Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Lí do chon đe tài Bien đoi Laplace là m®t bien đoi tích phân và cùng vói bien đoi Fourier là hai bien đoi rat huu ích, các bien đoi này thưòng đưoc sú dung đe vi¾cgiái quyet các bài toán

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Tác giá

Pham Th% Hong Nhung

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p "Bien đoi Laplace và Nng dnng trong vi¾c giái phương trình vi phân" đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ

khóa lu¾n nào khác

Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Tác giá

Pham Th% Hong Nhung

Mnc lnc

Má

đau 1

Ch ương 1 Kien th Nc c huan b% 4

1.1 So phúc 4

1.2 M®t so van đe cơ bán v e phương trình vi phân 5

Ch ương 2 Bien đ o i Lapla ce 7

2.1 M®t so khái ni¾m 7

2.2 Sn h®i tu 10

2.3 Đòi hói tính liên tuc 11

2.4 Lóp L 12

2.5 Các tính chat cơ bán cna bien đoi Laplace 15

2.6 H®i tu đeu 16

2.7 Bien đoi Laplace ngưoc 18

2.8 Các đ%nh lý bien đoi 22

2.9 Đao hàm và tích phân cna bien đoi Laplace 25

Chương 3 Áp dnng cúa bien đoi Laplace trong vi¾c giái phương trình vi phân thưàng 28 3.1 Bien đoi Laplace cna đao hàm 28

3.2 Phương trình vi phân vói h¾ so hang so 31

3.3 Nghi¾m tong quát 35

3.4 V an đe giá tr% biên 36

3.5 Phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc 37

Ph n lnc 41

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Bien đoi Laplace là m®t bien đoi tích phân và cùng vói bien đoi Fourier

là hai bien đoi rat huu ích, các bien đoi này thưòng đưoc sú dung đe vi¾cgiái quyet các bài toán trong lĩnh vnc v¾t lý Qua bien đoi Laplace, các phéptoán giái tích phúc tap như đao hàm, tích phân đưoc đơn gián hóa thànhcác phép toán đai so (giong như cách mà hàm logarit chuyen phép toánnhân các so thành phép c®ng logarit cna chúng) Nhò m®t so tính chat riêngcna nó mà bien đoi Laplace đ¾c bi¾t huu ích trong giái các phương trình

vi phân thưòng, phương trình đao hàm riêng, phương trình tích phân, .Nhung phương trình thu®c lĩnh vnc đó thưòng xuat hi¾n trong các bài toánv¾t lý, trong phân tích mach đi¾n, xú lý so li¾u, dao đ®ng đieu hòa, các bàitoán cơ hoc, Qua bien đoi Laplace các phương trình này có the chuyenthành các phương trình đai so đơn gián hơn Nghi¾m cna các phương trình

đó là các hàm ánh trong không gian P , chúng ta dùng bien đoi Laplace ngưoc đe có lai hàm goc trong không gian thnc t.

Ve l%ch sú cna bien đoi Laplace có the nói điem xuat phát tù năm

1744, Leonhard Euler đã sú dung các bien đoi tích phân

dung phép tính tích phân đe giái các phương trình vi phân Đen năm

1785, ông

đã đưa ra các bien đoi tích phân (bien đoi Laplace) mà sau này đã tró nênrat pho bien, tù tích phân dang

¸

Tương tn vói bien đoi Mellin, qua bien đoi Laplace các phép toán viphân tró thành các phép toán đai so Sú dung các phép bien đoi ngưoc,ngưòi ta tìm ra lòi giái cna phương trình Đe tiep c¾n vói lý thuyet này vàhieu biet phan nào nhung úng dung cna nó, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi

hưóng dan em chon đe tài “Bien đoi Laplace và Nng dnng trong vi¾c giái phương trình vi phân” đe hoàn thành khóa lu¾n Tot nghi¾p Đai

hoc chuyên ngành Toán giái tích

Đe trình bày đưoc van đe theo muc đích đ¾t ra, chúng tôi bo cuc khóalu¾n thành 03 chương và m®t báng phu luc ve báng bien đoi Laplace cnacác hàm cơ bán

Chương 1 Chúng tôi trình bày m®t so kien thúc căn bán ve so phúc,

m¾t phang phúc cùng m®t so van đe ve hàm bien phúc Muc đích chínhcna khóa lu¾n là sú dung bien đoi Laplace đe giái phương trình vi phân,nên trong phan này chúng tôi cũng trình bày m®t so kien thúc căn bánnhat ve phương trình vi phân thưòng

Chương 2 Chương này dành cho trình bày m®t so van đe cơ bán ve

phép bien đoi Laplace gom: khái ni¾m và các tính chat cna phép bien đoiLaplace; Van đe h®i tu cna bien đoi Laplace; Bien đoi Laplace ngưoc vàcác phương pháp tìm bien đoi Laplace ngưoc cna m®t hàm cho trưóc; Đaohàm và tích phân cna bien đoi Laplace

