Tính compact và sự hội tụ trong không gian của các hàm giải tích

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thâncùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của thầy giáo Th.S Hoàng NgọcTuấn em đã hoàn thành bài khóa luận của mình.Em xin cam

Lời Cảm Ơn

Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tìnhcủa thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn Qua đây em xin gửi lời cảm ơnsâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoaToán trường ĐHSP Hà Nội II đã giúp đỡ em trong quá trình học tập

để thuận lợi cho việc nghiên cứu Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chânthành tới thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn người đã dành cho em sựhướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và chỉ bảo cho em trong suốt quá trìnhhọc tập nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen vớiviệc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránhkhỏi những sai sót Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng gópcủa quí thầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Định

i

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thâncùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của thầy giáo Th.S Hoàng NgọcTuấn em đã hoàn thành bài khóa luận của mình.

Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùngvới sự hướng dẫn của thầy giáo Th.S Hoàng Ngọc Tuấn không hềtrùng với bất cứ đề tài nào

Hà nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Định

Mục lục

1.1 Hệ thống số phức 1

1.2 Topo trong mặt phẳng phức 2

1.3 Hàm giải tích 4

1.4 Hàm phân hình 5

1.5 Tích phân phức 6

1.6 Nguyên lí modun cực đại 9

2 Tính Compact Và Sự Hội Tụ Trong Không Gian Các Hàm Giải Tích 11 2.1 Không gian của hàm liên tục C(G,Ω) 11

2.2 Không gian hàm giải tích 20

2.3 Không gian các hàm phân hình 23

2.4 Định lý của ánh xạ Riemann 26

2.5 Định lý thừa số Weierstrass 30

2.6 Nhân tử hóa của hàm sin 39

2.7 Hàm Gamma 40

iii

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm có tầm quan trọng đối với toán học cơ bản và ứngdụng Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng Do kiến thức trênlớp với thời lượng eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên cứu một vấn

đề nào đó của giải tích Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộmôn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vicủa một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo Th.S.Hoàng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày những kiến thức củamình về đề tài Tính compact và sự hội tụ trong không gian các hàmgiải tích

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng : Tính compact và sự hội tụ

Phạm vi : Những kiến thức liên quan đến tính compact và hội tụtrong không gian các hàm giải tích

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của bài khóa luận này là tìm hiểu về tính pact và sự hội tụ trong không gian các hàm giải tích

com-4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu tham khảo, tổng hợp kiến thức, vậndụng cho mục đích nghiên cứu

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad).

Dễ dàng kiểm tra được định nghĩa C thỏa mãn các tiên đề về trường

số phức Đó là, C thỏa mãn các tính chất kết hợp, giao hoán, luậtphân phối của phép nhân và phép cộng; (0, 0) và (1, 0) là đồng nhấtthức lần lượt cho phép cộng và phép nhân, và có tính cộng và nhânứng với mỗi phần tử khác không trong C

Số phức này được viết (a, 0) Ánh xạ từ a → (a, 0) xác định phépđẳng cấu trường của R vào C nên ta có thể xét R như là tập con của

C Nếu ta đặt i = (0, 1) thì (a, b) = a + bi Từ điểm trên ta bỏ cặp

kí hiệu đặt nó là số phức

Chú ý i2 = −1, do đó phương trình z2 + 1 = 0 có căn trong C Thực

ra, với mỗi z ∈ C, z2+ 1 = (z + i)(z − i) Khái quát hơn, nếu z và ω

nên đây là công thức với phần tử nghịch đảo của số phức Khi đó taviết z = a + ib (a, b ∈R), ta gọi a và b là phần thực và phần ảo của

z và kí hiệu a = Rez, b = Imz

Ta kết thúc phần này bằng cách giới thiệu hai phép toán trên Ckhông là phép toán trên trường Nếu z = x + iy (x, y ∈ R) thì tađịnh nghĩa |z| = px2 + y2 là giá trị tuyệt đối của z và z = x − iy làliên hợp của z Lưu ý

Không gian metric là một cặp (X, ρ), trong đó X là một tập và

ρ : X × X :→ R là một hàm số xác định trên X × X, được gọi làmột metric, thỏa mãn các điều kiện sau:

1 ρ(x, y) ≥ 0, với ∀x, y ∈ X,

ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,

2 ρ(x, y) = ρ(y, x) với ∀x, y ∈ X,

Khóa luận tốt nghiệp

B(x; r) và B(x; r) tương ứng được gọi là hình cầu mở và đóng, vớitâm x, bán kính r

Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric (X, ρ) Tập G ⊂ X là tập

mở nếu với mọi x ∈ G có một ε > 0 sao cho B(x; ε) ⊂ G

Mệnh đề 1.1 Cho (X, ρ) là không gian metric; thì

{Fj : j ∈ J } cũng là đóng

Định nghĩa 1.6 Cho A ⊂ X là tập hợp con của X thì phần trongcủa A, là hợp của tất cả các tập mở trong A, kí hiệu là intA Baođóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A−.Nếu A = {a + bi : a, b ∈ R} thì cùng một lúc A− = C và intA = ∅.Bằng Mệnh đề 1.1 và 1.2 ta có A− là đóng và intA là mở Biên của

A được xác định bằng ∂A và định nghĩa ∂A = A−T

(X \ A)−

Vũ Thị Định 3 K36C SP Toán

Định lý 1.1 Cho (X, ρ) là một không gian metric; thì các phát biểusau đây là tương đương:

1 X là compact;

2 Mỗi tập vô hạn trong X có điểm giới hạn;

3 X là dãy compact;

4 X là đầy và với mỗi  > 0 có một số hữu hạn các điểm x1, , xn

trong X sao cho

Định nghĩa 1.7 Dãy {xn}được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi  > 0

có một số nguyên N sao cho d(xn, xm) <  với mọi n, m ≥ N

Nếu không gian metric (X, ρ) có tính chất mà mỗi dãy Cauchy cógiới hạn trên X thì không gian metric (X, ρ) là đầy

Định nghĩa 1.9 Hàm f : G → C là giải tích nếu f là khả vi và liêntục trên G

Khóa luận tốt nghiệp

∞

X

n=0

an(z − an)n là giải tích trong B(a; R)

Mệnh đề 1.6 Cho G và Ω là các tập con mở của C Giả sử f : G →

C và g : Ω → C là hàm liên tục sao cho f (G) ⊂ Ω và g(f (z)) = zvới mọi z ∈ G Nếu g là khả vi và g0(z) 6= 0, f là khả vi và f0(z) =1

g0(f (z)) Nếu g là giải tích thì f giải tích.

Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa không gian C∞) Trong giải tíchphức ta sẽ quan tâm tới hàm trở nên vô hạn khi biến tiến đến mộtđiểm nhất định Để thảo luận về vấn đề này ta đưa ra mặt phẳng mởrộng đó là C∪ {∞} ≡ C∞ Ta cũng muốn đưa vào một hàm khoảngcách trên C∞ nhằm thảo luận tính chất liên tục của hàm, giả sử hàmnày có giá trị vô hạn Để thực hiện điều này và để cho ra một hìnhảnh cụ thể của C∞, ta biểu diễn C∞ như là một hình cầu đơn vị trong

R3,

S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x12 + x22 + x32 = 1}

Để tránh nhầm lẫn B(a; r) sẽ được dùng để chỉ một hình cầu trong

C và B∞(a; r) để chỉ hình cầu trong C∞

Mệnh đề 1.7 (a) Nếu a ∈ C và r > 0 thì có số ρ > 0 sao cho

định trên B(a; R) Điểm a được gọi là điểm kì dị bỏ được nếu có hàmgiải tích g : B(a; R) → C sao cho g(z) = f (z) với 0 < |z − a| < R.Định nghĩa 1.12 Nếu z = a là điểm kì dị cô lập của f thì a đượcgọi là cực điểm của f nếu lim

z→a|f (z)| = ∞ Tức là, với bất kì M > 0

có số  > 0 sao cho |f (z)| ≥ M trong đó 0 < |z − a| < 

Định nghĩa 1.13 Nếuf : G → C là giải tích vàa thuộcGthỏa mãn

f (a) = 0 thì a được gọi là không điểm của f với bội m ≥ 1 nếu cóhàm giải tích g : G → C sao cho f (z) = (z − a)mg(z) ở đó g(a) 6= 0.Định nghĩa 1.14 (Định nghĩa Hàm phân hình) Nếu G là mở, f

là hàm xác định và giải tích trong G ngoại trừ cực điểm, thì f đượcgọi là phân hình trên G

Định lý 1.2 (Định lý Rouché) Giả sử f và g là phân hình tronglân cận của B(a; R) khác không điểm hoặc cực điểm trên đường tròn

