ l  khæng gian con b§t bi¸n èi vîi f

2 Tü çng c§u f|R λ : Rλ → Rλ ch¿ câ gi¡ trà ri¶ng l  λ

3 Sè chi·u ¤i sè cõa λ b¬ng bëi cõa nghi»m λ cõa a thùc °c tr÷ng

Pf(x)

4 N¸u −→αk ∈ Rλk \ {−→0 }, k = 1, 2, , m m  λ1, λ2, , λm æi mët ph¥nbi»t th¼ h» vectì {−→α1, −→α

m} cõa khæng gian vectì con U cõa V ÷ñc gåi

l  xyclic èi vîi f n¸u f(εi) = εi+1(i = 1, , m − 1) v  f(εm) = −→

Tr÷îc khi chùng minh ành lþ ta c¦n mët sè k¸t qu£ sau °t Vi =Kerfi, i ≥ 0 (f0 = IdV) Ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc Vi ⊆ Vi+1 v 

k1[−→α(q−1)

1 ] + + krq[−→α(q−1)

r q ] = [−→

0 ]

0 ] trong Vq/Vq−1 Suy ra kj = 0 vîi måi j = 1, , rq.

Tø hai kh¯ng ành tr¶n ta câ rq ≤ rq−1 Bê sung −→α(q−1)r

q +1 , , −→α(q−1)

r q−1 th nhh» {−→α(q−1)1 , , −→α(q−1)

sao cho h» c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa c¡c vectì ð dáng thù i (tø d÷îi l¶n)

l  cì sð cõa Vi/Vi−1 Hìn núa, f(−→αji) = −→αj−1

i D¹ th§y h» gçm t§t c£ c¡cvectì tr¶n ëc lªp tuy¸n t½nh v  l  mët cì sð cõa V

°t Ui l  khæng gian con cõa V sinh bði c¡c vectì ð cët thù i D¹ th§y

Ui l  c¡c khæng gian con xyclic èi vîi f V  V = U1 ⊕ ⊕ Ur1

Tø chùng minh cõa ành lþ ta th§y

1 N¸u f ∈ End(V ) v  f lôy linh th¼ câ nhi·u c¡ch ph¥n t½ch V th nh

têng trüc ti¸p cõa c¡c khæng gian vectì con xyclic èi vîi f Tuy nhi¶n

vîi méi sè nguy¶n s ≥ 1 th¼ sè khæng gian vectì xyclic s chi·u èi vîi

f ·u b¬ng nhau v  cö thº l  b¬ng

h¤ngfs−1 − 2h¤ngfs+ h¤ngfs+1

2 N¸u f l  tü çng c§u lôy linh cõa f th¼ V ph¥n t½ch ÷ñc th nh têng

trüc ti¸p cõa c¡c khæng gian con xyclic èi vîi f v  trong méi khæng

gian vectì con xyclic â chån cì sð xyclic th¼ ma trªn cõa f s³ câ

d¤ng sau (gåi l  ma trªn d¤ng chu©n t­c cõa tü çng c§u lôy linh)

Gi£ sû λ l  mët gi¡ trà ri¶ng cõa f Khi â (f − λIdV)|Rλ l  mët tü

çng c§u lôy linh v  do â tçn t¤i mët cì sð cõa Rλ sao cho ma trªn cõa(f −λIdV)|Rλ èi vîi cì sð â câ d¤ng nh÷ (1.1.1) V¼ f = (f −λIdV)+λIdVn¶n ta câ, trong cì sð tr¶n th¼ f|R λ câ ma trªn d¤ng

c§u trong khæng gian vec húu h¤n chi·u ành lþ suy ra trüc ti¸p tø c¡ct½nh ch§t tr¶n.