Chương 3 Đe có the sú dung bien đoi Laplace cho muc đích chính

trong vi¾c giái phương trình vi phân thưòng, chúng ta can đen bien đoiLaplace đoi vói đao hàm cna m®t hàm cho trưóc Ket quá đó cũng đưocchúng tôi trình bày m®t cách chi tiet trưóc khi v¾n dung nó vào muc đíchchính cna chương này cũng là muc đích cna bán khóa lu¾n - sú dung bienđoi Laplace đe giái phương trình vi phân

2 Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu ve bien đoi Laplace và áp dung cna nó trong vi¾c giái phươngtrình vi phân thưòng

3 Đoi tưang nghiên cNu

Nghiên cúu ve phương trình vi phân thưòng và bien đoi Laplace;Úng dung cna bien đoi Laplace trong vi¾c giái phương trình vi phânthưòng cna m®t so bài toán cu the

4 Phương pháp nghiên cNu

Tra cúu tài li¾u, tong hop và theo sn chí đao cna ngưòi hưóng dan đehoàn thành muc đích đ¾t ra

Chương 1 Kien thNc chuan b

%

Đ%nh nghĩa So phúc là so có dang z = x + iy; vói x, y ∈ R và i

là đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x là phan thnc và y là phan áo, kí hi¾u

M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là truc thnc, Oy là truc áo.

Phép c®ng và phép nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông thưòng

như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)và

z1.z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) Vói moi so phúc z = x + iy ta xác đ%nh modul cna so phúc z là

So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc kí hi¾u là z = x − iy

Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc

Rez = z +

z ¯

2

; Imz =

z −

z ¯

2

i

Bói vì e .iθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc Ox

và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z Cuoi cùng, ta lưu ý rang neu z = r.e iθ và w = s.e iϕ thì z.w = r.s.e i(θ+ϕ)

1.2.1 Đ%nh nghĩa

Phương trình vi phân là m®t phương trình chúa hàm can tìm và cácđao hàm cna nó Neu hàm can tìm chí phu thu®c m®t bien đ®c l¾p, thìphương trình đó đưoc goi là phương trình vi phân thưòng Neu hàm cantìm phu thu®c hai ho¾c nhieu bien đ®c l¾p thì phương trình đưoc goi làphương trình vi phân đao hàm riêng

Trong khóa lu¾n này, chúng tôi chí xét phương trình vi phân thưòng.Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong quát

trong đó F là hàm xác đ%nh trong m®t mien G nào đó cna không gian R n+2 gom bien đ®c l¾p x và y là hàm cna bien đ®c l¾p cùng các đao hàm cap m®t đen cap n cna nó Cap cna m®t phương trình vi phân thưòng đưoc

xác đ%nh bói cap cao nhat cna đao hàm xuat hi¾n trong phương trình đó.Neu tù phương trình (1.1) ta tìm đưoc bieu dien cna đao hàm cap cao nhat

y(n) qua các bien còn lai, thì ta nói phương trình giái ra đưoc đoi vói y(n)

ho¾c còn goi phương trình dang chính tac, túc là phương trình (1.1) códang dưói đây

2

y(n) = f .x, y, y t , , y(n−1) . (1.2)

Nghi¾m cna phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khá vi

cong tích phân cna phương trình đã cho Đe giái phương trình vi phân tacũng dùng thu¾t ngu “tích phân phương trình vi phân” vì lý do này

1.2.2 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghi¾m y = y(x) cna phương trình (1.2) xác đ%nh trên

khoáng (a, b) nào đó thoá mãn đieu ki¾n

Đ%nh lý 1.1 (Ton tai duy nhat nghi¾m) Cho phương trình vi phân cap n

dang chính tac

Neu ve phái cúa phương trình trên là m®t hàm liên tnc cúa n + 1 bien

y

đao hàm riêng

(n−1

) 0

thóa mãn đieu ki¾n đau (1.3).

