Hàm suy rộng phi tuyến

Ta Ngoc Trí khóa lu¾n đưoc hoàn thành không trùng vói bat kì công trình khoa hoc nào khác.Trong khi thnc hi¾n khóa lu¾n tác giá đã sú dung và tham kháo các thành tnu cna các nhà khoa hoc

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

****************

BÙI KIM MY

HÀM SUY R®NG PHI TUYEN

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC

Chuyên ngành: Giái Tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

TS Ta Ngoc Trí

Hà N®i - 2011

LèI CÁM ƠN

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS Ta Ngoc Trí đã

t¾n tình hưóng dan đe em có the hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p này

Em cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói toàn the các thay côgiáo trong khoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã day báo t¾ntình trong suot quá trình hoc t¾p tai khoa Đong thòi, em cũng xin gúi lòi

cám ơn tói anh Hoàng ĐNc Trưàng hoc viên cao hoc K13 đã chí báo

em trong suot thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n

Qua đây em cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban

bè đã ó bên, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p vàthnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p

Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Tác giá Bùi Kim My

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí khóa lu¾n

đưoc hoàn thành không trùng vói bat kì công trình khoa hoc nào khác.Trong khi thnc hi¾n khóa lu¾n tác giá đã sú dung và tham kháo các thành tnu cna các nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân trong

Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Tác giá Bùi Kim My

Mnc lnc

Má

đau 5

Chương 1 Kien th N c chuan b% 7

1.1.M®t vài ký h i¾u v à khái ni¾m 7

1.1.1 M®t vài ký hi¾u 7

1.1.2 M®t vài khái ni¾m 8

1.2.Không gian các hàm th N 9

1.3.Không gian các hàm suy r®ng 12

1.4 Đao hà m cú a hà m su y r®ng 14

1.5.Tích c h¾p 17

1.6.Bie n đo i F ourier 19

Chương 2 Tích hai hàm suy r®ng 23

2.1.Tích cúa m®t hàm trơn v à m®t hàm suy r®ng 23

2.2.Tích cúa hai hàm suy r®ng 24

2.2.1 Ph ươ ng pháp chính quy và tien qua giói han 24

2.2.2 Ph ươ ng pháp F ourier 27

2.3.Ket quá không the cúa Schwartz 31

Ket lu¾n 33

T ài li¾u tham kháo

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Hàm suy r®ng là m®t khái ni¾m đưoc mó r®ng tù khái ni¾m hàm so cođien, trong đó ngoài lóp các hàm thông thưòng ngưòi ta thêm vào các hàm

đo đưoc, khá tích đ%a phương, và các hàm thông thưòng khác mà m®t đai

di¾n là hàm Delta Dirac δ(x).

Hàm suy r®ng xuat hi¾n lan đau trong th¾p ký thú hai the ký 20 trongcác công trình cna P A M Dirac ve cơ hoc lưong tú Lý thuyet toán hoccna hàm suy r®ng đưoc S L Sobolev đ¾t cơ só đe giái bài toán Cauchycho phương trình hypebolic (1936) và đen năm 1945 L Schwartz đã xâydnng m®t cách h¾ thong cho lý thuyet hàm suy r®ng Ngày nay, lý thuyethàm suy r®ng đưoc phát trien và úng dung trong nhieu ngành khoa hoc

Đe tìm hieu lý thuyet hàm suy r®ng và đưoc sn hưóng dan cna TS Ta

Ngoc Trí em đã chon đe tài "Hàm suy r®ng phi tuyen ” đe làm

khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc ngành Cú nhân khoa hoc Toán hoc cnamình

Khóa lu¾n t¾p trung làm rõ m®t so van đe sau: Trình bày m®t so kienthúc cơ bán cna hàm suy r®ng, phép lay tích hai hàm suy r®ng và ket quákhông the cna Schwartz

Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 2 chương:

Chương 1 cna khóa lu¾n trình bày tóm tat ve m®t so ký hi¾u và

khái ni¾m, các không gian hàm cơ bán và suy r®ng Cuoi chương,trình bày ve phép toán đao hàm, tích ch¾p và bien đoi Fourier

Chương 2 cna khóa lu¾n đi vào trình bày phép lay tích cna hai hàm

suy r®ng Phan đau chương trình bày ve phép lay tích cna m®t hàmtrơn và m®t hàm suy r®ng Tiep theo trình bày các phương pháp đ%nh

nghĩa tích cna hai hàm suy r®ng và moi quan h¾ giua các cách đ%nh nghĩa đó Cuoi chương là ket quá không the cna Schwartz

2 Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu

- Nghiên cúu van đe hàm suy r®ng

- Nghiên cúu vi¾c lay tích cna hai hàm suy r®ng

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

- Nghiên cúu ve hàm suy r®ng cna Schwartz

- Nghiên cúu phép lay tích cna hai hàm so

4 Phương pháp nghiên cNu

Đoc tài li¾u, phân tích, tong hop, so sánh, tong hop kien thúc

• C k (Ω) : t¾p các hàm liên tuc có các đao hàm riêng liên tuc tói cap k trên Ω.

