Hệ động lực sinh bởi nửa nhóm tuyến tính

Phùng ĐứcThắng khóa luận chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Hệ độnglực sinh bởi nửa nhóm tuyến tính"được hoàn thành là kết quảnghiên cứu của bản thân tôi, không trùng với bất kì đề

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới Ths Phùng Đức Thắng, Thầy đã dành nhiều thời gian, chỉbảo, giúp đỡ tôi tận tình trong suốt quá trình làm khóa luận.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trongKhoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện vềmọi mặt để tôi hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớigia đình, người thân, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điềukiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóaluận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Tác giảChu Thị Thảo

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của Ths Phùng ĐứcThắng khóa luận chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Hệ độnglực sinh bởi nửa nhóm tuyến tính"được hoàn thành là kết quảnghiên cứu của bản thân tôi, không trùng với bất kì đề tài nào khác.Trong khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng và tham khảo cácthành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viênChu Thị Thảo

LỜI MỞ ĐẦU v

1.1 Không gian Banach, toán tử tuyến tính 1

1.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính định chuẩn 1 1.1.2 Định nghĩa không gian Banach 4

1.1.3 Toán tử tuyến tính 5

1.2 Không gian L(X, Y ) 5

1.3 Nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Toán tử sinh của nửa nhóm tuyến tính 7

1.3.3 Các tính chất 8

1.4 Hệ động lực sinh bởi nửa nhóm tuyến tính 10

1.4.1 Định ngĩa 10

1.4.2 Ví dụ 11

2 MỘT VÀI ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SINH BỞI NỬA NHÓM TUYẾN TÍNH 14 2.1 Quỹ đạo và tập bất biến 14

2.2 Tập ω - giới hạn và tập α - giới hạn 162.3 Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính 172.4 Toán tử sinh của hệ động lực tuyến tính 182.5 Hệ động lực tiêu hao và tính compact tiệm cận 222.6 Tập hút toàn cục của hệ động lực tuyến tính 26

1 Lý do chọn đề tài

Trong các bài toán về phương trình đạo hàm riêng, phương trình

vi phân với các điều kiện ban đầu Khi nghiên cứu tính đặt đúngcủa bài toán đặc trưng, ta sẽ xây dựng được một nửa nhóm tuyếntính liên tục (C0 – nửa nhóm) và một hệ động lực phụ thuộc vàomỗi bài toán

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập tới các vấn đề kỹ thuật,vật lý, sinh học thường được mô tả bởi các hệ động lực

Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu lý thuyết về các hệ động lực

và thu được kết quả sâu sắc ở các phương trình đạo hàm riêng,phương trình vi phân nhưng kết quả vẫn còn rất ít Những phươngtrình như vậy được xuất hiện nhiều trong bài toán thực tiễn và mớiđược nghiên cứu trong những năm trở lại đây

Với mong muốn được tìm hiểu rõ lý thuyết C0 - nửa nhóm, lýthuyết hệ động lực Được sự hướng dẫn của thầy Phùng ĐứcThắng, em chọn đề tài "Hệ động lực sinh bởi nửa nhómtuyến tính" để làm khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạmToán học

Khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1 Trình bày những kiến thức chuẩn bị có liên quan tới

hệ động lực tuyến tính như không gian Banach,toán tử tuyến tính,không gian L(X, Y ), nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh, định nghĩa

và ví dụ về hệ động lực

Chương 2 Trình bày các đặc trưng của hệ động lực tuyến tínhbao gồm quỹ đạo và tập bất biến, tập ω - giới hạn và tập α – giớihạn, tính ổn định của hệ động lực, hệ động lực tiêu hao, toán tửsinh của hệ động lực, tập hút toàn cục

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết cơ bản về hệ động lực sinh bởi nửa nhómtuyến tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

C0 – nửa nhóm, lý thuyết hệ động lực sinh bởi nửa nhóm tuyếntính Phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm, hệ động lựcthuyến tính

