Các nghịch lý trong lý thuyết xác suất và tác động của chúng đến dạy và học

Enquête auprès des élèves• Enquête auprès de 35 élèves de la classe 12 mathématiques, lycée d’élite Tran Hung Dao Binh Thuan • 2 phase successives, 1 questionnaire par phase, question

Tran Luong Cong KhanhRectorat de Binh Thuan

• Analyse de manuel

• Notion de paradoxe

• Paradoxe des anniversaires

• Paradoxe des 3 pièces de monnaie

• Paradoxe de Bertrand

• Conclusion

Résumé de l’analyse

• Algèbre & analyse 11 avancé

• Probabilité: présentée dans le chapitre 2

(Combinatoire & Probabilité)

• Hasard/ aléatoire: n’est pas défini

• Épreuve aléatoire: expérience ou acte

 Dont on ne peut pas prévoir les résultats

 Dont on peut déterminer l’ensemble des

résultats possibles

Résumé de l’analyse

• Épreuve: épreuve aléatoire (sous-entendu)  l’aléatoire

est admis par défaut, sans être vérifié

• Définitions de la probabilité: classique & statistique 

absence de la définition géométrique

• Probabilité (d’un événement): quantification objective de

la possibilité d’apparition de cet événement (p 71)

• 2 règles du calcul probabiliste: addition, multiplication

• Type de tâches unique: calculer la probabilité  absence

du type de tâches d’interpréter la signification de la

probabilité (d’un événement particulier)

• Analyse de manuel

• Notion de paradoxe

• Paradoxe des anniversaires

• Paradoxe des 3 pièces de monnaie

• Paradoxe de Bertrand

• Conclusion

2 sens du mot paradoxe

• D’après plusieurs dictionnaires des

mathématiques, le mot paradoxe a 2 sens

 Résultat mathématiquement correct mais

contre-intuitif (paradoxe de la 1 ère catégorie)

contradictoire (paradoxe de la 2 ème catégorie)

Abus du mot paradoxe : 3ème sens

• Dans la théorie des probabilités, il existe un

problème présentant différents résultats

selon l'interprétation (légitime ou non) que

l'on fait de l’énoncé

• Par abus de langage, on l’appelle paradoxe

de la 3ème catégorie

• Analyse de manuel

• Notion de paradoxe

• Paradoxe des anniversaires

• Paradoxe des 3 pièces de monnaie

• Paradoxe de Bertrand

• Conclusion

Paradoxe des anniversaires

• Paradoxe des anniversaires : dû à Richard von Mises (1883-1953)

phát biểu

• Considérer un groupe de n personnes A = « Il existe 2 personnes

ayant la même date d’anniversaire » Déterminer n pour que P ( A ) =

0,5 (sans tenir compte des années bissextiles)

• P ( A ) = 1 –

• n = 23, P ( A ) = 0,5073

• Parmi 23 personnes, la probabilité pour que 2 personnes aient le

même anniversaire est 0,5073

• Comment l’élève interprète-t-il ce résultat ?

n

n 365

1 )!

365 (

! 365



Enquête auprès des élèves

• Enquête auprès de 35 élèves de la classe 12

mathématiques, lycée d’élite Tran Hung Dao (Binh

Thuan)

• 2 phase successives, 1 questionnaire par phase,

questionnaire 1 est retiré avant la distribution du

questionnaire 2

• Information dans le questionnaire 2 n’influence pas

la réponse au questionnaire 1

Questionnaire 1

• Y a-t-il une personne de ta classe ayant la même date

d’anniversaire que toi ?

