Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về hệ phương trình vi phân cấp một

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về hệ phương trình vi phân cấp một ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đềtài khác... Phương trình đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ THỊ KIM YẾN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực

tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình Đồngthời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trongkhoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạođiều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình

độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏinhững hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ýcủa các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Kim Yến

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt

là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một sốtài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về

hệ phương trình vi phân cấp một ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đềtài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Kim Yến

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Các khái niệm mở đầu 2

1.2 Đưa hệ PTVP cấp một về PTVP cấp cao 4

1.3 Phương pháp tổ hợp tích phân 7

1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 8

1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 8

1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 9

1.4.3 Hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng 11

1.5 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một 16

1.5.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất 16

1.5.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất 17

Chương 2 Hệ thống bài tập hệ phương trình vi phân 18

2.1 Hệ PTVP giải bẳng phương pháp đưa về PTVP cấp cao 18

2.2 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp tổ hợp tích phân 20

2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 22

2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 29 2.5 Ứng dụng của hệ PTVP để giải PTĐHR tuyến tính cấp một 33

2.5.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một 33

2.5.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một 34

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

MỞ ĐẦU

Hệ phương trình vi phân có thể coi là cầu nối giữa toán học ứng dụng và toánhọc lý thuyết Đã có rất nhiều hệ phương trình vi phân là mô hình toán học của bàitoán thực tế Chẳng hạn cho hệ phương trình vi phân

dxn

dt = fn(t, x1, x2, , xn)

(0.1)

Nếu ta coi t là biến độc lập, (x1, x2, , xn) là một điểm trong không gian thì hệ (0.1)

là hệ phương trình chuyển động của điểm đó và

Việc nghiên cứu định tính, định lượng của nghiệm của hệ phương trình vi phân

có ý nghĩa quan trọng trong việc quay trở lại áp dụng vào bài toán thực tế

Để có thể làm tốt công tác nghiên cứu ứng dụng của bài toán vào thực tế trước hết

ta phải nắm được hệ thống bài tập và cách giải hệ phương trình vi phân

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định

hướng và chỉ bảo tận tình của TS Trần Văn Bằng, em đã mạnh dạn nghiên cứu

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm mở đầu

Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản của hệ phương trình

vi phân cấp một như dạng chuẩn tắc, khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng Đồng thời cũng đưa ra các phương pháp giải hệ như phương pháp đưa về phươngtrình vi phân cấp cao, phương pháp tổ hợp

Định nghĩa 1.1 Hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ có dạng

Số n được gọi là bậc của hệ (1.1).

Hệ n hàm khả vi y1(x), y2(x) , , yn(x) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là

nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi x ∈ (a, b) điểm (x, y1(x), y2(x), , yn(x)) ∈ G vàkhi thay chúng vào hệ (1.1) thì ta được đồng nhất thức theo x trên (a, b)

Tập hợp điểm

Γ = {(x, y1(x), y2(x), , yn(x)), x ∈ (a, b)},

được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm y1(x), y2(x), , yn(x)

Bài toán Côsi:Cho điểm (x0, y01, y02, , y0n) Tìm nghiệm (y1(x), y2(x), , yn(x))của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y1(x0) = y01, y2(x0) = y02, , yn(x0) = y0n.Nói chung bài toán Côsi không phải bao giờ cũng có nghiệm hoặc có nghiệm nhưngnghiệm đó có thể không duy nhất Tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nếu cáchàm f1, f2, , fn liên tục trong G thì bài toán Côsi luôn có nghiệm Nếu ngoài cácđiều kiện trên các hàm f1, f2, , fn còn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1, y2, , yntrong G thì bài toán Côsi có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.2 (Nghiệm tổng quát) Tập hợp n hàm số

yn= ϕn(x,C1,C2, ,Cn)

(1.2)

xác định trong miền biến thiên của x, C1, C2, , Cn có đạo hàm riêng liên tục theo

x gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.1) trong miền G (miền mà tại đó sự tồn tại và

duy nhất của bài toán Côsi được đảm bảo) nếu chúng có các tính chất sau

(i) Từ hệ (1.2) có thể giải ra được C1,C2, ,Cn

Cn= ψn(x, y1, y2, , yn)

(1.3)

(ii) Hệ hàm (1.2) là nghiệm của hệ (1.1) với mọi giá trị của hằng số Ci(i = 1, 2, , n)xác định từ (1.3) khi (x, y1, y2, , yn) biến thiên trong G

Định nghĩa 1.3 (Nghiệm riêng) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại mỗi điểm của nó tính

duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được bảo đảm gọi là nghiệm riêng Nghiệm nhận

được từ nghiệm tổng quát với giá trị xác định của các hằng số Ci(i = 1, 2, , n) lànghiệm riêng

Định nghĩa 1.4 (Nghiệm kì dị) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại đó tính duy nhất

nghiệm của bài toán Côsi bị phá vỡ gọi là nghiệm kì dị.

