Hàm Theta và áp dụng của nó đối với bài toán phân tích số nguyền thành tổng các bình phương

Nguyễn Văn Hào,khóa luận tốt nghiệp "Hàm Theta và áp dụng của nó đốivới bài toán phân tích số nguyên thành tổng các bìnhphương" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi.. Thế

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giảitích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thànhkhóa luận tốt nghiệp

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài khôngtránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn những

ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào,khóa luận tốt nghiệp "Hàm Theta và áp dụng của nó đốivới bài toán phân tích số nguyên thành tổng các bìnhphương" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi

Trong quá trình làm đề tài, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

Mục lục

Mở

đ ầ u 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Số ph ức v à mặt phẳn g ph ức 4

1.1.1 Các tính chất cơ bản 4

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức 5

1.2 Hàm biến ph ức 5

1.2.1 Hàm liên tục 5

1.2.2 Hàm chỉnh hình 6

1.2.3 Chuỗi lũy thừa 11

1.2.4 Không điểm và cực điểm 12

Chương 2 HÀM THETA 16 2.1 Công th ức t íc h đối với hàm Theta Jacobi 16

2.2 L uật biến đổi 24

2.3 Hàm si nh 28

Chương 3 HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG 32 3.1 Đ ị nh lý tổng hai b ì nh ph ươ n g 33

3.2 Đ ị nh lý b ố n b ì nh ph ươ n g 41

Kết l u ận 47

T ài liệ u tham khả o 48

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán biểu diễn một số nguyên n thành tổng bình phương của

các số nguyên cho trước là một trong những vấn đề nổi tiếng nhấttrong bộ môn lý thuyết số Lịch sử của nó được ẩn chứa trong các côngtrình của Diophantus Thế nhưng, nó thực sự xuất hiện từ các định lýcủa Girard và của Fecmat, nói rằng một số nguyên dạng 4m + 1 là

tổng của hai bình phương Hầu hết các nhà số học đã chú ý tới vấn đềtrên đây kể từ khi Fecmat đưa ra lời giải của bài toán và cho đến nay nóvẫn còn chứa đựng nhiều điều thú vị xung quanh vấn đề này

Trở lại đôi chút về lịnh sử của bài toán ai là người đầu tiên pháthiện ra điều này và khi nào? Vào dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày25.12.1640), nhà toán học vĩ đại Pier Fermat (1601-1665) đã gửi thông báocho Mersenne, bạn thân của Descartes và là “liên lạc viên” chính của các

nhà bác học đương thời rằng “Mọi số nguyên tố có số dư trong phép

chia cho 4 bằng 1 đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của hai bình phương”.

Thời đó chưa có các tạp chí toán học, tin tức được trao đổi qua các

lá thư và các kết quả thông thường chỉ được thông báo mà không kèmtheo chứng minh Gần 20 năm sau, trong bức thư gửi cho Carcavi vàokhoảng tháng 8 năm 1659, Fermat đã tiết lộ ý tưởng của phép chứngminh định lý trên Ông viết rằng ý tưởng chính của phép chứng minh làdùng

phương pháp xuống thang, cho phép từ giả thiết rằng định lý không đúngvới p = 4k + 1, suy ra nó không đúng với một số nhỏ hơn và cuối cùng

ta sẽ đi đến số 5, mà khi đó rõ ràng là mâu thuẫn vì 5 = 12 + 22

Những cách chứng minh đầu tiên được Euler (1707-1783) tìm ra trongkhoảng trong những năm 1742 − 1747 Hơn nữa, để tỏ lòng kính trọng

đối với Fecmat, Euler đã tìm ra phép chứng minh dựa theo đúng ýtưởng trên đây của Fecmat Vì vậy, người ta gọi định lý này là định lýFecmat − Euler.

Vấn đề của tổng hai bình phương và bốn bình phương không giải quyếtđược từ trước thế kỷ thứ 3 trước công nguyên cho đến khoảng những năm

1500 Nó chỉ được giải quyết đầy đủ nhờ có lý thuyết của hàm Theta cobi Trong toán học, hàm Theta là một hàm biến phức đặc biệt đóng vaitrò hết sức quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao gồm như: lý thuyết số; lýthuyết của đa tạp Abel; không gian modul và các dạng toàn phương; .Bởi tầm quan trọng của hàm Theta và được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Hàm Theta và áp dụng của

Ja-nó đối với bài toán phân tích số nguyên thành tổng cácbình phương” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp ngành Toán

Khóa luận được bố cục thành ba chương

Chương 1 Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiếnthức căn bản về số phức và mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, hàmliên tục, chuỗi lũy thừa, không điểm và cực điểm