• Sans calculer, estimer la probabilité pour que 2 personnes, parmi

un groupe de 23 personnes, aient la même date d’anniversaire

(cocher la case qui convient) :

 0 – 0,25

 0,26 – 0,5

 0,6 – 0,75

 0,76 - 1

Questionnaire 2

• Énoncé du paradoxe & sa démonstration :

donnés préalablement dans le questionnaire

• Consigne : Expliciter tes remarques sur le

résultat supra (confrontation avec ton

estimation, avec le réel, interprétation de la

valeur numérique 0,5…)

Résultat des estimations

• Aucun couple d’élèves de la classe ayant la même

date d’anniversaire

• 34/35 EE : 0 – 0,25, 1/35 E : 0,26 – 0,5

• 34/35 EE : le résultat est beaucoup plus grand que

mon estimation, 1/35 E : je le connais au préalable

grâce à la lecture d’un document

Confrontation avec le réel

• 35/35 EE : résultat ne concorde pas avec le

réel car personne dans ma classe de 35

personnes n’a la date d’anniversaire en

commun avec moi

• 35/35 EE: Je ne trouve pas l’erreur dans la

démonstration

probabilité = possibilité incertaine

• Probabilité représente une certaine possibilité mais rien n’est sûr

• Ma classe a 35 personnes (plus nombreuse

que 23 personnes) mais personne n’a le

même anniversaire que moi Donc P(A) = 0

modèle fréquentiste

• Probabilité d’obtenir le 6 pour un lancer d’un dé est

1/6 Cela ne signifie pas qu’on obtienne une fois le 6 pour 6 lancers successifs Lorsque le nombre de

lancers n est suffisamment grand, la fréquence

d’apparition du 6 est proche de n /6

• Quand n  366, on trouve sûrement au moins 2

personnes ayant la même date d’anniversaire

(principe des tiroirs), P ( A ) = 1, A est événement

certain

Remarques dégagées de l’enquête

• P(A) estimée par élèves : inférieure à 0,5 

événement A : difficile à considérer par

intuition

• Le fait que l’élève considère la probabilité

comme possibilité incertaine montre la

nécessité du recours à la signification des

probabilités dans les situations particulières

Remarques dégagées de l’enquête

• Avec approche fréquentiste, l’élève interprète bien la signification de 1/6 (n  +) mais