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp kiến thức

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach, toán tử tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính định chuẩn

a Không gian tuyến tính

Cho X là một tập tùy ý, K là một trường số (C, R)

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính là một tập X trên đó xácđịnh hai phép toán cộng hai phần tử của X và phép nhân các phần

tử của X với một số thuộc trường K

Hai phép toán đó được xác định như sau:

1 Phép cộng: Đó là ánh xạ

ϕ : X × X → Xϕ(x, y) = x + ythỏa mãn các tiên đề sau:

i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X;

ii) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X;

iii) Tồn tại phần tử 0 ∈ X thỏa mãn:

i) α(βx) = β(αx) = (αβx) với mọi x ∈ X, α, β ∈ K;

ii) Tồn tại phần tử 1 ∈ K thỏa mãn 1.x = x với mọi x ∈ X;iii) (α + β)x = αx + βx với mọi x ∈ X, α, β ∈ K;

iv) α(x + y) = αx + αy với mọi x ∈ X, α ∈ K;

+) K = R thì không gian tuyến tính X được gọi là không giantuyến tính thực

+) K = C thì không gian tuyến tính X được gọi là không giantuyến tính phức

Ví dụ 1.1

1 R là không gian tuyến tính thực

2 C là không gian tuyến tính phức

3 Kn = {(x1, x2, , xn); xi ∈ K, i = 1, , k} - không gian tuyếntính.

b Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính địnhchuẩn)

Định nghĩa 1.2 Cho X là không gian tuyến tính Một ánh xạ ϕ :

X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu ϕ thỏa mãn các tiên đềsau:

Định nghĩa 1.4 Dãy {xn}∞n=1 ⊂ X, với X là không gian tuyến tínhđịnh chuẩn được gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu với mọi ε > 0cho trước tồn tại n0(phụ thuộc ε) sao cho với mọi n, m > n0 ta có:

kxn − xmk < ε

Định nghĩa 1.5 Không gian X được gọi là đủ khi và chỉ khi mọidãy cơ bản đều hội tụ.

1.1.2 Định nghĩa không gian Banach

Định nghĩa 1.6 Không gian định chuẩn X là không gian đủ thì

X được gọi là không gian Banach hay Banach không gian

Ta thấy trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãyCauchy

Vậy Kn là không gian Banach

3 C[a,b] với kxk = max

a≤x≤b|x(t)| là không gian Banach và d(x, y) =max

a≤x≤b|x(t) − y(t)| là khoảng cách đã biết

1.1.3 Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.7 Cho các không gian tuyến tính X và Y trên trường

K (K = R hoặc K = C) Ánh xạ từ không gian X vào không Y gọi

là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

1) (∀x0, x” ∈ X)A(x0 + x”) = Ax0 + Ax00;

2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K)Aαx = αAx

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính

i) Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộngtính;

ii) Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuầnnhất;

iii) Khi Y = K thì toán tử tuyến tính thường gọi là phiếm hàmtuyến tính

1.2 Không gian L(X, Y )

Định nghĩa 1.8 Không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu L(X, Y )

là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Xvào không gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

1 Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, ký hiệu A + BXác định bằng hệ thức:

(A + B)x = Ax + Bx, ∀x ∈ X

2 Tích của vô hướng α ∈ K (K = R hoặc K = C) với toán tử

A ∈ (X, Y ) là toán tử, ký hiệu là αA, xác định bằng hệ thức

hệ thức (1.1) ta được

kAnx − Axk ≤ εkxk, ∀n ≥ n0, ∀x ∈ X (1.3)Hay k(An − A)xk ≤ εkxk, ∀x ∈ X

⇒ kAn − Ak ≤ ε, ∀n ≥ n0

Từ đó suy ra A = An1 − (An1 − A) ∈ L(X, Y ) với n1 > n0 và

kAn − Ak → 0 khi n → ∞

Vì vậy dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong khônggian L(X, Y )