• C ∞ (Ω) : t¾p các hàm khá vi vô han trong Ω.

• L p (Ω) : là t¾p các hàm f đo đưoc theo nghĩa Lebesgue trong Ω sao

M®t đa chí so (hay chính xác hơn : m®t n - đa chs so ) là α = (α1, α2, ,

α n ), vói α j ∈ Z+, (j = 1, 2, , n) Đ® dài (hay cap cna α) là | α |= α1

Ví dn 1.1 Cho hàm u(x, y) = x2y2 + x + y + xy, α = (1, 2) ∈ Z2 Khi đó ∂ α = ∂ α1 ∂ α2 = ∂1∂2 = 4x3y2 + 2x2y + 2x2.

x y x y

Cho Ω là m®t t¾p mó khác rong trong Rn M®t hàm so f : Ω −→ C,

so

α ∈

Zn

thì ta nói f ∈ C ∞ (Ω) Đieu này cũng có nghĩa là f ∈ C ∞ (Ω) neu

f là hàm khá vi liên tuc moi cap.

Giá cna m®t hàm liên tuc f : Ω −→ C là bao đóng trong Ω cna t¾p

Ω : f (x) ƒ= 0} ⊂ Ω.

Neu K là t¾p compact trong R n thì ta kí hi¾u

D K = {f ∈ C ∞ (Ω) : suppf ⊆ K}.

1.1.2 M®t vài khái ni¾m

M®t không gian vectơ tôpô X trên trưòng P vói (P = C ho¾c P = R)

là m®t không gian vectơ trên trưòng P đưoc trang b% m®t tôpô thích hopsao cho các ánh xa (x, y) −→ x + y và (λ, y) −→ λy là liên tuc

Trong không gian vectơ tôpô X, m®t t¾p hop E ⊂ X goi là t¾p b% ch¾n, neu vói moi lân c¾n V cna goc θ, có m®t so s > 0 sao cho ∀t > s thì

ch¾n

đ%a phương

M®t t¾p hop E ⊂ X cna không gian vectơ tôpô X goi là t¾p hút neu

∀x ∈ X, ∃t = t(x) ƒ= 0 sao cho x ∈ tE Neu ∀α ∈ C mà |α| ≤ 1, ta có

αE ⊂ E thì E đưoc goi là t¾p con cân đoi cna X.

M®t không gian vectơ tôpô X goi là không gian loi đ%a phương neu có m®t cơ só lân c¾n cna goc θ gom toàn nhung t¾p loi.

M®t không gian loi đ%a phương goi là m®t không gian Fréchet neu nó

là không gian metric đn vói metric cám sinh d thóa mãn d(x + z, y + z)

= d(x, y) (d bat bien vói phép t%nh tien).

M®t không gian vectơ tôpô X goi là có tính chat Heine - Borel , neu moi t¾p con đóng và b% ch¾n cna X đeu là t¾p compact.

+

+

1.2 Không gian các hàm thN

Cho K là t¾p compact trong R n , D K ký hi¾u là không gian cna tat cá

các hàm f ∈ C ∞(Rn ) sao cho suppf ⊆ K Neu K ⊂ Ω thì

D K = {f ∈ C ∞ (Ω) : suppf ⊆ K}.

Đe xây dnng m®t tôpô τ trên C ∞ (Ω) sao cho C ∞ (Ω) tró thành m®t không gian Fréchet , có tính chat Heine - Borel , và D K là m®t t¾p con

đóng cna C ∞ (Ω) moi khi K ⊂ Ω Chúng ta chon các t¾p compact K j (j = 1, 2, .) sao cho K j ⊂ intK j+1 và Ω = Sj K j và đ%nh nghĩa

m®t ho núa chuan p N trên C ∞ (Ω), N = 1, 2, như sau

p N = max{|D α f (x)| : x ∈ K N , |α| ≤ N}.

