Các loại Tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng

Định nghĩa1.1.1.Khônggiantuyếntính gọilàphépcộngvàphépnhânvớivôhướng: PhépnhânvôhướngxácđịnhtrênF´Xvàlấygiá trịtrongX: gọilàmộtkhônggiantuyếntínhnếucácđiềukiệnsauthỏamãn:... Tathườnggọiá

côngcụgiảitíchvàkhônggianvectơ.Chínhđiềuđóđãmởrộngphạmvinghiêncứuchocácngànhtoánhọc.Vớimongmuốnđượcnghiêncứu,tìmhiểusâusắcvềbộmônn ày vàbướcđầutiếpcậnvớicôngviệcng

hiêncứukhoahọccùngvớisựgiúpđỡcủat hầ TạNgọcTrí,emđãchọnđềtài:“Cácloạitôpôthườnggặptrongkhônggiancáctoántửtuyếntínhbịchặnvàquanhệgiữachúng”

3 Mụcđíchnghiêncứu

Bướcđầulàmquenvớicôngviệcnghiêncứukhoahọcvàtìmhiểusâuhơnvềtôpô,mộtnộidungkháquenthuộc,baohàmnhiềutínhchấtđặctrưngvàtổngquátc ủ a giảitíchhàm.Đặcbiệtl à b a loạit ô p ô thườngg ặ p trongkhônggiancáctoántửtuyếntínhbịchặn

Khóaluậntốtnghiệp ĐỗThịLan–K33CSPToán

4 Phươngphápnghiêncứu

Đọctàiliệu,phântích, sosánhtổnghợp

Trongthờigianhọctập,nghiêncứuemđãnhậnđượcsựquantâm,giúpđ ỡ tậntìnhcủacácthầycôtrongkhoaToán,cácthầycôtrongtổGiảitíchvàđặcbiệtlàTS.TạNgọcTrí,ngườiđãtrựctiếphướngdẫnem,đểemcóthểhoànthànhtốtkhóaluậntốtnghiệpđạihọcnày.EmxinbàytỏlòngbiếtơnsâusắctớicácthầycôtrongkhoaToán,cácthầycôtrongtổGiảitíchvàTS.TạNgọcTrí

Cuốicùngemxinchúccácthầycôcùnggiađìnhmạnhkhỏe,hạnhphúcvàthànhcôngtrongcuộcsống

HàNội,tháng5năm2011Sinhviên

ĐỗThịLan

NỘIDUNG Chương1.KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ

Trướckhitìmh i ể u v ề cácloạitôpôthườngg ặ p trongkhônggianc á c toántửtuyếntínhbịchặn,chúngtacầnnắmđượcmộtsốkiếnthứccơbản.Chương1nàynhắclạimộtsốkiếnthứccơbảnđó.Cáckháiniệmvàkếtquảtrìnhbàytrongchươngnàyđượcthamkhảoởcáctàiliệu[1],[2],[3],[5]và[6]

1.1 Khônggiantuyếntính

Ởmụcnày,t a đinhắclạimộts ố kiếnthứcv ề khônggiantuyếntính

Nhữngkháiniệmvà kếtquảởđây đượcthamkhảotrongtàiliệu[3]

Định nghĩa1.1.1.(Khônggiantuyếntính)

gọilàphépcộngvàphépnhânvớivôhướng):

PhépnhânvôhướngxácđịnhtrênF´Xvàlấygiá trịtrongX:

gọilàmộtkhônggiantuyếntínhnếucácđiềukiệnsauthỏamãn:

¡

NếuF=¡thìXđượcgọilàkhônggiantuyếntínhthực.NếuF=£ t h ì Xđượcgọilàkhônggiantuyếntínhphức

1.3 Khônggianđịnhchuẩn

thứcmởđầuvềkhônggianđịnhchuẩn,vàcáckiếnthứcvềtoántửtuyếntínhbịchặn.Cáckháiniệmvàkếtquảnàyđượcthamkhảotrongcáctàiliệu[1]và[5]

2)( x X)( P) ax= a x;

1) (x , x X)A(x+x ) =Ax+Ax;

Tathườnggọiánhxạtuyếntínhlàtoántửtuyếntính.KhiY=Pthìtoánt ử Athường gọilàphiếm hàm tuyếntính.