Vậy L(X, Y ) là không gian Banach

1.3 Nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh

1.3.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian Banach thực

Họ ánh xạ {S(t), t ≥ 0} gọi là nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh(hoặc đơn giản là C0) – nửa nhóm) nếu S(t) ∈ X và

1.3.2 Toán tử sinh của nửa nhóm tuyến tính

Định nghĩa 1.9 Ta gọi toán tử sinh của một nửa nhóm {S(t)}, t ≥

0 là một toán tử tuyến tính A: D(A) ⊂ X → X định nghĩa bởi

5 A là một toán tử đóng và D(A) là trù mật trong X.

Nếu kS(t)kL(X) ≤ 1, ∀t (tức là (*) thỏa mãn với M = 1và ω = 0)thì ta nói rằng {S(t)}, t ≥ 0, là một nửa nhóm (tuyến tính) co.Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng Ta gọi giải thức của A làtập hợp

ρ(A) = {λ ∈ C|(λI − A)−1 ∈ L(X)}

.và R(λ, A) = (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A),Gọi là toán tử giải của A

Tập hợp σ(A) = C\ρ(A), gọi là phổ của A

Định lý 1.3 (Hille - Yosida) Giả sử : D(A) → X là một toán tửtuyến tính đóng với miền xác định D(A) trù mật Khi đó các khẳngđịnh sau là tương đương:

a) A là toán tử sinh cả một C0 - nửa nhóm {S(t)}, t ≥ 0, thỏa mãn

và sinh ra một nhóm unitar

1.4 Hệ động lực sinh bởi nửa nhóm tuyến tính

1.4.1 Định ngĩa

Định nghĩa 1.10 Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một khônggian metric đủ và một nửa nhóm từ {S(t)}, t ≥ 0, từ X vào X thỏamãn S(t) ∈ C0(X, X), với mọi t ≥ 0

Nửa nhóm {S(t)}, t ≥ 0, là một nửa nhóm liên tục trên X khi đó

X gọi Là không gian pha(hay không gian trạng thái)

Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian phaX(chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị dimXgọi là số chiều của hệ động lực

Định lý 1.5 cho S(t) là hệ động lực tuyến tính Khi đó

điều này trái với định nghĩa hệ động lực tuyến tính, vì hệ động lựctuyến tính có

lim

t→0S(t)x = x, ∀x ∈ X

Khi S(0) = I, K ≥ 1

Xét tập hợp ε = kS(t0)kL(X)

+ Nếu ε = 0 thì kS(tn)k = 0 với mọi t ≥ t0

+ Nếu ε > 0 với mọi t ≥ 0, đặt t = nt0 + τ, ∀n ∈ N và τ ∈ [0, t0]







x(t) = −f (x(t)), t > 0x(0) = x0

(1.4)

Theo định lý Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) thì

x(t) = −f (x(t)), ∀x0 ∈ R,bài toán (1.4) giải được một cách duy nhất

Ta xây dựng được một nửa nhóm {S(t)}t≥0 Đặt

S(t) : X → X = R

x 7→ S(t)x = x(t)x(t) là nghiệm của bài toán (1.4) tại thời điểm t và thỏa mãn:

S(t) ∈ C0(X, X), với ∀t ≥ 0

Từ đây xác định một hệ động lực một chiều trên R xác định bởiS(t)x0 = x(t) là nghiệm duy nhất của bài toán với điều kiện banđầu x0

Phương trình dạng (1.4) thường được sử dụng trong mô hình củacác quá trình sinh thái Chẳng hạn, khi f (x) = αx(x − 1), α > 0

ta có phương trình logistic mô tả sự tăng trưởng của dân số với sựcạnh tranh (giá trị x(t) là mức dân số, và khi đó chúng ta sẽ lấy R+

là không gian pha)

Ví dụ 1.4 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω.Xét bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyềnnhiệt nửa tuyến tính:

(1.5)

