Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 30 2.5.1... Với mong muốn học hỏi và tích lũy thêm kiến thức cho bản thân, đồng thời để hiểu thêm về phương t

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếncác thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã có nhữngnhận xét và động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này trong suốtthời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới

thầy TS Khuất Văn Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để

em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

1

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học,các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

MỤC LỤC

M

Ở ĐẦ U 5

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1.1 C ác khái niệm về số gần đúng và sai số 7

1.1.1 .S o gần đúng 7

1.1.2 .S ai phân 11

1.2 M ột số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân thường 15

1.2.1 .K hái niệm về phương trình vi phân thường 15

1.2.2 .B ài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 17

1.2.3 .B ài toán Cauchy đối với hệ hai phương trình vi phân 18

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 19

2.1.Phương pháp Euler 19

2.1.1.Nội dung phương pháp 19

2.1.2.V í d ụ 20

2.2.Phương pháp Euler - Cauchy 21

2.2.1 Nội dung phương pháp 21

2.2.2 Ví dụ 22

2.3 Phương pháp Rungge - Kutta 23

2.3.1 Nội dung phương pháp 23

2.3.2 Ví dụ 25

2.4 Phương pháp Adams 26

2.4.1 Nội dung phương pháp 26

2.4.2 Ví dụ 28

2.5 Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 30 2.5.1 Nội dung phương pháp 30

2.5.2 Ví dụ 30

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 33

3.1 Cách sử dụng Maple 33

3.2 Bài tập 34

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rấtnhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiêncứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng trong toán học Cácbạn sinh viên đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng của bài toánCauchy đối với phương trình vi phân thường Nhưng chúng ta biết rằng chỉmột số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác.Trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thựctiễn không tìm được nghiệm chính xác Bởi vậy tìm nghiệm của chúng ta phải

áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau Và ở mỗi phương pháp có thể

sử dụng thuật toán Maple để đơn giản bài toán này

Với mong muốn học hỏi và tích lũy thêm kiến thức cho bản thân, đồng

thời để hiểu thêm về phương trình vi phân thường em chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về bàitoán Cauchy đối với phương trình vi phân thường Đồng thời sử dụng thuậttoán Maple ứng dụng vào đó để giải toán

3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về phương trình vi phân thường

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về: Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng kết các tài liệu

6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm 3chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phươngtrình vi phân thường

Chương 3: Ứng dụng Maple để giải bài toán Cauchy đối với phươngtrình vi phân thường

a* aa a

a* a

aa

a :

a 0.002

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Các khái niệm về số gần đúng và sai số

1.1.1 Số gần đúng

1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng củacác đại lượng Ta nói a là số gần đúng của

* , nếu a không sai khác a*

Đại lượng : a a* gọi là sai số thật sự của a Do ta chỉ biết a ,

10p 10p 1 10p s

a

a*

Định nghĩa Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác ''0'' và cả ''0'' , nếu nó

kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

k vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên qui tròn các x i đến mức

giữ lại 1 hoặc 2 chữ số hạng bên phải thứ k

1, do đó kết quả không chính xác Cho nên trong tính toán

nên tránh các công thức có hiệu quả của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì cần lấy các số với nhiều chữ số chắc để hiệu quả của chúng có thêm chữ số chắc

b) Sai số của các phép tính nhân chia

xm maxxi và xi k,

1 i n

Nếu 0 1 ta có phép khai căn, khi đó y x , hay độ chính xác

Nếu 1 ta có phép nghịch đảo, y x nghĩa là độ chính xáckhông đổi

1.1.2 Sai phân và tính chất của sai phân

1.1.2.1 Định nghĩa sai phân

là đại lượng:

1.1.2.2 Các tính chất của sai phân

1) Sai phân là một toán tử tuyến tính, nghĩa là:

n hi (i)

P(x)i!

Cin 2 f (x)

i 0

do h

1.2 Một số kiến thức về phương trình vi phân thường

1.2.1 Khái niệm khái niệm về phương trình vi phân thường

1.2.1.1 Phương trình vi phân thường cấp một

Phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát:

trong đó hàm F xác định trong miền D

Nếu trong miền D , từ phương trình (1) ta có thể giải được y ' :

f (x, y)

y '

xác định trên khoảng ( , ) ( c là hằng số

1.2.1.2 Phương trình vi phân thường cấp n

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng:

trong đó: x là biến số độc lập, y(x) là hàm ẩn, y '(x), y"(x) là các đạo hàm củahàm y(x).

Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x)

thỏa mãn phương trình này với những giá trị

Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng:

Trong bài toán Cauchy (bài toán ban đầu) cần tìm nghiệm riêng thỏa

mãn n điều kiện ban đầu:

y ; y0 '(x ) y0 '0, , yn 1(x ) y0 0n 1

x '(t)x(0) f (t, x)x0

x0 cho trước được gọi là bài toán

Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một, điều kiện (4) được gọi làđiều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu)

1.2.2.1 Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm

f (t, x) thỏa mãn theo điều kiện

Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L>0 sao cho với hai điểm (x, y) G,

tại ít nhất một nghiệm x(t) của phương trình (3) thỏa mãn điều kiện (4), tức

là x(t) là nghiệm của bài toán (3-4)

1.2.2.3 Định lý 2 (Định lý duy nhất nghiệm)

điều kiện Lipschitz

với N là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm

trên 0,T .

x(t) của bài toán (3-4) xác định

1.2.3 Bài toán Cauchy đối với hệ hai phương trình vi phân

dy dx dz

x i

(i 0,1, , N)

(5)(6)

Trong phương pháp Euler, giá trị gần đúng

phân đi qua điểm (x i , y i ) Do đó, phương pháp Euler thường được gọi là

phương pháp đường cong gấp khúc

Nếu hàm số

của nó bị chặn:

f (x, y)

không gián đoạn và các đạo hàm riêng cấp một

Nghiệm và kết quả tính được trình bày trong bảng 1.

y i y(x) i theo phương pháp Euler-Cauchy như

sau: Trước tiên ta tính giá trị gần đúng thứ nhất:

%

sau đó tính

yi 1 y

i hi f (xi , yi ),0

xi

y i Đầu tiên tính: y0 y i h i f (x i , y i ) sau đó tính theo công thức:

f (x, y)

y0

1, , N)

Xx 0h

Kết quả tính toán phương trình này trong bảng 2

2.3 Phương pháp Runge-Kutta

2.3.1 Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy trên đoạn

của khoảng cho trước Chọn điều kiện đúng ta sẽ tính

Phương pháp Runge-Kutta cũng như phương pháp Euler-Cauchy đều

là phương pháp giải toán (9),(10) Phương pháp này còn được dùng để tính

giá trị nghiệm gần đúng của bài toán cho trước tại x i

1

theo thông tin về

nghiệm này trong lân cận điểm cho trước x

i Nghĩa là sau giá trị gần đúng y i

của giá trị tìm được tại điểm x i

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc 4 Đây là phương pháp phổ biếnnhất để giải những bài toán với điều kiện ban đầu cho phương trình vi phânthường Phương pháp trên cho thấy 6 mối quan hệ sau:

36

y i 1 y i

y i

(11)

37

y1 (Ki i 1 2Ki2 2Ki3 Ki 4)6

K K

K (i) .y

h và i3

y i

K (i) K (i)

23

K 1(i) K (i)2

Cần chú ý rằng bước lưới có thể thay đổi chuyển từ điểm này sang điểm

khác Để kiểm tra sự đúng đắn khi chọn h, người ta tính phân số:

Trong thực hành, để kiểm tra quá trình tính toán người ta áp dụng cách

đếm hai lần Đầu tiên, tính nghiệm với bước h , sau đó với bước h

2Phương pháp Runge-Kutta cũng được áp dụng phổ biến với hệ phương trình vi phân bậc nhất

Bằng phương pháp Runge-Kutta, hãy tìm nghiệm của phương trình

y ' 2 y

x x

với điều kiện ban đầu y(1) = 0 trên đoạn [1;1,5], khoảng h = 0,1.

Nghiệm và kết quả tính toán được trình bày trong bảng 4

Cho phương trình vi phân xác định trên đoạn

và để tìm số hạng còn lại, ta có đánh giá sau:

Tùy vào những phép tính hướng tới những điểm x n , khi đó những thông

số ở bảng 5 có thể tiếp tục được xây dựng từ trái sang phải: Giá trị x

n 2

n 1 n

Áp dụng phương pháp Adams, hãy tìm nghiệm của phương trình vi

x x 1 với điều kiện ban đầu y(1) 0 tại điểm x=1, x=1,7.