Định nghĩa 1.5 (Tích phân tổng quát) Hệ hàm

Φn(x, y1, y2, , yn) = Cn

được gọi là tích phân tổng quát của hệ (1.1) trong miền G nếu nó xác định nghiệm

tổng quát của hệ (1.1) trong G

1.2 Đưa hệ phương trình vi phân cấp một về phương trình vi phân cấp cao

Thế vào (1.4) ta được đồng nhất thức theo t

Khi đó từ hệ (1.5) ta có thể biểu diễn x2, x3, , xn qua t, x1, dx1

Từ quá trình lí luận trên ta suy ra x1(t) là nghiệm của phương trình (1.6)

Bây giờ giả sử x1(t) là một nghiệm của phương trình (1.6), thế x1(t) và các đạohàm của nó vào (1.5) rồi xác định x2 = x2(t), x3 = x3(t), , xn = xn(t) từ hệ thuđược ta có hệ hàm x1(t), x2(t), , xn(t) Hệ này chính là nghiệm của hệ (1.4)

Nhận xét 1.1 (a) Nếu hệ phương trình vi phân có dạng

(b) Nếu hệ phương trình vi phân có dạng

1.3 Phương pháp tổ hợp tích phân

Đối với hệ phương trình (1.4) trong một số trường hợp ta có thể lập các tổ hợpkhả tích, tức là lập nên các phương trình vi phân mới là hệ quả của hệ (1.4) saunhững phép biến đổi nhưng dễ tích phân hơn để từ đó đi đến các hệ thức dạng

φ (t, x1, x2, , xn) = C (1.9)

Hệ thức (1.9) có tính chất là nếu thay x1, x2, , xn bằng nghiệm x1(t), x2(t), , xn(t)của hệ phương trình (1.4) thì vế trái của nó sẽ đồng nhất bằng C

Hệ thức (1.9) được gọi là tích phân đầu của hệ (1.4)

Chú ý: Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ (1.4) dưới

dạng đối xứng sau đây

1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng

Ta giả thiết các hàm pi j(x)(i, j = 1, 2, , n) liên tục trên khoảng (a, b)

Khi đó với mọi x0 ∈ (a, b); (y0

1, y02, , y0n) ∈ Rn tồn tại duy nhất nghiệmy(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x)) của hệ (1.10) xác định trên khoảng (a, b) và thỏamãn điều kiện ban đầu

dy2dx

dyndx

Khi đó hệ (1.10) tương đương với phương trình

Hệ có tính chất như vậy gọi là hệ nghiệm cơ bản.

Khi đó nghiệm tổng quát có dạng

y11 y12 y1n

y21 y22 y2n

yn1 yn2 ynn

,

khác không ít nhất tại một điểm của khoảng (a, b)

1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là hệ có dạng

Khi đó với mỗi x0∈ (a, b), (y0

1, y02, , y0n) ∈ Rn tồn tại duy nhất nghiệm

Y(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x)) của hệ (1.11) xác định trên khoảng (a, b) và thỏamãn điều kiện ban đầu

y1(x0) = y01, y2(x0) = y02, , yn(x0) = y0n

Để tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ta đưa

về tìm nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng Y∗(x)nào đấy của hệ tuyến tính không thuần nhất

Trong một số trường hợp ta có thể tìm nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuầnnhất dễ dàng, do đó việc tìm nghiệm riêng của tuyến tính không thuần nhất là rấtquan trọng

Phương pháp biến thiên hằng số sẽ cho chúng ta cách tìm nghiệm riêng Y∗(x)khi biết nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất tương ứng

là hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (1.10)

dưới dạng

Y∗(x) = C1(x)Y1(x) +C2(x)Y2(x) + · · · +Cn(x)Yn(x) (1.12)

Ở đây C1(x), C2(x), , Cn(x) là các hàm ta cần xác định sao cho Y∗(x) thỏa mãn

hệ (1.11), tức là

dY∗(x)

dx ≡ P(x)Y∗(x) + F(x)

C10(x)Y1(x) +C02(x)Y2(x) + · · · +Cn0(x)Yn(x) ≡ F(x).

Hệ thức này tương đương với hệ phương trình sau

C10(x)y11(x) +C20(x)y12(x) + · · · +Cn0(x)y1n(x) = f1(x)

C10(x)y21(x) +C20(x)y22(x) + · · · +Cn0(x)y2n(x) = f2(x)

Cj(x) =

Z

ψj(x)dx, j = 1, 2, , n

Thay các giá trị của Cj(x)vào (1.12) ta được Y∗(x) phải tìm

1.4.3 Hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng

Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng là hệ có dạng

dyn

dx = an1y1+ an2y2+ · · · + annyn+ fn(x)

(1.14)

Ở đây ai j; i, j = 1, 2, , n là các hằng số và fi(x), i = 1, 2, , n là các hàm liên tụctrên khoảng (a, b) nào đó

Nếu dùng kí hiệu như ở mục trước thì hệ (1.14) có thể được viết dưới dạng vectơnhư sau

Trước hết ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

và tìm cách chọn α1, α2, , αn, λ sao cho Y (x) là nghiệm của (1.15)

Thay vào hệ (1.15) và rút gọn ta được hệ phương trình sau

an1α1+ an2α2+ · · · + (ann− λ )αn= 0

(1.16)

Ta cần tìm nghiệm không tầm thường của hệ (1.16) tức là tìm tất cả α1, α2, , αn

không đồng thời bằng không

Điều này xảy ra khi định thức Cramer của hệ (1.16) bằng không, tức là

a11− λ a12 a1n

a21 a22−λ a2n

an1 an2 ann− λ

= λ2− 2λ + 1 = 0

có nghiệm λ = 1 bội hai

Ta tìm nghiệm của hệ phương trình dưới dạng

Thay vào hệ phương trình và rút gọn et ta được

β1+ α1+ β1t = 3α1+ 3β1t− α2− β2tĐồng nhất hai vế của phương trình theo t ta được

α2= 2α1− β1,

β2= 2β1.Chọn α1 = C1, β1= C2 ta được α2 = 2C1−C2, β2= 2C2

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình đang xét có dạng









Bây giờ ta xây dựng hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ứng với nghiệm bội

x= (C1t+C1+C2)et, y = 3C1et, z = (C1t+C2)et.Suy ra hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ứng với nghiệm bội λ2= λ3= 1 có dạng

(Các nghiệm riêng này được chọn bằng cách cho C1 = 1,C2 = 0 và C1 = 0,C2 = 1)

Do đó nghiệm của hệ phương trình đang xét là

y(t) = C1et+C2sint −C3cost,

z(t) = C2(cost + sint) +C3(sint − cost)

2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau

Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng Bằng cách giải đã biết

ta tìm được nghiệm tổng quát là





x(t) = C1et+ 2C2e4t,y(t) = C1et+C2e4t

Ta tìm nghiệm riêng của hệ tuyến tính không thuần nhất dưới dạng

Ta tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất dưới dạng

Từ hệ cuối ta tìm được C10(t) = −4e−2tsin 2t, C20 = 4e−2tcos 2t

Do đó chọn C1(t) = e−2t(sin 2t + cos 2t), C2(t) = −2e−2t(cos 2t − sin 2t).Suy ra







x(t) = (C1+C2) cos 2t + (C2−C1) sin 2t,y(t) = C1cos 2t +C2sin 2t + e−2t

2.5 Ứng dụng của hệ phương trình vi phân để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của hệ phương trình vi phândạng đối xứng để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất và khôngthuần nhất

2.5.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một

ψ1= y

z = C1, ψ2= x

2+ y2+ z2

y = C2.Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng đang xét là

Trong mục chúng tơi trình bày ứng dụng hệ phương trình vi phândạng đối xứng để giải phương trình. ..

2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số hằng

Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau

Đây hệ phương trình tuyến tính với hệ số Bằng cách giải biết... nghiệm hệ (1.15) dạng

Từ ta tìm nghiệm hệ (1.14)

Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên nói chung khơng

có phương pháp tổng qt để tích phân Tuy hệ số hệ