Giả sử f thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi u0 ∈ L2(Ω), bàitoán (1.5) có duy nhất một nghiệm yếu toàn cục u(t) và ánh xạ

u0(t) 7→ u(t) là liên tục trong L2(Ω) với mỗi t ≥ 0

Đặt S(t)u0 = u(t), t ∈ R ta có họ ánh xạ {S(t)}t≥0

Ở đó u(t) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.5) với điều kiện banđầu u0

Ta có (L2(Ω), S(t)) thỏa mãn các điều kiện:

i) S(0)u0 = u(0)(t) = u(x, 0) = u0(x) = u0 ⇒ S(0) = I

ii) S(t+s)u0 = u(t+s) = u(t).u(s) = S(t)(S(s)u0) = S(t).S(s)u0;

⇒ S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ∈ R

iii) với mọi t ≥ 0, S(t)u0 = u(t) ∈ C0(u0, u(t));

iv) Với mọi u ∈ L2(Ω), t 7→ S(t)u ∈ C0((0, +∞), L2(Ω));

Khi đó (L2(Ω), S(t)) là một hệ động lực vô hạn chiều

MỘT VÀI ĐẶC TRƯNG CƠ

b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ u : I → Xthỏa mãn

u(t + s) = S(t)S(s),với mọi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I

a) Bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0;

b) Bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0;

c) Bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức làS(t)Y = Y với mọi t ≥ 0

Ví dụ 2.1 Nửa quỹ đạo dương γ+ là bất biến dương, nửa quỹ đạo

âm γ− là bất biến âm và quỹ đạo đầy đủ γ là bất biến

Bổ đề 2.1 Giả sử A là một tập con khác φ của X Khi đó

1 ω(A) = {y ∈ X|∃ tn ≥ 0, yn ∈ A} sao cho

Với {xn = u(zn)(−t) và u(zn) là quỹ đạo âm xuyên qua Zn}.

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp ω(A) còn trường hợpα(A) được chứng minh tương tự

Giả sử các dãy {Yn} và {tn} tồn tại Khi đó với mọi τ > 0, tồn tại

Định lý 2.1 Nếu kS(t0)kL(X) < 1 với t0 > 0 thì S(t) là theo hàm

mũ ổn định

Ví dụ 2.2 Xét hệ động lực tuyến tính của S(t) định nghĩa trênkhông gan Hilbert các dãy bình phương khả tổng:

S(t)x = (x1e−t, x2e−t/2, , xne−t/n, )cho x = (x1, x2, , xn, ) ∈ `2 Ta được

Định lý 2.2 Giả sử có hàm ψ : [0, ∞) → [0, ∞) với ϕ(t) → 0 khi

t → ∞ sao cho

kS(t)xk ≤ Cxψ(t)với mọi x ∈ X, trong đó Cx là hằng số tùy thuộc vào x Thì S(t) làhàm mũ ổn định

2.4 Toán tử sinh của hệ động lực tuyến tính

Định nghĩa 2.5 Toán tử tuyến tính A có miền xác định

t luôn tồn tại trongX.

Như vậy hệ động lực trên xác định một toán tử sinh

Ví dụ 2.4 Lặp lại ví dụ trên với X = L1((0, 1))

Ta thấy rằng nếu f1 → g trong X, thì g là đạo hàm yếu của f và

f (0) = 0 Ngược lại, nếu f là liên tục tuyệt đối và f (0) = 0, ta luôncó

Với f1 → −f0 trong X Thật vậy, mở rộng ngoài đoạn f [0, 1]

Với t ∈ (0, 1), xét các toán tử Tt, T : W1,1((−1, 2)) → X định nghĩanhư sau

T1g = g( − t) − g(.)

t |[0,1] và Tg = −g0|[0,1]

Rõ ràng là nếu g ∈ C1, thì T1g → T g trong X Hơn nữa bất đẳngthức sau vẫn đúng

kT1gkx 6 kg0kL1 ((−1,2)), ∀g ∈ W1,1((−1, 2))