Chương 2 Chương này dành cho việc trình bày một số kiếnthức quan trọng về hàm Theta Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra côngthức tích của hàm Theta Jacobi cùng một số luật biến đổi của nó Tiếptheo, chúng tôi xây dựng nên dãy hàm sinh nhằm mục đích phục vụcho việc trình bày các ứng dụng của hàm Theta trong chương 3

Chương 3 Chúng tôi trình bày ứng dụng của hàm Theta đối vớicác

định lý về tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hàm Theta Jacobi: định nghĩa,tính chất của nó

- Nghiên cứu ứng dụng của hàm Theta trong các định lý về tổng haibình phương, tổng bốn bình phương

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về hàm Theta

- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm Theta

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thườngnhư các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)và

Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z = x − iy

Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được

2i

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e iθ với r > 0, θ ∈

R được gọi là argument của số phức z(argument của số phức z được xác

định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và e iθ = cos θ + i sin θ.

Bởi vì ..e iθ. = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, ta

lưu ý rằng nếu z = r.e iθ và w = s.e iϕ thì z.w = r.s.e i (θ+ϕ)

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết

Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C Ta nói rằng f (z) liên tục

tại điểm z0 ∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương sau

i) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z = z0 < δ|

Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục Nếu hàm f (z)

là liên tục thì hàm được xác định bởi z ›→ |f (z)| cũng liên tục Điều đó

được suy ra từ bất đẳng thức tam giác

Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω Hàm f (z) được gọi là

chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức

f (z0 + h) − f (z0)

h

ở đó 0 ƒ= h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.

Giới hạn trên được ký hiệu bởi f t(z0) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)

tại điểm z0 Như vậy, ta có

f t (z0) = lim

h→0

f (z0 + h) − f (z0)

h

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.

Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh

hình trên một tập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hình trên C được

Ví dụ 1.2 Hàm f (z) = 1 là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C không

ta

h→0

có a = f t(z).

Từ công thức (1.2) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục.

Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức.Thực tế, ví dụ 1.3 đã cho ta thấy sự khác biệt đáng kể giữa khái niệm khả

vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến số Thực vậy, dướidạng biến thực hàm f (z) = z¯ tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y)

khả

vi theo nghĩa thực Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tínhđược cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàmriêng của các hàm tọa độ.

Nhớ lại rằng hàm F (x, y) = (u (x, y) , v (x, y)) được gọi là khả vi tại

Một cách tương đương, ta có thể viết

• Nếu h = h1 +ih2 mà h2 = 0, (h i ∈ R) thì ta viết z = x+iy, z0 =

Hàm F (x, y) khả vi theo nghĩa thực tại điểm P0 (x0, y0) nếu cả hai hàm

u(x, y) và v(x, y) là R2− khả vi, hay ta có thể viết

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z0 nào đó thì nó cũnghội tụ tại mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0| Bây giờ ta sẽ chứng minh luôn tồn tại mộtđĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối

∞

Định lý 1.1 (Hadamard) Cho chuỗi lũy

thừa

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.

a n z n Khi đó tồn tại

Chứng minh i) Đặt L = 1 , với R được xác định như công thức phát

a n|n

1nên |a n|n ≤ L + ε Do đó, ta có

|a n | |z| n ≤ ((L + ε) |z|) n = r n

Việc so sánh với chuỗi ∞

r n chứng tỏ chuỗi

R

|z| >

e R

z

Điểm kỳ dị của một hàm f là một số phức z0 sao cho f xác định trong

lân cận của điểm z0 nhưng không xác định tại chính điểm đó Chúng tacũng gọi những điểm đó là điểm kỳ dị cô lập Ví dụ, hàm f chỉ xác định trên

mặt phẳng thủng bởi f (z) = z thì gốc là điểm kỳ dị Dĩ nhiên, trong

trường hợp này hàm f có thể xác định ngay cả tại 0 bằng cách đặt f (0)

= 0, vì vậy thác triển nhận được là hàm liên tục và thực tế là hàm

nguyên (những điểm như vậy gọi là các điểm kỳ dị bỏ được) Điều thú

vị hơn là trường hợp của hàm g(z) = 1/z được xác định trong mặt phẳng

trong mặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm kỳ dị và cực điểm không nóilên điều gì Thực vậy, hàm h(z) tiến tới vô cực khi z dần đến 0 trên

trục thực dương, trong khi h(z) tiến đến 0 khi z dần đến 0 trên trục

thực âm Cuối cùng, hàm h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn,

khi z dần

đến 0 trên trục ảo

Vì kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu số của phân số triệt tiêu, chúng ta bắtđầu với một nghiên cứu địa phương của các không điểm của hàm chỉnhhình