ành lþ 1.1.2 f l  mët tü çng c§u cõa khæng gian vectì húu h¤n chi·u

V tr¶n tr÷íng K m  a thùc °c tr÷ng Pf(X) ph¥n t½ch ÷ñc th nh c¡cnh¥n tû tuy¸n t½nh

trong â méi Aλ i l  ma trªn vuæng c§p si câ d¤ng nh÷ (1.1.2) n¬m dåc

÷íng ch²o ch½nh Sè khung Jordan c§p s vîi ph¦n tû ch²o (gi¡ trà ri¶ng)

λk b¬ng h¤ng(f − λkIdV)s−1 − 2h¤ng(f − λkIdV)s + h¤ng(f − λkIdV)s+1,n¶n ma trªn â x¡c ành duy nh§t bði f sai kh¡c c¡ch s­p x¸p c¡c khungJordan dåc ÷íng ch²o ch½nh v  gåi l  ma trªn d¤ng chu©n t­c Jordan cõa

f

Chuyºn sang k¸t qu£ cho ma trªn ta ÷ñc

H» qu£ 1.1.1 A l  mët ma trªn vuæng c§p n tr÷íng K m  a thùc °ctr÷ng PA(x) ph¥n t½ch ÷ñc th nh c¡c nh¥n tû tuy¸n t½nh

1 hkx1+lx2, yi = khx1, yi+lhx2, yivîi måi x1, x2, y ∈ Cn v  måi k, l ∈ C,

2 hx, yi = hy, xi vîi måi x, y ∈ Cn,

trong â yj l  sè phùc li¶n hñp cõa yj

ành ngh¾a 1.2.2 Mët ¡nh x¤ [.,.] tø Cn×Cn v o C ÷ñc gåi l  t½ch væh÷îng khæng x¡c ành tr¶n Cn n¸u nâ thäa m¢n:

1 Tuy¸n t½nh vîi th nh ph¦n thù nh§t, tùc l : [αx1+ βx2, y] = α[x1, y] +β[x2, y] vîi måi x1, x2, y ∈Cn v  måi sè phùc α, β

2 Ph£n èi xùng, tùc l : [x, y] = [y, x] vîi måi x, y ∈ Cn

3 Khæng suy bi¸n: n¸u [x, y] = 0 vîi måi y ∈ Cn th¼ x = 0

M»nh · 1.2.1 [., ] l  t½ch væ h÷îng khæng x¡c ành n¸u v  ch¿ n¸u tçnt¤i ma trªn Hecmit H khæng suy bi¸n thäa m¢n [x, y] = (Hx, y) H ÷ñcgåi l  ma trªn li¶n k¸t cõa [., ]

Chùng minh i·u ki»n c¦n: Tr¶n Cn l§y cì sð ch½nh t­c ε = {ε1, , εn}.

i=1xiyn+1−i Rã r ng [x,y] l  mët t½ch væh÷îng khæng x¡c ành v  ma trªn kh£ nghàch Hecmit t÷ìng ùng l :

D¹ th§y, M[⊥] l  khæng gian con cõa Cn.

M»nh · 1.2.2 Cho [x, y] = (Hx, y), trong â x, y ∈Cn v  H l  ma trªnc§p n cho bði (1.2.4) N¸u M ÷ñc sinh bði vectì ìn và −→e1 th¼ M[⊥] ÷ñcsinh bði {e1, e2, , en−1} v  khæng l  ph¦n bò trüc ti¸p cõa M trong Cn.Sau ¥y, ta s³ x²t ¸n tæpæ tr¶n tªp c¡c ma trªn

Ta xem tªp c¡c ma trªn vuæng c§p n Mat(n,C) nh÷ mët khæng gianvectì tr¶n C vîi sè chi·u n2 Chóng ta s³ ành ngh¾a mët t½ch væ h÷îngtr¶n Mat(n,C) nh÷ sau:

< A, B >= tr(ABt)

ành ngh¾a 1.2.4 Cho A ∈ Mat(n,C) Chu©n cõa A, k½ hi»u l  ||A||

÷ñc x¡c ành bði: ||A|| =qtr(A, At)

¥y l  chu©n sinh bði t½ch væ h÷îng tr¶n Mat(n,C) Chóng ta ànhngh¾a mët metric ρ tr¶n Mat(n,C) nh÷ sau:

ρ(A, B) = ||A − B||

Tæpæ sinh bði metric ρ l  tæpæ tü nhi¶n

ành ngh¾a 1.2.5 Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  li¶n thæng ÷íng n¸uvîi hai iºm x, y b§t ký ·u tçn t¤i mët ¡nh x¤ li¶n töc f : [0, 1] → X saocho f(0) = x v  f(1) = y

Ch֓ng 2

Mët sè d¤ng ma trªn °c bi»t

Trong ch÷ìng n y ta s³ çng nh§t mët ma trªn vuæng c§p n phùc A vîi

tü çng c§u ma trªn v¨n k½ hi»u l  A :Cn → Cn Ta công k½ hi»u A∗ = At

2.1 Ma trªn H- tü li¶n hñp

Cho [.,.] l  t½ch væ h÷îng khæng x¡c ành tr¶n Cn, ta gåi t­t l  t½ch væh÷îng v  H l  ma trªn Hecmit li¶n k¸t t÷ìng ùng

ành lþ 2.1.1 Vîi méi ma trªn vuæng A, tçn t¤i duy nh§t ma trªn k½hi»u l  A[∗] sao cho: [Ax, y] = 

x, A[∗]y.Chùng minh Ta °t:

x, A[∗]yi = xtAtHty = (HAx)ty = (HAx, y) = [Ax, y]

V¼ H l  ma trªn Hecmit khæng suy bi¸n n¶n ma trªn A[∗] t¼m ÷ñc l duy nh§t

Tø vi»c chùng minh ành lþ tr¶n ta thu ÷ñc ành ngh¾a v· ma trªn H−

tü li¶n hñp

ành ngh¾a 2.1.1 Cho A l  ma trªn vuæng c§p n Mët ma trªn c§p n

÷ñc gåi l  H − li¶n hñp cõa A, k½ hi»u l  A[∗], n¸u thäa m¢n:

M°t kh¡c, ta câ: dim M + dim M[⊥] = n N¶n tø (2.1.1) suy ra:

dim(Im A[∗]) = dim(Im A∗) = n − dim(Ker A) = dim(Ker A)[⊥].VªyIm A[∗] = (Ker A)[⊥] ¯ng thùc thù hai chùng minh t÷ìng tü

ành ngh¾a 2.1.2 Mët tªp con M ⊆ Cn ÷ñc gåi l  b§t bi¸n èi vîi matrªn A (coi A nh÷ l  mët ph²p bi¸n êi tuy¸n t½nh tø Cn v o Cn), hay A−b§t bi¸n, n¸u x ∈ M k²o theo Ax ∈ M

M»nh · 2.1.2 Cho A : Cn →Cn v  [.,.] l  t½ch væ h÷îng trong Cn Khi

â, khæng gian con M l  A− b§t bi¸n n¸u v  ch¿ n¸u ph¦n bò trüc giao

M[⊥] l  A[∗]− b§t bi¸n

Chùng minh L§y M l  A− b§t bi¸n v  x ∈ M, y ∈ M[⊥] Khi â:

[A[∗]y, x] = [y, Ax] = 0,

tø â Ax thuëc M Vªy A[∗]y ∈ M[⊥] v  M[⊥] l  A[∗]− b§t bi¸n

º chùng minh i·u ng÷ñc l¤i, ta ¡p döng chùng minh tr¶n cho A[∗] v (A[∗])[∗] = A còng vîi t½nh ch§t (M[⊥])[⊥] = M

ành ngh¾a 2.1.3 Cho A l  ma trªn vuæng c§p n Khi â, A ÷ñc gåi l mët ma trªn H− tü li¶n hñp (hay tü li¶n hñp vîi [.,.]) n¸u A = A[∗].M»nh · 2.1.3 Cho H1, H2 x¡c ành c¡c t½ch væ h÷îng trong Cn v 

H2 = SH1S∗ vîi S l  ma trªn kh£ nghàch c§p n Khi â A1 l  H1- tü li¶nhñp n¸u v  ch¿ n¸u ma trªn A2 := (S∗)−1A1S∗ l  H2- tü li¶n hñp

Chùng minh Ta chùng minh i·u ki»n c¦n cõa m»nh · Chùng minhm»nh · £o l  t÷ìng tü

Gi£ sû r¬ng A1 l  H1− tü li¶n hñp, tø (2.1.1), ta câ: H1A1 = A∗1H1 Khi

â

H2A2 = (SH1S∗)((S∗)−1A1S∗)

= SH1A1S∗ = SA∗1H1S∗

= (SA∗1S−1)(SH1S∗) = A∗2H2.suy ra A2 l  H2− tü li¶n hñp

Cho [.,.]=(H.,.) l  mët t½ch væ h÷îng trong Cn Ta ¢ bi¸t, mët ma trªn

A ÷ñc gåi l  H− tü li¶n hñp n¸u A = A[∗] hay nâi c¡ch kh¡c:

Do â, b§t k¼ ma trªn H− tü li¶n hñp A n o công ·u çng d¤ng vîi A∗

Chó þ r¬ng tªp t§t c£ c¡c d¤ng ma trªn H− tü li¶n hñp l  khæng giantuy¸n t½nh thüc, ngh¾a l  n¸u A v  B l  H− tü li¶n hñp th¼ αA + βB l H− tü li¶n hñp vîi α, β l  c¡c sè thüc b§t k¼.

Trong tr÷íng hñp H2 = I th¼ d¹ d ng nhªn th§y A l  H− tü li¶n hñpn¸u v  ch¿ n¸u A∗ l  H− tü li¶n hñp Tø â, ta câ chó þ: n¸u H2 = I v 

H l  Hecmit th¼ A l  H− tü li¶n hñp n¸u v  ch¿ n¸u çng thíi

Sau ¥y l  v½ dö cì b£n v· H− tü li¶n hñp

V½ dö 2.1.1 Cho [x, y] = (Snx, y), x, y ∈ Cn, trong â Sn l  ma trªn

÷ñc cho trong möc (1.2.4) v   nhªn gi¡ trà l  1 ho°c -1 Ngo i ra, cho:

V½ dö 2.1.2 Cho [x, y] = (Qx, y), x, y ∈ C2n trong â:

Sau ¥y, chóng ta s³ · cªp ¸n mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ma trªnH− tü li¶n hñp

M»nh · 2.1.4 Cho A l  ma trªn H− tü li¶n hñp Khi â, tªp phê σ(A)gçm t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A èi xùng qua tröc thüc, tùc l  λ0 ∈ σ(A)k²o theo λ0 ∈ σ(A) Hìn núa, èi vîi d¤ng chu©n t­c Jordan, c§p cõakhung Jordan vîi gi¡ trà ri¶ng λ0 b¬ng c§p cõa khung Jordan vîi gi¡ tràri¶ng λ0.

Chùng minh p döng (2.1.5), ta câ:

λI − A = H−1(λI − A)∗H

N¶n λI − A l  suy bi¸n khi v  ch¿ khi λI − A l  suy bi¸n, tùc l : λ0 ∈ σ(A)k²o theo λ0 ∈ σ(A) Ngo i ra, l§y J l  d¤ng Jordan cõa A vîi ma trªn Tsao cho: A = T−1J T

Chó þ r¬ng J∗ çng d¤ng vîi J v  ta luæn câ: J∗ = K−1J K vîi K l 

ma trªn kh£ nghàch Tø â suy ra:

λI − A = T−1(λI − J )T = H−1{T−1(λI − J )T }∗H

Vªy n¶n:

λI − J = (T H−1T∗)(λI − J∗)((T∗)−1HT−1) = S(λI − J )S−1,

trong â S = T H−1T∗K−1 Do â, J v  J çng d¤ng v  J câ thº thu ÷ñc

tø J b¬ng c¡ch ho¡n và mët v i khung Jordan cõa nâ

L÷u þ r¬ng, gi¡ trà ri¶ng khæng thüc cõa H− tü li¶n hñp ch¿ xu§t hi»ntrong c°p ma trªn li¶n hñp

ành lþ 2.1.2 Cho A l  mët ma trªn H− tü li¶n hñp v  λ, µ ∈ σ(A) vîi

λ 6= µ Khi â:

Rλ(A) ⊆ (Rµ(A))[⊥],tùc l  khæng gian ri¶ng suy rëng Rλ(A) v  Rµ(A) l  trüc giao èi vîi[., ] = (H., )

Chùng minh L§y x ∈ Rλ(A) v  y ∈ Rµ(A) sao cho (A − λI)sx = 0 v (A − µI)ty = 0 vîi sè nguy¶n d÷ìng s, t Chóng ta chùng minh r¬ng:

Ti¸p töc chùng minh vîi s + t èi vîi s = t = 1 ta câ = λx, Ay = µy.Khi â,

λ[x, y] =[Ax, y] = [x, Ay] = [x, µy] = µ[x, y] (2.1.8)

v  vîi λ 6= µ, ta thu ÷ñc (2.1.7) Gi£ sû r¬ng (2.1.7) ÷ñc chùng minhvîi måi x0

2.2 Ma trªn H− unita

ành ngh¾a 2.2.1 Cho A l  mët ma trªn vuæng c§p n Khi â, A ÷ñcgåi l  H− unita n¸u A kh£ nghàch v  A−1 = A[∗] Hay nâi c¡ch kh¡c, A l H− unita n¸u v  ch¿ n¸u [Ax, y] = [x, A−1y] vîi måi x, y ∈ Cn ho°c:

°c bi»t, A çng d¤ng vîi (A∗)−1 i·u ng÷ñc l¤i công óng: n¸u A

çng d¤ng vîi (A∗)−1, th¼ ta câ thº chån mët ma trªn Hecmit

Chó þ r¬ng vîi méi H cè ành, tªp t§t c£ c¡c H− unita lªp th nh nhâm,tùc l  n¸u A, B l  H− unita th¼ A−1, B−1 v  AB công l  H− unita

V½ dö 2.2.1 L§y [x, y] = (Snx, y), x, y ∈ Cn, trong â  b¬ng 1 ho°c -1.Gi£ sû r¬ng λ ∈ C v  |λ| = 1 v 

Vîi λ ∈ C kh¡c khæng sao cho |λ| 6= 1 °t:

Têng qu¡t hìn, n¸u K1 l  mët ma trªn tam gi¡c tr¶n Toeplitz, tùc l 

K1 çng d¤ng vîi mët khung Jordan câ gi¡ trà ri¶ng kh¡c khæng, v  n¸u

A∗1H1 Do â:

H2A−12 = (SH1S∗)((S∗)−1A−11 S∗)

= SH1A−11 S∗ = SA∗1H1S∗

= (SA∗1S−1)(SH1S∗) = A∗2H2.Vªy A2 l  H2− unita

M»nh · sau s³ cho ta t½nh ch§t cì b£n cõa mët ma trªn H− unita.M»nh · 2.2.2 Cho A l  mët ma trªn H− unita Khi â, σ(A) èi xùngqua ÷íng trán ìn và, tùc l : λ0 ∈ σ(A) k²o theo λ−1

0 ∈ σ(A) Hìn núa,trong d¤ng chu©n t­c Jordan cõa A, c§p cõa khung Jordan vîi gi¡ trà ri¶ng

λ0 v  c§p cõa khung Jordan vîi gi¡ trà ri¶ng λ−1

N¸u w /∈ σ(A) th¼ h m f ÷ñc x¡c ành trong σ(A) v  n¸u A l  H- tü li¶nhñp th¼ ta câ k¸t qu£ U = f(A) l  H− unita

M»nh · 2.2.3 L§y A l  ma trªn H-tü li¶n hñp L§y w l  mët sè thu¦n

£o vîi w /∈ σ(A) v  α l  sè phùc câ mæun ìn và Khi â,

l  H- unita v  α /∈ σ(U)

Ng÷ñc l¤i, n¸u U l  H- unita, |α| = 1 v  α /∈ σ(U), th¼ khi â vîi b§tk¼ w 6= w th¼ ma trªn:

l  H- tü li¶n hñp v  w /∈ σ(A) Hìn núa, hai cæng thùc (2.2.12) v  (2.2.13)

l  ng÷ñc nhau

Chùng minh N¸u A- l  H- tü li¶n hñp v  |α| = 1 th¼ d¹ d ng th§y ÷ñc:

(A∗ − wI)H(A − wI) = (αA∗ − αwI)H(αA − αwI)

Nh¥n th¶m v o b¶n tr¡i v  b¶n ph£i cõa c£ hai v¸ t÷ìng ùng vîi (A∗−wI)−1

v  (αA − αwI)−1 Ta nhªn th§y r¬ng: HU−1 = U∗H trong â U ÷ñc ànhngh¾a nh÷ trong (2.2.12), tùc l  U l  H-unita Hìn núa, tø (2.2.12), ta câ:

Do â, theo gi£ thi¸t w l  sè thu¦n £o suy ra U − αI l  kh£ nghàch v 

α /∈ σ(U )

Tø (2.2.14), suy ra:

A = wI + α(w − w)(U − αI)−1

= [w(U − αI) + α(w − w)I](U − αI)−1

= (wU − wαI)(U − αI)−1n¶n (2.2.13) v  (2.2.12) l  nghàch £o cõa nhau

Gi£ sû r¬ng U l  H− unita, A l  H− tü li¶n hñp Khi â, khæng gianri¶ng suy rëng cõa U t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ0 ∈ σ(U ) công l  khænggian ri¶ng suy rëng cõa A t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng cõa nâ

Chùng minh L§y ˜g l  a thùc câ t½nh ch§t: g(λ0) = ˜g(λ0) vîi λ0 ∈ σ(S).D¹ d ng nhªn th§y: g(S) = ˜g(S) Gi£ sû: Pp

vîi s = 0, 1, , n¶n theo ành ngh¾a v· khæng gian con suy rëng, ta câ

Rλ0(S) ⊆ Rg(λ0)(T ) Tuy nhi¶n, thay th¸ t÷ìng ùng S, T b¬ng T , g(λ0),

ta câ bao h m thùc:

Rg(λ0)(T ) ⊆ Rf (g(λ0))(f (T )) = Rλ0(S),n¶n (2.2.17) ÷ñc chùng minh

H» qu£ 2.2.1 Khæng gian ri¶ng suy rëng Rλ(U ) v  Rµ(U ) cõa mët matrªn H− unita U l  H− trüc giao vîi λ 6= µ−1

Sau ¥y, chóng ta s³ x²t ¸n °c tr÷ng thù hai cõa ma trªn H− unita

Bê · 2.2.2 N¸u U∗AU = A, detA 6= 0, th¼ câ mët ma trªn H, vîi

H∗ = H v  detH 6= 0 sao cho U∗HU = H

Chùng minh Gi£ sû H = zA + zA∗ vîi z thäa m¢n |z| = 1 Khi â,

U∗HU = U∗(zA + zA∗)U = zA + zA∗ = H

v  H∗ = H º kiºm tra r¬ng detH 6= 0, ta chó þ:

H = zA + zA∗ = zA(z−1zI + A−1A∗)

v  ta ch¿ ph£i chån z (vîi |z| = 1) n¶n −z−1z = −z2 ∈ σ(A/ −1A∗)

ành lþ 2.2.1 Mët ma trªn U l  H− unita (vîi H thäa m¢n: H∗ = H,detH 6= 0) n¸u v  ch¿ n¸u U = A−1A∗ vîi A l  ma trªn khæng suy bi¸n