n’arrive pas à interpréter celle de 0,5

• En revanche, il découvre que P(A) = 1 quand

n = 366

Remarques dégagées de l’enquête

• Élève interprète correctement qu’on n’obtient pas exactement

une fois le 6 pour 6 lancers successifs d’un dé, mais prend une

conclusion incorrecte pour le cas des anniversaires de sa classe

 Paradoxe des anniversaires nécessite que les dates

d’anniversaire de n personnes respectent la distribution uniforme

 Élève considère la probabilité pour que la date d’anniversaire de

quiconque soit la même qu’une date d’anniversaire donnée (par

exemple, la sienne) au lieu de la probabilité pour que la date

d’anniversaire de quiconque soit la même que celle de n’importe qui d’autre

• Analyse de manuel

• Notion de paradoxe

• Paradoxe des anniversaires

• Paradoxe des 3 pièces de monnaie

• Paradoxe de Bertrand

• Conclusion

Problème des 3 pièces de monnaie

• On lance 3 pièces de monnaie Calculer la

probabilité que toutes trois retombent du

même côté, que ce soit pile ou face

2 solutions, 2 résultats distincts

• Apparaissaient dans l’histoire des mathématiques 2

solutions du problème des 3 pièces de monnaie

avec 2 résultats distincts

• Solution 1: énumérer les cas possibles & les cas

favorables

• Solution 2: étudier 2 premières pièces de monnaie

(principe des tiroirs), puis la 3 ème

Solution 2

• D’après le principe des tiroirs, quand on lance

3 pièces de monnaie, au moins 2 pièces

retombent du même côté

• Pour que 3 pièces retombent du même côté,

il suffit que la 3ème retombe du même côté

que les 2 premières Donc la probabilité à

calculer est 1/2

Analyse des 2 solutions

• 2 résultats différents : il est impossible que tous les deux soient

corrects

• Solution 1: énumère complètement les cas possibles & les cas

favorables, mobilise la définition classique de la probabilité 

Solution 1 est correcte  Solution 2 est incorrecte

• Erreur de la solution 2 : ½ est la probabilité pour que 3 pièces

de monnaie retombent du même côté sous condition que 2

des 3 pièces retombent du même côté La solution 2 est

incorrecte car elle a changé une contrainte de l’énoncé

Enquête auprès des élèves

• Enquête auprès de 40 élèves de la classe

12A1, lycée Phan Boi Chau (Binh Thuan) par

questionnaire

• 2 solutions sont présentées au préalable dans

le questionnaire Consigne : D’après toi,

quelle solution est incorrecte ? Si possible,

expliciter ses erreurs ou/ et tes remarques

Principe des tiroirs n’est pas dans les programmes

S2 n’étudie pas les 3 pièces en même temps

Remarques dégagées de l’enquête

• 5 EE ne répondent pas : évaluation de la solution 2

est une tâche non routinière

• Aucun élève détermine exactement l’erreur de la

solution 2

• En particulier, 10 EE pensent que S2 est incorrecte

parce qu’elle est différente de S1 (routinière)

• Analyse de manuel

• Notion de paradoxe

• Paradoxe des anniversaires

• Paradoxe des 3 pièces de monnaie

• Paradoxe de Bertrand

• Conclusion

Paradoxe de Bertrand

• Énoncé par Joseph Bertrand (1822-1900) en 1888

• Soit le cercle ( O , 1) Tracer au hasard une corde

MN Calculer la probabilité pour que la longueur de

MN soit supérieure à (longueur du côté d’un

triangle équilatéral inscrit)

• Bertrand propose 3 solutions avec 3 résultats

différents

3

• Choisir au hasard un point M du cercle

• Construire ABC équilatéral inscrit de façon

(rayon aléatoire)

• Tracer un rayon OD Construire ABC

équilatéral inscrit dont BC  OD OD & BC se

coupent en leur milieu commun H

• Choisir au hasard un point I du segment OD

Tracer la corde MN  OD MN > si &

seulement si I appartient au segment 3 OH

N O

D

H I M

(milieu aléatoire)

• Choisir au hasard un point I à l’intérieur du

cercle Tracer la corde MN dont I est milieu

MN > si & seulement si I est situé à

l’intérieur du cercle (O, ½)

• Probabilité à calculer : S(O, 1) : S(O, 1/2) = ¼

N O

I

M



3

Analyse des 3 solutions

• Lorsque la méthode de sélection d’une corde au

hasard est spécifiée, le problème possède une

solution bien définie

• En l'absence d'une telle méthode, le terme « au

hasard », dans « tracer au hasard une corde MN »,

est ambigu

• 3 solutions de Bertrand correspondent à 3 méthodes

de sélection distinctes & on n’a aucune raison d'en

privilégier (ou éliminer) une par rapport aux autres

Analyse des 3 solutions

• Sauf les diamètres, une corde est entièrement

définie par son milieu

• Une autre façon de tracer les cordes consiste à

considérer la distribution des milieux des cordes

• 2 premières solutions produisent deux distributions

non-uniformes distinctes, la troisième une

distribution uniforme des milieux à l'intérieur du

cercle

• Il est possible d’établir d'autres distributions &

d’obtenir des probabilités différentes

Enquête auprès des enseignants

• Enquête auprès de 30 enseignants des classes

11 (programme avancé) par questionnaire

• Problème & ses 3 solutions : présentés

complètement dans le questionnaire

• Consigne : D’après vous, laquelle est correcte,

incorrecte parmi ces 3 solutions supra ?

Résultat de l’enquête & remarques

18 enseignants

5 enseignants

4 enseignants

3 enseignants

Solution 3 est correcte car la construction de

la corde est plus aléatoire que celle des autres

solutions

Énoncé du problème est ambigu

Réponse à la question posée vaut la

médaille Field

Sans réponse

Question posée est routinière pour enseignants

Ils s’intéressent plus ou moins à « l’aléatoire » mais

n’abordent pas la dépendance de la probabilité

vis-à-• Paradoxe des anniversaires : grand écart entre

intuition & valeur de la probabilité  nécessité d’une interprétation de la signification d’un événement