Số phức z0 được gọi là không điểm của hàm chỉnh hình f nếu f (z0) =0

Đặc biệt, thác triển giải tích cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnhhình không tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu f là chỉnh hình

trong Ω và f (z0) = 0 với z0 ∈ Ω nào đó, thì tồn tại một lân cận mở

U của z0 sao cho f (z0) ƒ= 0 với mọi z ∈ U \ {z0}, trừ khi f đồng

nhất 0 Chúng ta bắt

đầu việc mô tả tính chất địa phương của hàm chỉnh hình gần một khôngđiểm

Định lý 1.2 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập

con mở liên thông Ω, có một không điểm tại z0 ∈ Ω và

không đồng nhất bằng không trong Ω Thế thì, tồn tại một lân cận U ⊂ Ω của z0, một hàm chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên U và một số nguyên dương duy nhất n sao cho

f (z) = (z − z0)n g(z) với mọi z ∈ U.

Chứng minh Vì Ω liên thông và f không đồng nhất 0, chúng ta khẳng

định rằng f không đồng nhất 0 trong một lân cận của z0 Trong đĩa đủnhỏ tâm tại z0 hàm f có khai triển chuỗi luỹ thừa

∞

f (z) = a k (z − z0)k

k=0

Vì f không đồng nhất 0 gần z0, nên tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất

sao cho a n ƒ= 0 Thế thì, chúng ta có thể viết

f (z) = (z − z0)n [a n + a n+1 (z − z0) + ] = (z − z0)n g(z),

ở đó g được xác định bởi chuỗi luỹ thừa trong ngoặc và do đó chỉnh hình

không đâu triệt tiêu với tất cả z gần z0 (vì a n ƒ= 0) Để chứng tỏ tínhduy nhất của số nguyên n, giả sử rằng chúng ta còn có thể viết

f (z) = (z − z0)n g(z) = (z − z0)m h(z),

ở đó h(z) ƒ= 0 Nếu m > n, thì có thể chia cho (z − z0)n để thấy rằng

g(z) = (z − z0)m −n h(z),

và cho z → z0 ta nhận được mâu thuẫn g(z0) = 0 Nếu m < n, thì lập

luận tương tự nhận được h(z0) = 0, cũng dẫn đến mâu thuẫn Do đó m

= n và g(z) = h(z) Định lý được chứng minh.

Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc n (hoặc

bội n) tại z0 Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng nó là khôngđiểm đơn Chúng ta nhận xét rằng về mặt định lượng bậc không điểm mô

tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu

Điều quan trọng của định lý trước đến từ sự kiện rằng bây giờ chúng ta cóthể mô tả chính xác loại kỳ dị qua hàm 1

f (z) tại điểm z0.

Với mục đích đó, để tiện lợi chúng ta định nghĩa lân cận thủng của điểm

z0 là đĩa mở tâm tại z0 trừ ra chính điểm đó, đó là tập hợp

{z : 0 < |z − z0| < r} ,

với r > 0 nào đó Thế thì, ta có thể nói rằng một hàm f xác định trong

1lân cận thủng của điểm z0 có một cực điểm tại đó nếu hàm f, xác định

không điểm tại z0, là chỉnh hình trong một lân cận đầy của z0

Định lý 1.3 Nếu f có một cực điểm tại z ∈ Ω, thì trong một

lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h không triệt tiêu và số nguyên dương n duy nhất sao cho

f (z) = (z − z0)−n h(z).

Chứng minh Theo định lý trước chúng ta có

1

f (z) = (z − z0)n g(z),

ở đó g chỉnh hình và không đồng nhất triệt tiêu trong một lân cận của z0,

do vậy kết quả nhận được với h(z) = 1/g(z).

Số nguyên dương n trong định lý được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm

và nó mô tả tốc độ tăng của hàm gần z0 Nếu cực điểm là bậc 1 thì nóđược gọi là cực điểm đơn

Chương 2 HÀM THETA

Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết của hàm Theta

và một số ứng dụng của nó trong lĩnh vực Giải tích số Trước hết, hàmTheta được cho bởi chuỗi

Θ (z|τ ) = .∞

n =

−∞

e πin τ e 2πinz ,

hội tụ với mọi z ∈ C và τ thuộc nửa mặt phẳng trên.

Một điểm đáng chú ý của hàm Theta là vấn đề đối ngẫu tự nhiên của nó.Khi xét như một hàm của biến z, nó có dạng như một hàm Elliptic, vì Θ

là hàm tuần hoàn với chu kỳ là 1 và tựa tuần hoàn với chu kỳ τ Khi xét

Θ như một hàm của biến τ nó cho thấy tính chất modul tự nhiên liên

2.1 Công thức tích đối với hàm Theta Jacobi

Định nghĩa 2.1 Hàm f được gọi là tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ ω

nếu với các hằng số a, b tùy ý, f thỏa mãn phương trình hàm

Ví dụ 2.2 Hàm ℘ Weierstrass là tựa tuần hoàn với hai tựa chu kỳ

trình hàm của ϑ ẩn chứa hàm ζ, từ sự thác triển giải tích của hàm Zeta.