Giá trị y(x) tại điểm x=1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 được tính bằng phương

pháp Runge-Kutta (bảng 4) Kết quả tính toán được trình bày ở bảng 6

1,0;1,1; ;1,5 và tương ứng với nó là các giá trị

y k (k= 0, 1, 2, …, 5) đã được tính theo phương pháp Runge-Kutta, tìm

vào bảng những trị số có giá trị của sai phân hữu hạn, không đưa ra những giá trị không cần thiết.

Tiếp tục để tính các bước tiếp theo.

Trong quá trình tính toán, chúng ta sử dụng lại những sai phân hữu hạn

2.5 Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

pháp

Cho đoạn

D thiết lập bài toán Cauchy cho phương trình vi

phân thường (hoặc hệ phương trình), phương trình cần thỏa mãn nghiệm nằm

trên đoạn D Bài toán này có thể viết dưới dạng đẳng thức kí hiệu:

d 2u dx2 u(0) 2

0,1

fdu(0) ,

thức (19), lập hệ phương trình để tượng trưng và viết dưới dạng đẳng thức:

toán tử sai phân Người ta cho rằng bài toán sai phân (22) xấp xỉ với bài toán(19) trên nghiệm u , nếu ở đẳng thức

trong đó c 1 -là hằng số, không phụ thuộc vào h Bài toán sai phân (22) được

gọi là ổn định nếu tồn tại số 0 và h0 0 , sao cho với h < h 0 và

0 khi h 0 thì nghiệm của bài toán (22) tiến đến

nghiệm đúng của bài (19) trong nút lưới Nếu

u(h) uh1 2c c hk ,

Định lí Phương trình vi phân (22) xấp xỉ với bài toán (20) tại nghiệm

u h với bậc k theo h và h và không đổi Khi đó nghiệm u (h) của bài toán viphân (22) tiến đến u , thêm vào đó, có đánh giá:

x0} :

Chương 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trong đó, deq (viết tắt của differential equation) là phương trình vi

phân cần giải, x(t) là nghiệm, x(t0

)

x0 là điều kiện ban đầu (Khi không có

điều kiện ban đầu, Maple tự động sinh ra các hằng số c1 trong kết quả) Sau

dấu “;’’ ấn phím “Enter”, trên màn hình sẽ hiện đáp số, tức là nghiệm phương trình vi phân cần giải.

1) h * f (x(n1) y(n1))

y(n

y(0) : 1

X *Y (X ),Y (0)1 ,Y (X ) ;

e .)

Lập dãy các giá trị của y rừ 0 tới 10: y(i), i=0……10 :;

[>seq (y(i), i=0………10);

1, 1, 1.01, 1.0302, 061106, 1.10355204, 1.158727752, 1.228251417,1.314229016, 1.419367337, 1.547110397

Tìm nghiệm đúng của phương

trình: [>sol:= dsolve ({diff(Y ( X

), X ) sol:= Y ( X )

[>assign (sol);

Lập bảng để so sánh giá trị đúng và gần đúng của phương trình:

[>array ([seq (n, y(n), evalf (subs (X = n/10, Y(x)))]; n=0….10)]);

[>init_con:=y(1)= 1; {lệnh này nhập điều kiện ban đầu}

Sau khi ấn phím Enter trên màn hình xuất hiện:

[> dsolve ({diff_eq4, init_con}, {y(x));

 Gán tên sys cho hệ

[> sys:= {diff (y(x),x) – z(x)= cos(x), diff(z(x), x)+y(x) = 1};

 Gán tên cho nghiệm [>

fcns:= {y(x), z(x)};

 Giải hệ phương trình [>

dsolveb(sys,fcns);

KẾT LUẬN

Giải gần đúng bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường làdạng toán khá phức tạp, do đó việc tìm hiểu và nghiên cứu một cách sâu sắckhông hề đơn giản Do điều kiện nghiên cứu còn nhiều hạn chế nên trongkhóa luận em không đưa hết được tất cả các phương pháp để giải bài toánCauchy đối với phương trình vi phân thường Đồng thời việc đưa những ứngdụng của tin học vào giải toán các bài tập trong khóa luận vẫn chưa đượcphong phú và hoàn thiện

Do kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế Em rất mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và ý kiến của các bạn sinh viên để khóaluận được hoàn thiện và nội dung phong phú hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà

Nội

[2] Nguyễn Minh Chương – Nguyễn Văn Khải – Khuất Văn Ninh –

Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tường (2001), Giải tích số Nhà xuất bản

Giáo dục

[3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên

Maple Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.

[4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân và

lý thuyết ổn định Nhà xuất bản giáo dục.