ChohaikhônggianđịnhchuẩnXvàY.KíhiệuB(X,Y)làtậphợptấtcảcáctoántửtuyếntínhbịchặntừkhônggianXvàokhônggianY.TađưavàoB(X,Y)haiphéptoán:

TổngcủahaitoántửA,AB(X,Y)làtoántử,kýhiệuA+A,xácđịnhbằnghệthức:(A+A)(x) =Ax+Ax ,x X.

TíchcủavôhướngP(P=¡h o ặ cP=£)vớitoántửAB(X,Y)làtoántử,kýhiệulàA,xácđịnhbằnghệthức(A)(x)=(Ax)

DễdàngkiểmtraA+AB(X,Y),A B(X,Y)vàhaiphéptoántrênđâythỏamãnh ệtiênđ ề tuyếntính;TậpB(X,Y)trởthànhmộtkhônggiantuyếntínhtrêntrườngP

A= s u p Ax

x=1

DễthấycôngthứctrênthỏamãnhệtiênđềchuẩnvàkhônggiantuyếntínhB(X,Y)trêntrườngPtrởthànhkhônggianđịnhchuẩn

SựhộitụtrongkhônggianđịnhchuẩnB(X,Y)gọilàsựhộitụđềucủad ã y toánt

ớimỗixX,

lim

Hệq u ả 1.4.1.Côngthức x= x,x, v ớ i mỗix

Xx á c địnhmộtchuẩntrênkhônggianX

hônggian táchđược.

Địnhnghĩa1.4.7.KhônggianB(H,

kýhiệulàH*.MỗiphầntửcủaH*đượcgọil à phiếmhàmtuyếntínhliêntục

Địnhlý1.4.7.ChoA l à toánt ử bịchặná n h x ạ k hônggianHilbertX vàokhônggian

2)(AB)*= A*

B*.3)(A*)=A

.Khiđótacũngnóitôpô yếuhơntôpô

Vídụ 1.5.1.4.Tôpôthôlàtôpôyếunhấtvàtôpôrờirạclàtôpômạnhnhấttrêncùngm

ộttậphợpX

Địnhnghĩa1.5.1.6.(Lâncận)Giảsử(X,t) làkhônggiantôpô,A X

nx¹

làkhônggianHausdorffnếuvớimọix,yX,x¹y,tồntạimộtlâncậnUcủaxvàmộtlâncận VcủaysaochoUV= Khônggiannàycònđượcgọilàkhônggiantách.

(i=1,n)l à mộtcơ sở củatôpôt.

i

Địnhnghĩa1.5.1.13.TrongkhônggiantôpôXtanóimộtdãy{xn}Xhộit ụ tớiđiểmx(hoặcxlàgiớihạncủaxn)vàviếtxnxnếuvớimọilâncậnVchotrướccủaxđềutồntạin0saochoxnVvớimọinn0.

I

Địnhnghĩa1.5.1.16.Mộtlướitrongkhônggiantôpô(X,t) làmộtánhxạtừtậpđượcđịnhhướngIvàoX Kýhiệulà:(x)

TanóitlàmộttôpôvéctơtrênkhônggianvéctơX,hoặcnóitl à mộttôpôtươnghợpvới

Địnhlý1.5.2.3.ChoBlàmộtcơsởlâncậntrongkhônggiantuyếntínhtôpô

X.KhônggianXlàkhônggianHausdorffkhivàchỉkhivớimỗix¹ 0đềucómộtVBkhôngchứaxtứclà:

Vídụ1.5.2.3.Tấtcảcáckhônggianđịnhchuẩnđềulàlồiđịaphương.