γ = {z : |z − a| = R} Nếu Zf, Zg(Pf, Pg) là số các không điểm (cựcđiểm) của f và g thì mặt trong γ đếm theo bội và nếu

|f (z) + g(z)| < |f (z)| + |g(z)|

trên γ,thì

Zf − Pf = Zg − Pg

Định nghĩa 1.15 Hàm γ : [a, b] → C với [a, b] ⊂ R, có biến phân

bị chặn nếu có hằng số M > 0 sao cho với bất kì sự phân hoạch

Biến phân toàn phần củaγ,V (γ)được xác định bởiV (γ) = sup{v(γ, p) :

P là phân hoạch của[a, b]}, rõ ràng V (γ) ≤ M < ∞

Mệnh đề 1.8 Nếu γ : [a, b] →C là trơn từng khúc thì γ có biến phân

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 1.3 Cho γ : [a, b] → C có biến phân bị chặn và giả sử

f : [a, b] → C là liên tục Thế thì có số phức I sao cho với mọi ε > 0

có δ > 0 sao cho khi P = {t0 < t1 < · · · < tm} là phân hoạch của[a, b] với kP k = max{(tk − tk−1) : 1 ≤ k ≤ m} < δ thì

< ε

với mọi cách chọn các điểm τk, tk−1 < τk < tk

Số I được gọi là tích phân của f đối với γ trên [a, b] và được kíhiệu

γ

f (z)dz

Vũ Thị Định 7 K36C SP Toán

Mệnh đề 1.10 Nếu γ : [a, b] → C là đường cong khả trường và

ϕ : [c, d] → [a, b] là hàm liên tục không giảm với ϕ(c) = a, ϕ(d) = b;thì với bất kì hàm f liên tục trên {γ}

Z

γ

f =Z

Z

γ

f = F (β) − F (γ)

(trong đó F là nguyên hàm của f khi F = f0)

Mệnh đề 1.11 Cho ϕ : [a, b] × [c, d] → C là hàm liên tục và địnhnghĩa g : [c, d] → C bởi g(t) =

γ

f (w)

w − zdwvới |z − a| < r

Định lý 1.6 Cho f là giải tích trong B(a; R); thế thì

tụ ≥ R

Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 1.1 Nếu f : G → C là giải tích và a ∈ G thì

Hệ quả 1.2 Nếu f : G → C là giải tích và B(a; r) ⊂ G thì

f(n)(a) = n!

2πiZ

γ

f (w)(w − a)n+1dwtrong đó γ(t) = a + reit, 0 ≤ t ≤ 2π

Định lý 1.7 Cho f là hàm giải tích trong B(a; R) và giả sử |f (z)| ≤

M với ∀z ∈ B(a; R) thì

|f(n)(a)| ≤ n!M

Rn Mệnh đề 1.13 Cho f là giải tích trong hình cầu đóng B(a; R) vàgiả sử γ là đường cong khả trường được đóng trong B(a, R) thì

Z

γ

f = 0

Định lý 1.8 (Định lý Morera) Cho Glà một miền và cho f : G →

C là hàm liên tục sao cho RT = 0 với mọi đường dẫn tam giác T ∈ G;thế thì f là giải tích trong G

Định lý 1.9 (Nguyên lí modul cực đại thứ nhất)

Nếuf là giải tích trong miềnGvà một điểm a ∈ Gvới |f (a)| ≥ |f (z)|với ∀z ∈ G thì f phải là hàm hằng

Định lý 1.10 (Nguyên lí modul cực đại thứ hai)

Cho G là tập mở bị chặn trong C và giả sử f là hàm liên tục trên G−

mà giải tích trong G Thế thì

max{|f (z)| : z ∈ G−} = max{f (z) : z ∈ ∂G}

Vũ Thị Định 9 K36C SP Toán

Định nghĩa 1.17 Nếu f : G → C và a ∈ G− hoặc a = ∞ thì giớihạn trên củaf (z) khiz gần tới a, gọi là lim

z→asup f (z), định nghĩa bằng

z→ainf f Nếu G ⊂ C thì ∂∞G là biên của G trong C∞

Rõ ràng ∂∞G = ∂G nếu G là bị chặn và ∂∞G = ∂GS

{∞} nếu G là

bị chặn

Định lý 1.11 (Nguyên lí modun cực đại thứ ba)

Cho G là một miền trong C và f là hàm giải tích trên G Giả sử cóhằng số M sao cho lim

z→asup |f (z)| ≤ M với mọi a ∈ ∂∞G Thế thì

|f (z)| ≤ M với ∀a ∈ G

Định lý 1.12 Cho f : D → D là ánh xạ của D vào chính nó và giả

sử f (a) = 0 Thế thì có một số phức c với |c| = 1 sao cho f = cϕα

Một số kết quả tổng quát thu được đó cho phép chúng ta nghiêncứu không gian của hàm phân hình