khi đó ta đưoc các tính chat nói ó trên cna không gian C ∞ (Ω) M®t cơ só

đ%a phương cna không gian này đưoc cho bói các t¾p hop

Hien nhiên D(Ω) là m®t không gian vectơ vói phép c®ng và phép nhân

vói vô hưóng thông thưòng cna các hàm nh¾n giá tr% phúc Ta cũng thay

rang hàm φ ∈ D(Ω) neu và chí neu φ ∈ C ∞ (Ω) và suppφ là t¾p compact trong Ω Vói moi φ ∈ D(Ω) thì

Đ%nh nghĩa 1.2 Cho Ω là m®t t¾p không rong và mó trong R n

a) Vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, τ K ký hi¾u là tôpô cúa không gian Fréchet D K

vói moi t¾p compact K ⊂ Ω.

c) τ là ho cúa tat cá các hop có dang φ + W, vói φ ∈ D(Ω) và W ∈ β.

Đ%nh lý 1.1 a)τ là m®t tôpô cúa không gian D(Ω) và β là m®t cơ só

đ%a phương cúa τ.

b) τ làm cho D(Ω) tró thành m®t không gian vectơ tôpô loi đ%a phương Chúng minh a) Giá sú V1, V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2, ta chí can

chúng minh ∃W ∈ β sao cho

V¾y τ là m®t tôpô trong D(Ω) Hien nhiên β là m®t cơ só cna τ.

b) Giá sú φ1, φ2 là hai phan tú phân bi¾t cna D(Ω), và vói φ ∈ D(Ω)

đeu là t¾p hop đóng trong tôpô τ.

Tiep theo ta se chúng minh các phép toán đai so trên D(Ω) tương thích vói tôpô τ Phép c®ng là liên tuc, vì vói moi φ1, φ2 ∈ D(Ω)

do W là t¾p loi và cân nên ta có αφ − α0φ ∈ W, vói moi |α − α0| < δ

và φ ∈ φ0 + cW V¾y phép nhân vói phan tú vông hưóng là liên tuc trong D(Ω) theo tôpô τ.

V¾y chúng tó không gian các hàm thú D(Ω) là không gian vectơ tôpô và

hơn nua còn là không gian loi đ%a phương

Trong suot chương này ta luôn giá sú K là m®t t¾p mó không rong cna

Ω Ta thùa nh¾n m®t so ket quá sau

Đ%nh lý 1.2 a) M®t t¾p con loi, cân đoi V cúa D(Ω) là mó neu và chs

b) Các topo τ K cúa D K trùng vói tôpô cúa không gian con D K cám sinh

tù D(Ω).

c) Neu E là m®t t¾p con b% ch¾n cúa D(Ω), thì E ⊂ D(Ω), ∀K ⊂ Ω,

và có các so M N < ∞ sao cho ∀φ ∈ E thóa mãn bat đang thúc

nào đó chúa tat cá suppφ j , và D α φ j h®i tn đeu tói 0, khi j → ∞ vói moi

đa chs so α.

f) Trong D(Ω), moi dãy Cauchy đeu h®i tn.

Đ%nh lý 1.3 Giá sú u là m®t ánh xa tuyen tính tù D(Ω) vào m®t không

gian loi đ%a phương Y Khi đó các đieu sau là tương đương:

a) u là liên tnc.

b) u b% ch¾n.

c) Neu (φ j ) → 0 trong D(Ω), thì uφ j → 0 trong Y.

d) Khi thu hep u trên bat kỳ D K ⊂ D(Ω) thành u K thì u K luôn liên tnc.

H¾ quá 1.2.1 Moi toán tú vi phân D α là m®t ánh xa liên tnc tù D(Ω) vào chính nó.

1.3 Không gian các hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.3 M®t dang tuyen tính (hay m®t phiem hàm tuyen tính)

u : D(Ω) −→ C goi là m®t hàm suy r®ng (theo nghĩa Schwartz) xác đ

%nh trên Ω, neu vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, có m®t so thnc c ≥ 0 và m®t so

nguyên không âm N sao cho

Dna vào đ%nh nghĩa trên ta thay rang :

1 Các hàm so liên tuc thông thưòng là các hàm suy r®ng

Th¾t v¾y, giá sú f là m®t hàm liên tuc trên Ω, the thì f là m®t hàm khá tích trên Ω Hơn nua

Vì v¾y | (f, φ) | ≤ c sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(Ω), hay f là hàm suy r®ng

Đ%nh lý 1.4 M®t phiem hàm tuyen tính u xác đ%nh trên D(Ω) là m®t

hàm suy r®ng neu và chs neu

lim (u, φ j ) = 0

→∞

j

vói moi dãy (φ j ) h®i tn tói 0 trong D(Ω) khi j → ∞.