Áp dụng nguyên lý trù mật, ta được điều phải chứng minh

Định lý 2.3 Với mỗi x cố định,x ∈ D(A), ta có ánh xạ

S(t)x ∈ D(A) và AS(t)x = S(t)Ax

Hơn nữa, tập hợp các giá trị của đạo hàm bên phải của t 7→ S(t)x

Lấy giới hạn khi h → 0, Áp dụng định lý (1.5) chúng ta thấy rằngđạo hàm bên trái tồn tại và bằng S(t)Ax Tính liên tục của đạo

Định lý 2.4 Toán tử sinh A là toán tử tuyến tính đóng với miềnxác định trù mật.

Chứng minh Cho x ∈ X, Kí hiệu:

τ

Z

0

[S(t + x)x − S(s)x] dsBằng tính chất nửa nhóm Do đó

S(t)xτ − xτ

1t

Giờ ta đi chứng minh D(A) là đóng

Để chứng minh D(A) là đóng, cho xn ∈ D(A) sao cho xn → x và

Giả sử n → ∞, chúng ta được:

S(t)x − x

1t

2.5 Hệ động lực tiêu hao và tính compact tiệm

cận

Định nghĩa 2.6 Hệ động lực (X < S(t)) gọi là tiêu hao điểm(tương ứng, tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ Xhút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X

Định nghĩa 2.7 Cho E, F là các tập con khác rỗng của khônggian Banach X Nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp E, F

ký hiệu là dist(E, F ) được tính bởi công thức:

t0(x0) ≥ 0 sao cho S(t)x0 ∈ B0 ⊂ B

Do đó ta có với mọi x0 ∈ B0 ⊂ B ⊂ X : S(t)x0 ∈ B0 ⊂ B

Suy ra S(t)B ⊂ B Theo định nghĩa B là tập bất biến dương

Vì hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao điểm nên với mọi z ∈

N (B0, ε) tồn tại t0 = t0(z) sao cho

nên B hiển nhiên là tập đóng và bị chặn

Lấy B là tập bị chặn bất kì trong X Chứng minh tương tự nhưtrên ta chỉ ra rằng có một phủ hữu hạn của B là các lân cận mở

Nghĩa là B hút các tập bị chặn bất kì của X.

Định nghĩa 2.8 Giả sử X là không gian Banach Hệ động lực(X, S(t)) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thểbiểu diễn dưới dạng:

là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của tập γ

Một hệ động lực được gọi là compact nếu nó là compact tiệmcận và ta có thể lấy S(1)(t) ≡ 0 trong biểu diễn (2.1)

Nhận xét

1 Bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact

2 Điều kiện (2.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact Ktrong X sao cho với tập bất kỳ bị chặn B ⊂ X tồn tại t0(B)sao cho S(2)(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0(B) Nói riêng, một hệ tiêu hao

là compact nếu nó có một tập hấp thu compact

Bổ đề 2.2 Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tạimột tập compact K sao cho

lim

t→+∞dist(S(t)B, K) = 0với mọi tập B bị chặn trong X

2.6 Tập hút toàn cục của hệ động lực tuyến tính

Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ độnglực tiêu hao vô hạn chiều

Định nghĩa 2.9 Một tập con khác rỗng A của X gọi là tập húttoàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu:

a) A là một tập đóng và bị chặn;

b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;

c) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là

a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A( tínhcực đại)

b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì

Chứng minh Giả sử B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ động lực(X, S(t)) Ta sẽ chứng minh A = ω(B) là một tập hút toàn cục

Ta có hệ động lực (X, S(t) là compact tiệm cận Khi đó với mọi tập

bị chặn B của X, tập ω - giới hạn, ω(B) là một tập compact bấtbiến khác rỗng

Theo định nghĩa của tập hấp thụ, ta chỉ cần chứng minh ω(B)hút tập hấp thụ B

Giả thiết phản chứng rằng ω(B) không hút B Khi đó