Định nghĩa 2.1 Nếu G là tập mở trong C và (Ω, d) là một khônggian metric đầy đủ thì kí hiệu C(G, Ω) là tập của tất cả các hàm liêntục từ G đến Ω

Tập C(G, Ω) không bao giờ rỗng vì nó luôn chứa các hàm hằng.Tuy nhiên có thể C(G, Ω) chỉ chứa các hàm hằng Ví dụ giả sử Gliênthông và Ω =N = {1, 2, } Nếu f thuộc C(G, Ω) thì f (G) phải làliên thông trong Ω và do đó suy biến thành một điểm

Tuy nhiên, mối quan tâm chính là khi Ω là một trong hai tập Choặc C∞ Hai trường hợp này của Ω đều dẫn đến C(G, Ω) có nhiềuphần tử không là hằng số

Thực ra mỗi hàm giải tích trên G có trong C(G,C) và mỗi hàmphân hình trên G ở trong C(G,C∞)

11

Mệnh đề 2.1 Nếu G mở trong C thì có một dãy {Kn} các tập hợpcon compact của G sao cho G =

∞

[

n=1

Kn Hơn nữa, có thể chọn tậphợp Kn thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) Kn ⊂ intKn+1;

(b) K ⊂ G và K compact nghĩa là K ⊂ Kn với mỗi n;

(c) Mỗi một thành phần liên thông của C∞ − Kn chứa thành phầnliên thông của C∞− G

Chứng minh Với mỗi số nguyên dương n đặt

nên rõ ràng Kn bị chặn và nó là giao của hai tập hợp con đóng của

C, Kn là compact Hơn nữa, tập

n Nhưng theo định nghĩa, điều này suy ra có một điểm

ω trong C − G với |ω − z| < 1

n Nhưng thấy tiếp z ∈ B

ω; 1n



⊂ D Nếu D1 là thành phầnliên thông của C∞ − G có chứa ω thì D1 ⊂ D 

Khóa luận tốt nghiệp

nó là tập mở trong (S, µ) Một dãy là dãy Cauchy trong metric (S, d)nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy trong (S, µ)

Mệnh đề 2.2 (C(G, Ω), ρ) là không gian metric

Chứng minh Dễ dàng có ρ(f, g) = ρ(g, f ) Vì mỗi ρn thỏa mãn bấtđẳng thức tam giác, nên bổ đề trước có thể dùng để chứng tỏ ρ thỏamãn bất đẳng thức tam giác Cuối cùng, từ G =

Bổ đề 2.2 Cho metric ρ được xác định trong (2.2) Nếu  > 0 thì ta

có δ > 0 và tập compact K ⊂ G sao cho với f và g trong C(G, Ω),

sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ ⇒ ρ(f, g) <  (2.3)Ngược lại, nếu δ > 0 và tập compact K đã cho, có một  > 0 sao chovới f và g trong C(G, Ω),

ρ(f, g) <  ⇒ sup{d(f (z), g(z)) : z ∈ K} < δ (2.4)

Vũ Thị Định 13 K36C SP Toán

Chứng minh Cố định  > 0 Cho p là một số nguyên dương sao cho

1 ≤ n ≤ p, nên ρn(f, g) < δ với 1 ≤ n ≤ P Điều này dẫn tới

n

< 

Từ đây (2.3) được thỏa mãn

Bây giờ giả sử K và δ được cho Vì G =

Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 2.1 Tập các tập mở không phụ thuộc vào sự lựa chọn củatập hợp {Kn} Tức là, nếu G =

∞

[

n=1

Kn0 trong đó mỗi Kn0 là compact

và Kn0 ⊂ intKn+10 và nếu µ là một metric định nghĩa bởi tập {Kn0}thì tập hợp là mở trong (C(G, Ω), µ) khi và chỉ khi nó được mở trong(C(G, Ω), ρ)

Chứng minh Đây là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.3(a) tức là từcác sự mô tả đặc điểm của tập mở không phụ thuộc vào sự lựa chọncủa tập {Kn}

Như vậy, khi ta xét C(G, Ω) là một không gian metric giả dụ rằngmetric ρ được tính bởi công thức (2.2) đối với với một dãy {Kn} củatập compact sao cho Kn ⊂ intKn+1 và G = S∞

có một số nguyên N sao cho

sup{d(fn(z), fm(z)) : z ∈ K} < δ (2.5)vớin, m ≥ N Đặc biệt{fn(z)}là dãy Cauchy trong Ω; vì vây có điểm

f (z)trongΩsao chof (z) = lim fn(z) Ta nhận được hàmf : G → Ω;

ta sẽ chứng minh rằng f là liên tục và ρ(fn, g) → 0

Cho K là compact và δ > 0 cố định; chọn N sao cho (2.5) đúngvới n, m ≥ N Nếu z là điểm cố định tùy ý trong K thì có một sốnguyên m ≥ N sao cho d(f (z), fm(z)) < δ Nhưng thế thì

Định nghĩa 2.2 Tập F ⊂ C(G, Ω) được gọi là chuẩn tắc nếu mỗidãy trong F có dãy con hội tụ đến hàm f trong C(G, Ω).

Điều này tất nhiên trông giống như định nghĩa của tập compacttheo dãy, nhưng giới hạn của dãy con không cần thuộc vào tập F.Mệnh đề 2.5 Tập F ⊂ C(G, Ω) là chuẩn tắc khi và chỉ khi bao đóngcủa nó là compact

Mệnh đề 2.6 Tập F ⊂ C(G, Ω) là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mỗitập compact K ⊂ G và δ > 0 có các hàm f1, , fn trong F sao chovới f trong F có ít nhất một k, 1 ≤ k ≤ n, với

sup{d(f (z), fk(z)) : z ∈ K} < 

Chứng minh Giả sử F là chuẩn tắc và cho K và δ > 0 Bằng Bổ đề2.2 có  > 0 sao cho (2.4) đúng Nhưng từ F− là compact, F là hoàntoàn bị chặn Vậy là có f1, , fn trong F sao cho

tức là, F thỏa mãn điều kiện của mệnh đề

Ngược lại, giả sửF có tính chất trên Vì ta luôn thấy F− cũng thỏamãn điều kiện này, giả sửF là đóng Nhưng vì C(G, Ω) là đầy đủ nên

F cũng phải đầy đủ Và, lại dùng Bổ đề 2.2 nên ta thấy rằng F làhoàn toàn bị chặn Từ Định lí I.1.1 F là compact và do đó F chuẩn

n

dn(xn, yn)

1 + dn(xn, yn). (2.6)

Khóa luận tốt nghiệp

∞

Y

x=1

Xn thì ξk → ξ ={xn} khi và chỉ khi xkn → xn với mọi n Như vậy, nếu mỗi (Xn, dn)

Điều này suy ra xkn → xn với ∀n ≥ 1

Bây giờ giả sử với mỗi (Xn, dn) là compact Để chỉ ra (X, d) làcompact ta cần chứng tỏ rằng mọi dãy trongX có dãy con hội tụ; điềunày hoàn thành bởi quá trình chéo hóa Cantor Cho ξk = {xkn} ∈ Xvới ∀k ≥ 1 và xét các dãy của các tọa độ thứ nhất của ξk tức là,xét {xk

1}∞k=1 ⊂ X1 Vì X1 là compact, có điểm x1 thuộc X và dãycon của {xk

1} mà hôi tụ đến x1 Kí hiệu dãy con hội tụ của {xk

1}bằng {xk

1 : k ∈ N1}, ở đó N1 là tập con vô hạn của tập số nguyêndương N Xét dãy con của tọa độ thứ hai của {ξk : k ∈ N1} Thế thì

có điểm x2 thuộc X2 và một tập hợp con vô hạn N2 ⊂ N1 sao cholim{xk2 : k ∈ N2} = x2 Tiếp tục quá trình này cho một dãy giảm củacác tập hợp con vô hạn của N,N1 ⊃ N2 ; và điểm xn trong Xn saocho

lim{xkn : k ∈ Nn} = xn (2.7)Cho kj là số nguyên dương thứ j trong Nj và xét {ξkj}; ta khẳng địnhrằng ξkj → ξ = {xn} khi k → ∞ Để chứng tỏ điều này ta chỉ cầnchỉ ra rằng

Vũ Thị Định 17 K36C SP Toán

Định nghĩa 2.3 Tập F ⊂ C(G, Ω) được gọi là liên tục đồng bậc tạiđiểm z0 ∈ G nếu với mọi  > 0 có δ > 0 sao cho |z − z0| < δ,

d(f (z), f (z0)) < , ∀f ∈ F

F được gọi là liên tục đồng bậc trên tập E ⊂ G nếu với mọi  > 0 có

δ > 0 sao cho với z và z0 trong E và |z − z0| < δ,

d(f (z), f (z0)) < , ∀f ∈ F.Chú ý rằng nếu F gồm một hàm f thì phát biểu rằng F là liên tụcđồng bậc tại zo chính là sự kiện f liên tục tại z0 Điều quan trọng vềliên tục đồng bậc là δ sẽ làm việc cho tất cả các hàm trong F Hơnnữa, với F={f } là liên tục đồng bậc trên E thì f liên tục đều trên E

Để một họ F lớn hơn là liên tục đồng bậc phải có tính liên tục đều.Mệnh đề 2.8 Giả sử F ⊂ C(G, Ω) là liên tục đồng bậc tại mỗi điểmcủa G; thế thì F liên tục đồng bậc trên mỗi tập hợp con compact của

G

Định lý 2.1 (Định lý Arzela-Ascoli) Tập F ⊂ C(G, Ω) là chuẩntắc khi và chỉ khi 2 điều kiện sau được thỏa mãn:

1 với mỗi z ∈ G, {f (z) : f ∈ F } có bao đóng compact trong Ω;

2 F là liên tục đồng bậc tại mọi điểm của G

Chứng minh Giả sử thứ nhất F là chuẩn tắc Chú ý rằng với mỗi

z ∈ G có ánh xạ xác định bởi f → f (z) là liên tục; vì F− là compactnên ảnh của nó cũng compact trong Ω và (a) được suy ra Chứng

tỏ (b) cố định có điểm zo ∈ G và cho  > 0 Nếu R > 0 ta chọn

K = B(zo; R) ⊂ G thì K là compact và Mệnh đề 2.6 kéo theo có cáchàm f1, , fn trong F sao cho với mọi f ∈ F có ít nhất một fk với

Khóa luận tốt nghiệp

với 1 ≤ k ≤ n Do đó, nếu |z − z0| < δ, f ∈ F, và k được chọn để(2.9) đúng, thì

d(f (z), f (z0)) ≤ d(f (z), fk(z)) + d(fk(z), fk(z0)) + d(fk(z0), f (z0))

< 

Tức là, F là liên tục đồng bậc tại z0

Giờ giả sử F thỏa mãn điều kiện (a) và (b); ta cần chỉ ra rằng F

là chuẩn tắc Cho {zn} là dãy của tất cả các điểm thuộc G với phầnthực và phần ảo ( vậy cho z ∈ G, δ > 0 có zn với |z − zn| < δ) Vớimỗi n ≥ 1 có

lim

k=∞fk(zn) = {ωn} (2.10)

ở đó ξ = {ωn}

Ta sẽ chỉ ra rằng {fk} hội tụ đến hàm f trong C(G, Ω) Bằng(2.10) hàm f này sẽ thõa mãn f (zn) = ωn

Để tìm hàm f và chứng tỏ {fk} hội tụ đến f ta cần chỉ ra rằng{fk}là một dãy Cauchy Cho K là tập compact trong Gvà cho > 0;bằng Bổ đề 2.2 ta cần chỉ ra để tìm số nguyên J sao cho với k, j ≥ J,

sup{d(fk(z), fj(z)) : z ∈ K} <  (2.11)

Vì K là compact R = d(K, ∂G) > 0 Cho K1 = {z : d(z, K) ≤ 12R};thì K1 là compact và K ⊂ intK1 ⊂ K1 ⊂ G Vì F là liên tục đồngbậc tại mỗi điểm của G là liên tục đồng bậc trên K1 bởi Mệnh đề 2.8.Vậy cho δ, 0 < δ < 12R, sao cho

d(f (z), f0(z)) < 

Vũ Thị Định 19 K36C SP Toán

với mọi f ∈ F trong đó z và z0 thuộc K1 với |z − z0| < δ Bây giờ cho

D là tập hợp các điểm trong {zn} mà cũng là điểm thuộc K1; tức là

Vì z là số tùy ý nên thiết lập được (2.11) 

2.2 Không gian hàm giải tích

Định lý 2.2 Nếu {fn} là dãy trong H(G) và f ∈ C(G,C) sao cho

fn → f thì f là giải tích và fn(k) → f(k) với mỗi số nguyên k ≥ 1

Chứng minh Ta sẽ chứng tỏ f giải tích bằng cách áp dụng Định

lí Morera Vậy cho T là hình tam giác chứa bên trong hình tròn

D ