Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình vi phân

Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng.. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng.. Phương trình vi phân cấp một Trong mục này chúng ta nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực

tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình Đồngthời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trongkhoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạođiều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình

độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏinhững hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ýcủa các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Thắm

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt

là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một sốtài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về

phương trình vi phân ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Thắm

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Phương trình vi phân cấp một 2

1.1.1 Phương trình biến số phân ly 4

1.1.2 Phương trình vi phân thuần nhất 5

1.1.3 Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất 6

1.1.4 Phương trình vi phân toàn phần 7

1.1.5 Phương trình tuyến tính cấp một 9

1.1.6 Phương trình Becnuli 10

1.1.7 Phương trình Đacbu 10

1.1.8 Phương trình Lagrăng và phương trình Clerô 10

1.1.9 Phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đối với đạo hàm 12

1.2 Phương trình vi phân cấp cao 14

1.2.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 15

1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 17

1.2.3 Các phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp được 19

Chương 2 Hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình vi phân 21 2.1 Bài tập về phương trình vi phân cấp một 21

2.1.1 Phương trình với biến số phân ly 21

2.1.2 Phương trình vi phân thuần nhất 22

2.1.3 Phương trình vi phân đơn giản đưa về phương trình thuần nhất 23

2.1.4 Phương trình vi phân toàn phần 26

2.1.5 Phương trình tuyến tính cấp một 28

2.1.6 Phương trình Becnuli 29

2.1.7 Phương trình Đacbu 30

2.1.8 Phương trình Lagrăng và phương trình Clerô 32

2.1.9 Phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đối với đạo hàm 34

2.2 Bài tập về phương trình vi phân cấp cao 36

2.2.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 36

2.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 37

2.2.3 Các phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp được 40

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

MỞ ĐẦU

Cũng như các môn khoa học khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sởphát triển của khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi từ thực tế Đặc biệtphương trình vi phân có rất nhiều trong vật lí, sinh học và thực tế

Chẳng hạn, trong vật lí phương trình vi phân xuất hiện thông qua các bài toán vậntốc, gia tốc nhờ tính đạo hàm cấp một và cấp hai Do đó, việc học tập và nghiêncứu phương trình vi phân là việc làm hết sức quan trọng Mặc dù sự xuất hiện củaphương trình vi phân các trường THPT là chưa được tường minh Học sinh đượclàm quen với những phương trình vi phân thông qua một số phương trình đạo hàmđơn giản

Trong tương lai lí thuyết và những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân sẽ đượcđưa vào giảng dạy nhiều hơn trong chương trình THPT

Một phương trình vi phân có nhiều cách giải Do vậy, có thể khiến cho người giảigặp nhiều khó khăn trong việc lựa chọn cách giải cho phù hợp Chính vì sự phongphú và đa dạng trong các phương pháp giải phương trình vi phân trên cơ sở lí thuyếtphương trình vi phân và lí thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân đã làm

em yêu thích môn học này

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định

hướng và chỉ bảo tận tình của TS Trần Văn Bằng, em đã mạnh dạn nghiên cứu

đề tài:

"Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình vi phân "

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2chương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Hệ thống bài tập

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nêu tóm tắt các khái niệm và kết quả cần thiết để

sử dụng trong Chương 2 Các kiến thức về phương trình vi phân cấp một được trìnhbày trong Mục 1.1, còn các kiến thức về phương trình vi phân cấp cao được nêutrong Mục 1.2

1.1 Phương trình vi phân cấp một

Trong mục này chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản liên quan tới phươngtrình vi phân cấp một, một số tính chất định tính của nghiệm, đặc biệt là cách tíchphân một số dạng phương trình cụ thể như: Phương trình với biến phân ly, phươngtrình thuần nhất, phương trình tuyến tính,

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là

trong đó y0= dydx

Nghiệmcủa phương trình (1.1) trong khoảng (a, b) là hàm y = y(x) ∈ C1(a, b)sao cho khi thế vào phương trình (1.1) thì ta nhận được đồng nhất thức trên khoảngđó

Nếu từ (1.1) ta có thể giải ra được y0 :

thì phương trình (1.2) được gọi là phương trình cấp một đã giải ra đạo hàm.

Thực tế cho thấy, các phương trình vi phân thường có vô số nghiệm Nói chung,tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình vi phân cấp một là một họ hàm phụthuộc một tham số (hằng số bất kỳ) Do đó, để xác định một nghiệm cụ thể thìchúng ta cần phải có điều kiện bổ sung Một trong các điều kiện bổ sung điển hình

là cho biết giá trị của nghiệm tại một điểm x0 nào đó: y(x0) = y0 Trong trường hợp

biến x là thời gian, thì điều kiện này được gọi là điều kiện ban đầu Khi đó chúng ta

có khái niệm bài toán Cô si sau đây:

Bài toán Côsi: Là bài toán tìm nghiệm y(x) của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa

mãn điều kiện ban đầu:

y(x0) = y0,

trong đó x0, y0 là các giá trị cho trước

Định nghĩa 1.2 (Nghiệm tổng quát) Giả sử G là miền trong mặt phẳng (x, y) sao

cho nghiệm của bài toán Côsi đối với phương trình (1.2) tồn tại và duy nhất, vớimọi (x0, y0) ∈ G Ta nói hàm

(ii) Hàm ϕ(x,C) là nghiệm của (1.2) với mọi giá trị của C xác định từ hệ (1.4)

Định nghĩa 1.3 (Tích phân tổng quát) Nếu nghiệm tổng quát của phương trình

(1.2) được cho dưới dạng ẩn φ (x, y,C) = 0 hay ψ(x, y) = C thì hệ thức này được gọi

là tích phân tổng quát của phương trình đã cho.

Định nghĩa 1.4 (Nghiệm riêng) Nghiệm của phương trình (1.2) mà tại mỗi điểm

của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được bảo đảm, được gọi là nghiệm

riêng.

Định nghĩa 1.5 (Nghiệm kì dị) Nghiệm của phương trình (1.2) mà tại mỗi điểm

của nó tính duy nhất của bài toán Côsi bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị.

Đối với bài toán Cô si, ta có kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm sauđây

Giả sử hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây

a f liên tục trong miền G

b f thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y trong G

Khi đó ứng với mỗi điểm trong (x0, y0) ∈ G tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x)của phương trình y0 = f (x, y) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Nghiệm nàyđược xác định trên đoạn [x0− h, x0+ h], trong đó h được xác định như ở phần xâydựng dãy xấp xỉ Picar

Tiếp đến, chúng trình bày một số dạng phương trình vi phân cấp một có thể tíchphân được, cùng với cách tích phân các phương trình đó

1.1.1 Phương trình biến số phân ly

Định nghĩa 1.6 Phương trình biến số phân ly là phương trình dạng

1.1.2 Phương trình vi phân thuần nhất

Định nghĩa 1.7 Hàm f (x, y) được gọi là hàm thuần nhất bậc m nếu với mọi t ∈ R

ta luôn có đồng nhất thức

f(tx,ty) = tmf(x, y)

Nếu đồng nhất thức này chỉ thỏa mãn với t > 0 thì ta nói hàm f (x, y) là hàm thuần

nhất dương, tương tự ta có định nghĩa hàm thuần nhất âm.

Định nghĩa 1.8 Phương trình vi phân

trong đó z là hàm mới phải tìm

Cụ thể, thay y = zx vào phương trình (1.6) ta được phương trình

Đây là phương trình với biến số phân ly Tích phân phương trình này ta nhận được

a1 b1

a2 b2

6= 0,

Nếu

... phươngtrình vi phân cấp cao, số tính chất định tính nghiệm, đặc biệt cách tíchphân số dạng phương trình cụ thể như: phương trình vi phân tuyến tính thuầnnhất với hệ số hằng, phương trình vi phân. ..

Phương trình vi phân tồn phần (1.8) khơng có nghiệm kì dị

Thừa số tích phân: Nếu điều kiện (1.9) khơng thỏa mãn phương trình< /b>

(1.8) khơng phải phương trình vi phân tồn... data-page="12">

1.1.4 Phương trình vi phân tồn phần

Định nghĩa 1.9 Phương trình< /b>

được gọi phương trình vi phân tồn phần vế trái vi phân hàm

U(x, y)