Chương2 CÁCHXÁCĐỊNHTÔPÔQUANỬACHUẨN

chỉrarằngmộth ọ nửachuẩntrênmộtkhônggianvéctơsinhramộttôpôtươnghợpvớicấutrúckhônggianvéctơđó,vàtađitìmhiểumộtsốtínhchấtcủatôpôsinhbởih ọ nửachuẩn.Cáckháiniệmvàkếtquảtrìnhbàyởđâyđượcthamkhảoởtàiliệu[6]

2.2 Tôpôcảmsinhbởimộthọnửachuẩn.

Chop={p:

I } làhọcácnửachuẩntrênmộtkhônggianvéctơX.Tươngtựnhưsựkháiquátvềmộthìnhcầumởtrongmộtkhônggianđịnhchuẩn,taxéttập

V(x0,p1, p2,…,pn;r)={x X:pi(x x0)< r,1 i n}

trongđóx0X,r> 0 và p1,p2,…,pnl àmộttậphữuhạncácnửa chuẩntrong

xâydựngmộttôpôtrênXgiốngnhưviệctasửdụngcáchìnhcầumởđểxâydựngmộttôpôtrongkhônggianđịnh

t t t

chuẩn.Thậtvậy,nếuhọnửachuẩnchỉgồmmộtnửachuẩnthìnửachuẩnđóc ó thểtrởthànhmộtchuẩn.Lúcđó,việcxâydựngcủachúngtasẽđemlạichínhxácmộttôpôchuẩnthôngthườngtrênX Chúýrằng

V(x0,p1, p2,…;r)=x0+V(0,p1,p2,…;r)

ĐiềunàyđượcsửdụngđểđịnhnghĩacơsởlâncậnđịaphươngtạimỗiđiểmxXthôngquacáctậpnhưtrên

Đểxâydựngmộttôpôquamộthọnửachuẩntađixétđịnhlýsau:

Địnhlý2.2.1.ChoXlàmộtkhônggianvéctơtrêntrườngKvàplàmộthọc á c nửachuẩntrênX.VớimỗixX,takýhiệuNxlàtậphợptấtcảcáctậpconcủaXcódạngV(x,p1,

B.GiảsửrằngU=V(x,p1,…,pm;r)vàV=V(x,q1,

…,qn;s).ĐặtW=V(x,p1,…,pm,q1,…,qn;t)trongđót=min{r,s}

Đặtx Xvà U Nx.TasẽchỉrarằngUlàmở Giảsửrằng

U=V(x,p1,…,pn;r)và z U.

Bâygiờ, tagiảsửrằng(tv,xv)®(t,x)trongK X.ĐặtV(tx,p1,

…,pn;r)làmộtcơ sởlâncậncủatx.Đốivớibấtkỳ > 0 và s >0,tồntạiv0s a ocho

Vìvậytvxv V(tx,p1,…,pk;r)khiv v0.Takếtluậnrằng(t,x)a

txlàliênt ụ c vàdođótl àmộtkhônggianvéctơtôpôtrênX

) )

|p(x) p(xv)| p(x xv)<

khiv v0v àđiềuđóchứngtỏp:X®¡liêntục

Địnhlý2 2.2.Chotl à mộtkhônggianvéctơt ô p ô trênmộtkhônggian

véctơXxácđịnhbởihọnửachuẩnp.Mộtlưới(xv)hộitụtới0trong(X,t)khivàchỉkhip(xv)®0vớimọipp

Chứngminh.

Giảsửrằngxv®0trong(X,t) Thìp(xv)®p(0)=0vớimọip

p,vìmỗip nhưvậylàliêntục

1 Thìtồntạiv0saochopi(xv)<rkhiv v0,1 i m

DođóxvV(0,p1, …,pm;r) khivv0 Suyraxv®0

Chúý2.2.1.Sựhộitụcủamộtlưới(xv)đếnxthìchưachắcđã

đượcsuyratừs ự hộitụcủap(xv)®p(x)trong¡ vớimỗipp.Th t ật vậy,vớix¹0bấtkỳv

àppbấtk ỳ ,p ( ( 1)nx)®p(x),khin®,nhưng( 1)nx®xl à khôngđúngnếu(X,t)

Hệq u ả 2.2.1.Tôpôtx á cđịnhbởimộth ọ nửachuẩnchotrướctrênmộtkhônggian

ốđịnh,phéptịnhtiếnxax +x0liêntục

Chứngminh.