Trước hết, chúng ta bắt đầu xét Θ dưới dạng của hàm một biến z, với τ

cố định

2

Mệnh đề 2.1 Hàm Θ thỏa mãn các tính chất sau

i) Θ nguyên trong z ∈ C và chỉnh hình trong τ ∈ H.

ii) Θ (z + 1/τ ) = Θ (z | τ )

iii) Θ (z + τ |τ ) = Θ (z|τ ) e −πiτ e −2πiz

iv) Θ (z|τ ) = 0 khi z = 1/2 + τ /2 + n + mτ và n, m ∈ Z Chứng minh Giả sử Imz = t ≥ t0 > 0 và nếu z = x + iy thuộc một

tập hợp bị chặn trong C, tức là |z| ≤ M Khi đó, chuỗi xác định hàm Θ

là hội tụ tuyệt đối và đều vì

Do đó, với mỗi τ ∈ H cố định, hàm Θ (·|τ ) là nguyên Với mỗi z ∈ C

cố định, hàm Θ (·|τ ) là chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên.

Bởi vì hàm mũ e 2πinz là tuần hoàn với chu kì 1, tính chất ii) được suy ratrực tiếp từ định nghĩa của hàm Θ

e πi (n+1) τ e −πiτ e 2πinz

Để thấy rằng tổng cuối cùng đồng nhất bằng 0, nó là đủ kiểm tra với

−n − 1 khi n ≥ 0, và nhận xét rằng chúng có bậc đối nhau Thật vậy,

n = 0 ⇒ Θ +2

.1

Định nghĩa 2.3 Hàm tích

Q được xác định bởi công thức

Định lý 2.1 Hàm Q (z | τ ) thỏa mãn các tính chất sau đây

(i) Q (z|τ ) là hàm nguyên trong với mọi z ∈ C và chỉnh

có không điểm nào khác.

Chứng minh Giả sử Im (τ ) = t “ t0 > 0 và z = x + iy, thì |q| ™

(z | τ ) là một hàm nguyên của z với τ ∈ H cố

định và là một hàm chỉnh hình theo τ ∈ H Cũng vậy, từ định nghĩa Q (z

| τ ) là tuần hoàn với chu kỳ 1 theo biến τ

Để chứng minh được tính chất (iii), trước hết ta có nhận xét rằng với

Từ đó, ta nhận được (iii) vì (1 + x)/(1 + x−1) = x, khi x ƒ= −1

Cuối cùng, để tìm các không điểm của

mãn những tính chất đơn giản gợi ý đến một mối liên hệ mật thiết giữahai hàm trên.

Thật vậy, xét thương F (z) = Θ(z |τ )/Q (z |τ ) và lưu ý từ các tính

chất trước đây, hàm F là nguyên và tuần hoàn kép với chu kỳ 1 và τ

Điều này có nghĩa rằng F là không đổi.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng c(τ ) = 1 với mọi τ và điểm chính là

thiết

lập c(τ ) = c(4τ ) Nếu đặt z

= 12

trong (2.2) sao cho e 2πiz = e −2πiz =

n=1 (1 − q n ) (1 − q 2n−1)trong (2.2) sao cho e 2πiz = i Mặt khác, ta có

Ở đây, dòng cuối cùng thu được bằng cách xét tương ứng hai trường hợp

2m = 4n − 4 và 2m = 4n − 2 trong thừa số đầu tiên Do đó, ta nhận

Công thức tích của hàm Θ đặc trưng cho các biến của nó θ (τ ) = Θ (0 |

Lấy vi phân lần nữa, thì chỉ có F t (z) là tuần hoàn kép.

Bởi vì hàm Θ (z|τ ) chỉ triệt tiêu tại z = 1

xét, nên hàm F (z) chỉ có duy nhất một cực điểm đơn Do đó, hàm F

chỉ có một cực điểm bậc hai trong đó

2.2 Luật biến đổi

Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu các quan hệ biến đổi đối với biến τ ,

tức là đặc tính modul của Θ Nhớ lại rằng, các tính chất đặc trưng modulcủa hàm Weierstrass ℘ và chuỗi Eisenstein E k đă được phản ánh bởi haiphép biến đổi

Θ (zτ |τ ) , với mọi z ∈ C, (2.5)

ở đây τ

i biểu thị nhánh của căn bậc hai được xác định trên nửa mặt phẳng trên, nó dương khi τ = it, t > 0.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh công thức này với z = x thực

và τ = it với t > 0 Với mỗi x ∈ R cố định, hai vế của phương trình

(2.5) là các hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên với phần trục ảo