0

0

Chương 2 Bien đoi Laplace

τ→∞

Bien đoi Laplace cna hàm f (t) đưoc goi là ton tai neu tích phân (2.1)

h®i tu trong m®t mien nào đó Trưòng hop tích phân trên phân kỳ thì ta

nói không ton tai bien đoi Laplace xác đ%nh đoi vói hàm f

Ký hi¾u L(f ) đưoc sú dung cho bien đoi Laplace cna hàm f , và tích phân trên là tích phân Riemann thông thưòng vói c¾n vô t¾n Hàm F (s)

đưoc goi là hàm ánh cna bien đoi Laplace Phép bien đoi Laplace đưoc

goi là thnc hay phúc neu bien so s cna hàm ánh F (s) là thnc hay phúc Tham so s thu®c m®t mien nào đó trên đưòng thang thnc ho¾c trong m¾t phang phúc Chúng ta se chon s thích hop sao cho tích phân (2.1) h®i tu Trong toán hoc cũng như trong ky thu¾t, mien cna bien s đóng m®t vai

trò het súc quan trong Tuy nhiên, trong m®t trưòng hop đ¾c bi¾t, khi các

phương trình vi phân giái đưoc, mien cna tham so s thưòng không can xét đen Khi bien s là phúc ta thưòng sú dung ký hi¾u s = x + iy Ký hi¾u

L là bien đoi Laplace, nó tác đ®ng lên hàm f = f (t) và sinh ra m®t hàm mói theo bien s là hàm F (s) = L (f (t)).

¸

− s

đoi Laplace

Neu s là bien phúc vói Re(s) > 0 thì bang tính toán tương tn ta cũng có

L(1) = 1 Thnc v¾y, đe có the kiem tra tính toán trên đây, ta can đen công

s

thúc Euler

e iθ = cos θ + i sin θ, θ thnc. (2.4)

Dĩ nhiên, ta có e .iθ = 1 Chúng ta can chúng tó (có the bó qua đi dau trùcũng như nhung c¾n lay tích phân đe đơn gián hóa sn tính toán)

st

s vói so phúc tùy ý s = x + iy khác 0 Đe thay đieu này, theo công

¸

¸

Như v¾y đang thúc (2.5) đưoc chúng minh.

Thêm nua, chúng ta cũng thu đưoc đang thúc (2.3) vói tham so phúc s

neu lay Re(s) > 0 Bói vì

nên ta nh¾n đưoc giói han trong (2.3)

Sú dung ket quá trên đây, chúng ta có the tính đưoc L (cos ωt) và L (sin

Laplace L và các tích phân là toán tú tuyen tính, ta suy ra

L .e iωt + L

L (sin ωt) = 1 1

s − iω

ω

=

1

vói moi cách chon cna bien s vì tích phân không b% ch¾n khi τ → ∞.

Đe có the nghiên cúu sâu hơn ve bien đoi Laplace, chúng ta can phân bi¾thai dang h®i tu cna tích phân Laplace

nghĩa thông thưòng như trong đ%nh nghĩa (2.1).

Có m®t dang khác cna sn h®i tu đóng vai trò quan trong nhat theo khíacanh cna Toán hoc.

2.2.2 Đ%nh nghĩa

Tích phân (2.1) đưoc goi là h®i tu đeu đoi vói s trong m®t mien Ω nào

đó cna m¾t phang phúc neu vói moi ε > 0 ton tai so τ0 sao cho vói moi

.¸∞

τ

Như trên ta đã biet có the tính đưoc bien đoi Laplace cna m®t so hàmnày cũng như không the tính đưoc đoi vói m®t so hàm khác, chúng ta mongmuon biet đưoc m®t lóp các hàm có bien đoi Laplace Có m®t lóp các hàmnhư v¾y mà trên đó có m®t chút han che đoi vói chúng Trưóc het ta đưa

ra m®t khái ni¾m đám báo cho sn ton tai các lóp hàm như v¾y

2.3.1 Đ%nh nghĩa

M®t hàm f đưoc goi là gián đoan nháy (gián đoan loai m®t) tai điem

t0 neu ton tai và huu han cá hai giói han

có điem gián đoan tai t = 3, nhưng không

là điem gián đoan nháy tai đó vì lim f (t) = .

khi t > 0

 0 khi t < 0

có điem gián đoan nháy tai t = 0 và nó liên tuc tai các điem còn lai.

2.3.3 Đ%nh nghĩa

M®t hàm f đưoc goi là liên tuc tùng khúc trên đoan [0, ∞) neu thóa

mãn các đieu ki¾n dưói đây

(i) Ton tai giói han

lim

t→0+

= f (0+);

(ii) f liên tuc trên moi đoan (0, b) trù ra tai m®t so huu han điem

Tù đ%nh lý Weierstrass chúng ta nh¾n đưoc ket quá hien nhiên sau đây2.3.4 M¾nh đe

Hàm f liên tuc tùng khúc trên đoan [0, ∞) thì b% ch¾n trên moi đoan con, nghĩa là ton tai các hang so M i > 0 sao cho

M®t hàm f có b¾c mũ α neu ton tai hang so M > 0 và m®t so α sao

Lưu ý rang neu β > α thì b¾c mũ α kéo theo b¾c mũ β vì e αt ™ e βt vói moi

ton tai bien đoi Laplace

2.4.3 Đ%nh lý

Chúng minh Trưóc het ta có

Hơn nua, hàm f liên tuc tùng khúc trên đoan [0, t0] và do đó b% ch¾n trên

đoan đó Khi đó ton tai so dương M2 sao cho

Bói vì hàm e αt có m®t cnc tieu dương trên đoan [0, t0], nên ta có the

chon đưoc m®t hang so dương M đn lón sao cho

=

Vói Re(s) > α Vi¾c tính toán tương tn cũng nh¾n đưoc ket quá vói so phúc α mà Re(s) > Re(α).

Ví dn 2.7 Áp dung tích phân tùng phan đoi vói hàm f (t) = t(t ≥ 0)

liên tuc và có b¾c mũ, ta nh¾n đưoc

[0, ∞) nhưng không có b¾c mũ Tuy nhiên, bien đoi Laplace cna nó

¸∞

L (f (t)) =

0

2te t2cos .e t2 dt

ton tai vì bang phương pháp tích phân tùng phân ta suy ra

Ngưòi ta tính đưoc bien đoi Laplace cna nó khi xét đen hàm gamma Trong

khi hàm đó có b¾c mũ α = 0 (|f (t)| ™ 1, t > 1) nhưng nó không liên tuc

vói các hang so tùy ý c1 và c2

Chúng minh Tính chat này cna bien đoi Laplace đưoc suy ra tù đ%nh nghĩa

và tính chat tuyen tính cna tích phân

Chúng ta cũng đã thay trong đ%nh lý 2.4.3, các hàm f liên tuc tùng

khúc trên [0, ∞) và có b¾c mũ, tích phân Laplace h®i tu tuy¾t đoi, nghĩa

t0

¸

e

−(x − α). t x − α

0

Vói Re(s) > α Lay x > x0 > α, ta nh¾n đưoc m®t ch¾n trên cna bieu

Chon t0 đn lón ta có the là cho so hang bên ve phái cna (2.12) nhó tùy

ý, nghĩa là vói moi ε > 0, ton tai so T > 0 sao cho

.¸

t0

vói moi giá tr% cna s mà Re(s) “ x0 > α Đây là đieu ki¾n đòi hói ve

tính h®i tu đeu cna tích phân Laplace trong mien Re(s) “ x0 > α.

Ý nghĩa quan trong cna tính h®i tu đeu cna bien đoi Laplace là không cannhan manh nhieu, vì nó là m®t công cu hi¾u lnc trong nhieu phép chúngminh cna các ket quá

này, chang han các hàm

s

đoi Laplace cna bat cú hàm f nào s − 1

, e

s + 1 s

ho¾c s2, không the là bien

2.7 Bien đoi Laplace ngưac

2.7.1 M®t so khái ni¾m

Đe có the áp dung bien đoi Laplace tói các bài toán V¾t lý cũng nhưvi¾c giái các phương trình vi phân, chúng ta can đen phép bien đoi Laplacengưoc Neu L (f (t)) = F (s) thì bien đoi Laplace ngưoc đưoc xác đ%nh

vô han, ít nhat là khi ta xét các hàm không liên tuc

Trong phan này, chúng ta se chí ra nhung đieu ki¾n đe m®t hàm nào

đó là hàm ánh, nghĩa là ton tai hàm goc cna nó Đong thòi, ta cũng chí rarang neu hàm goc ton tai là duy nhat

là xác đ%nh duy nhat và ta có the nói ve hàm ngưoc, L−1 (F (s)) Đây

chính là nhung gì chúng ta se làm trong phan tiep theo Bói vì nhieu hàmchúng ta se đe c¾p tói, chúng là nghi¾m cna các phương trình vi phân và

dĩ nhiên chúng liên tuc Do đó giá thiet trên là đn cho nhung gì chúng tacan đen Khi đó, chúng ta có the viet

vói L−1 f (t)) = F (s), L −1 (g(t)) = G(s) Đieu này đưoc suy ra tù tính

chat tuyen tính cna L và đang thúc đưoc xác đ%nh trong mien chung cna

Ví dn 2.13 M®t hàm quan trong xuat hi¾n trong h¾ thong mach đi¾n là

hàm bưóc nháy đơn v%

u a (t) =

1 khi t “ a

0 khi t < a vói moi a ≥ 0, khi a = 0 ta viet u a (t) = u(t) Ta tính toán bien đoi

(ii) Khai trien chuoi lũy thNa đoi vái hàm ánh

Giá sú hàm ánh cna bien đoi Laplace có khai trien chuoi lũy thùa



∞

(iii) Bien đoi Laplace ngưac cúa m®t phân thNc hÑu tý.

Nhieu úng dung cna phép bien đoi Laplace can đen vi¾c tìm bien đoi

ngưoc F (s) cna các phân thúc huu tý có dang