Ngượclại,nếucó(iii)thìtồntạimộtsốlâncậnVcủa0vàmộtsốhằngsốC>0thỏamãn|(x)|<CvớixbấtkỳthuộcX.Suyravới >0bấtkỳ,

|(x)|< khix CVvà vìvậy liêntụctại0.Đâylà (i).

X

Chương3.CÁCLOẠITÔPÔ THƯỜNGGẶPTRONGKHÔNGGIANCÁCTOÁN TỬTUYẾNTÍNHBỊCHẶNVÀQUANHỆGIỮACHÚN

G

Chúngt avừađượcbiếtvềtôpôsinhbởih ọ nửachuẩn.Trongchươngnày,chúngtasẽđitìmhiểubaloạitôpôsinhbởicáchọnửachuẩn,đóchínhl à batôpôthườnggặptrongB(X,Y)-

KhônggiancáctoántửtuyếntínhbịchặntừmộtkhônggianBanachXđếnmộtkhônggianBanachYkhác.ĐặcbiệttađitìmhiểuvềbaloạitôpôđótrongtrườnghợpXY H,vớiHlàmộtkhônggianHilbert,đồngthờixétquanhệgiữachúngvàmộtsốtínhchấtc

ủ a

b a loạitôpôđó.Cáckháiniệmvàkếtquảtrìnhbàyởđâyđượcthamkhảotrongcáctàiliệu[4]và[5]

3.1 Cácl o ạ i tôpôt h ư ờ n g gặptrongkhôngg i a n c á c t o á n t ử

tuyếntínhbịchặnB(X,Y).

Tak ý hiệukhônggiancáctoánt ử tuyếntínhbịchặnt ừ khônggianBanachXđếnmộtkhônggianBanachYkháclàB(X,Y).Địnhlý1.3.4chot h ấ y khônggianB(X,Y)làkhônggianBanachvớichuẩn:

T =sup

xÎX,x¹0

Cóbaloạitôpôthườnggặptrongkhônggiancáctoán

tửbịchặnB(X,Y).Đólà:Tôpôchuẩn,tôpôtoántửmạnhvàtôpôtoántửyếu.Bâygiờtasẽđiđịnhnghĩabaloạitôpôđó

(Tôpôchuẩn)TôpôcảmsinhtrênB(X,Y)đượcgọilàtôpôchuẩnhaytôpôđềuhaytôpô

toántửđều.

Định nghĩa3.1.2.(Tôpôtoántửmạnh(Strongoperatortopology))

ii =1

*

TôpôtoántửmạnhlàtôpôyếunhấttrênB(X,Y)cótínhchấtlàmchotấtc ả cácánhxạEx:B(X,Y)®YđượcxácđịnhbởiEx(T)=TxlàliêntụcvớimọixX

CónhiềutôpôđượcđịnhnghĩatrênkhônggianB(H).Cáctôpônàyđềul à lồiđịaphươngvàđượcđịnhnghĩabởihọcácnửachuẩn.Cáctôpôthường

gặptrênB(H)làtôpôchuẩn,tôpôtoántửyếuvàtôpôtoántửmạnh.Bâygiờtađiđịnhnghĩabatôpôđó.

Địnhlý3.2.1.XéttrênkhônggianB(H).ChoTnlàmộtd ãy cáctoántử bịchặnvàgiảs

Từ địnhlý3.2.2.vàđịnhnghĩa1.5.1.13 tasuyrađiềuphảichứngminh

-1

Định lý3.2.4.CácmệnhđềsaulàđúngtrongB(H)

Chứngminh.