Neu u có suppu là t¾p compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy r®ng

có giá compact T¾p hop các hàm suy r®ng có giá compact đưoc ký hi¾u bói

E r (Ω).

1.4 Đao hàm cúa hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho u ∈ D r (Ω) thì phiem hàm tuyen tính

Ví dn 1.3 Hàm f (x) = log |x|.

Ta có f : R \ {0} −→ R, x −→ log |x|, khi đó f là hàm khá tích đ%a

phương trên R Do đó f là m®t hàm suy r®ng vói

Đ¾t u = log |x|, dv = ¸ ∂φ(x)dx, và áp dung công thúc tích phân tùng

phan ta thu đưoc

trong đó lims→0+ [φ(s) − φ(−s)] log s = 0 é đây hàm

x không phái là

hàm

1khá tích đ%a phương,

−s

φ (x)

dx + ¸ +∞ φ(x) dx

thưòng đưoc kí hi¾u là

¸

φ (x) dx

−∞

đưoc goi là tích phân chính

Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý cau trúc cúa Schwartz)

∈/

L

Bat kỳ m®t hàm suy r®ng đeu là đao hàm đ%a phương cúa m®t hàm liên tnc Nói cách khác: ∀T ∈ D r (Ω), ∀x0 ∈ Ω ton tai m®t lân c¾n mó V x0 cúa

x0 trong Ω, ton tai hàm f ∈ C(V x0 ) và ton tai m®t toán tú đao hàm riêng

∂ sao cho

T | V x0 = ∂f trong D (V x0 )

trong đó T | V x0 là han che cúa T trên V x0 .

Tù đ%nh lý này, các hàm suy r®ng tao thành m®t không gian nhó nhat, trong đó các hàm liên tuc đeu khá vi vô han và cũng chúa tat cá các hàm

thì L p(Rn) tró thành m®t không gian Banach

Neu f, g ∈ L1(Rn ) thì tích ch¾p cna f và g, ký hi¾u là f ∗ g, đưoc

thành m®t đai so Banach, nhưng không có phan tú đơn v% Ta có the đ%nh

nghĩa tích ch¾p cna f ∈ L1(Rn ) và g ∈ L p(Rn ), 1 ≤ p < ∞ Tiep theo chúng ta đe c¾p tói tích ch¾p cna u ∈ D r(Rn ) và ρ ∈ D(R n)

Đ%nh lý 1.6 Neu u ∈ D r(Rn ) và ρ ∈ D(R n ), thì

(ρ ∗ u)(x) = (u(y), ρ(x − y)) , x ∈ R n ,

và hàm này là m®t phan tú cúa C ∞(Rn ).

Trong lý thuyet hàm suy r®ng tích ch¾p cna hai hàm suy r®ng là m®tcông cu manh và đưoc đ%nh nghĩa như sau

Đ%nh nghĩa 1.6 Neu u, v ∈ D r(Rn ), ta goi tích ch¾p cúa u và v, ký hi¾u là u ∗ v là phiem hàm tuyen tính sau

(u ∗ v, φ) = (u(y), (v(x), φ(x + y))) ,

Dna vào đ%nh nghĩa trên thì phiem hàm tuyen tính u ∗ v ∈ D r(Rn ) Hơn nua, neu m®t trong hai hàm u ho¾c v có giá compact thì theo đ%nh nghĩa trên ta có u ∗ v = v ∗ u.

Chú ý 1.5.1.

Th¾t v¾y, vì δ là hàm có giá compact và

(u ∗ δ, φ) = (u(y), (δ(x), φ(x + y))) = (u(y), φ(y)) = (u, φ) Hay u ∗ δ = u, tương tn ta cũng có δ ∗ u = u.

b) Đ%nh nghĩa tích ch¾p ó trên van đúng trong trưòng hop f, g ∈

và |f (y)h(y)| ≤ c||g||L1 |f (y)|, ta có sn ton tai cna (f (y), (g(x), φ(y + x))), nên f ∗ g ton tai Ta cũng có

V¾y (f ∗ g)(t) = ¸Rn f (y)g(t − y)dy.

1.6 Bien đoi Fourier

Đ%nh nghĩa 1.7 Neu f ∈ L1(Rn ), bien đoi Fourier fˆ (ho¾c f ∧ ho¾c

«f) cúa f đưoc xác đ%nh bói

fˆ(ξ) = ¸

Rn

f (x)e −ix.ξ dx, ξ

∈ R n

Ta se mó r®ng khái ni¾m hàm suy r®ng, ho¾c thay vào đó là m®t không

gian con đ¾c bi¾t cna D r(Rn) mà ta goi là không gian các hàm suy r®ngtăng ch¾m

Đ%nh nghĩa 1.8 Ta ký hi¾u S(R n ) là các hàm f ∈ C ∞(Rn ) sao cho

p α,β = sup |x β D α f (x)| < ∞,

x∈Rn

vói moi đa chs so α, β Goi là không gian các hàm giám nhanh.

2

Ta có the chúng minh đưoc khi f ∈ D(R n ), thì f ∈ S(R n ); ho¾c e −|x| cũng thu®c S(R n).

Ho {p α,β : α, β là các đa chí so } là ho núa chuan tách đưoc xác đ%nh trên S(R n) và nó mô tá m®t tôpô loi đ%a phương Hơn nua, tôpô này là khá

mêtric và S(R n ) là không gian đn Vì v¾y, S(R n) là không gian Fréchet

Và ta có:

φ j −→ 0 trong S(R n ) ⇐⇒ ∀α, β, p α,β −→ 0.

Ta cũng thay rang phép nhúng D(R n ) ‹→ S(R n ) là liên tuc và D(R n)

là trù m¾t trong S(R n ) vói tôpô trên S(R n) nói ó trên M®t ket quá

quan trong trong S(R n) là

Bo đe 1.6.1 Bien đoi Fourier « : S(R n ) −→ S(R n ), vói

Sau đây chúng ta se đ%nh nghĩa hàm suy r®ng tăng ch¾m

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho u ∈ D r(Rn ), neu u liên tnc trên S(R n ) thì ta nói

u là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m.T¾p hop các hàm suy r®ng tăng ch¾m

ký hi¾u là S r(Rn ) M®t dãy (u j )1

j

trong S r(Rn ) goi là h®i tn tói hàm

≤ ≤∞

u ∈ S r(Rn ) neu (u j , φ) → (u, φ) vói moi φ ∈ S(R n ) khi j → ∞.

Ta có nh¾n xét rang, L1(Rn ) ⊂ S r(Rn), và các hàm suy r®ng có giá

compact trong D r(Rn) là hàm suy r®ng tăng ch¾m Chang han, vói hàm

Dirac δ thì δ ∈ S r(Rn ) Th¾t v¾y, Neu u ∈ D r(Rn ) và có giá suppu là t¾p compact K ⊂ R n , ta co đ%nh ψ ∈ D(R n ) sao cho ψ = 1 trên m®t

so t¾p

compact chúa K Ta đ%nh nghĩa

Neu f j → 0 trong S(R n ) khi j → ∞, thì D α f j h®i tu đeu tói 0 trên

Rn khi j → ∞ Do đó, D α (ψf j ) h®i tu đeu tói 0 trên Rn khi j → ∞ Đieu cuoi cùng này chúng tó u˜ là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc

trên

2

S(R n ) Tù đó (u˜, φ) = (u, φ) , φ ∈ S(R n ) và u˜ là m®t mó r®ng cna u

V¾y

δ ∈ S r(Rn ).

Bây giò chúng ta se đ%nh nghĩa bien đoi Fourier cna các hàm suy r®ngtăng ch¾m

Đ%nh nghĩa 1.10 Bien đoi Fourier cúa hàm u ∈ S r(Rn ) là hàm suy r®ng

uˆ ∈ S r(Rn ) đưoc xác đ%nh bói (uˆ, φ) = .u, φˆ , φ ∈ S(R n ).

Tù bo đe 1.6.1 ta có, neu φ j → 0 khi j → 0 trong S r(Rn ), thì φˆ j →

0 khi j → 0 trong S(R n) và nó thóa mãn nhung tính chat nói ó trên

Neu f ∈ L1(Rn ), thì f cũng là m®t phan tú cna S r(Rn ), ký hi¾u là u f

V¾y

câu hói đ¾t ra là: có hai sn đ%nh nghĩa cna bien đoi Fourier cna hàm f là fˆ(ξ) = ¸ f (x)e −ix.ξ , ξ ∈ R n và

uˆ f

, thì chúng có đong nhat hay không?

Câu trá lòi là khang đ%nh, và chúng ta xem hàm suy r®ng uˆ f là tương

úng vói hàm fˆ Ta có the chí ra đieu này như sau:

(uˆ f , φ) = .u f , φˆ.

=

V¾y uˆ f ≡ fˆ.

¸ f φˆdx =