N:Suyravớimọin N:

Điềunàysuyra làvớimọin N,An ,chothấy An®0.

vàkhoảngcáchcủaythôngthườnglà0vớikhoảngcáchcủax.Vìvậy,khikhônggianHilbertởdướilàvôhạnchiều,thìđiềunàycóthểxảyra.Thựctế,chúngtaluôngiảsửrằngkhônggianHilbertởdướilàvôhạnchiều,bởivìnếukhôngtấtcảcáctôpôlàtrùngnhau

AA

Nếuphépnhânlàliêntụcmạnh,thìtrongtrườnghợpđặcbiệtnóliêntụcmạnhtrongcáccặpcódạng(A,A)

Chứngminhnhưtrêntrongđóchỉcầnthaytấtcảnhữngchỗmạnhlàyếut a

s ẽđượcđiềucầnchứngminh

Định lý3.2.6.

1) Phépnhânphảithìliêntụcmạnhvàyếu.Tứclà,choBcốđịnh,ánhxạB(H)B(H)địnhnghĩabởiAaABliêntụcmạnhvàyếu

2) Phépnhântráiliêntụcmạnhvàyếu.Tứclà,choAcốđịnh,ánhxạB(H)B(H)đượcđịnhnghĩabởiBaABliêntụcmạnhvàyếu.

2 Đốivớiphépnhântrái:

Địnhlý3.2.7.Chuẩn(tứchàmT®T ) liêntụcđốivớitôpôchuẩnvàgiánđoạnđốivớicáctôpô toántửmạnhvàtôpô toántửyếu.

làkhôngthểđốivớikhônggianhữuhạnchiều,nhưngchúngtađangxétvớikhônggianvôh ạnchiều),v à đ ặ tPnlàdãyt o á n tửchiếu(trựcgiao)tươngứng

Dãy Pnhộitụmạnhtới0

khôngđổinóbằng1,vìvớibấtkìphépchiếutrựcgiaonàotađềucó:

U(x0,x1,x2, )=(x1,x2,x3, )(Dịchchuyểntọađộsangtrái)TakhẳngđịnhAk®0mạnh,nhưngdãyA*khônghộitụmạnhtới0*= 0

Akx ®0vớimỗix , thì A

kx®0v ớimỗix , dođ ó Ak®0

Trongluậnv ă n n à y emđãnghiêncứumộts ố vấnđ ề c ơ bảnsa u đây:cáchxácđịnhtôpôquanửachuẩn,baloạitôpôthườnggặptrênkhônggianc á c toántửtuyếntínhbịchặnvàquanhệgiữachúng

Luậnvănmangtínhtổngquannhưngemđãchứngminhmộtsốđịnhlýbổđềvàđưaracácvídụcụthểlàmrõhơnmộtsốtínhchấtđểhiểurõvềcácvấnđ ề trongluậnvănđ

ã đ ề cập.Mongrằngnól à mộtt à i liệubổíchchonhữngaiquantâmđếnvấnđềnày.Dothờigiancóhạnvàchưacókinhnghiệmtrongcôngtáclàmnghiêncứukhoahọcnênkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Rấtmongđượcsựđónggópýkiếncủacácthầycôgiáovàcácbạnđọc

Trướckhikếtthúckhóaluậne m xinđượcgửilờicảmơnc h â n thànhnhấttớicácthầycôgiáotrongkhoatoán,đặcbiệtlàTS.TạNgọcTríngườiđ ã tậntìnhchỉbảovàgiúpđỡemtrongsuốtthờigianquađểemcóthểhoànthànhkhóaluậnnày

HàNội,tháng5năm2011Sinhviên

ĐỗThịLan

[1]NguyễnPhụHy(2006),Giảitíchhàm,NXBKhoahọcvàKỹ thuật.

[2]NguyễnXuânLiêm(1994),Tôpôđạicương-Độđovàtíchphân,NXBGiáodục [3]HoàngTụy(2003),Hàmthực vàgiảitíchhàm,NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội [4]V.H.Moscovich,Norm,strong,andw e a k operatortopologiesonB(H).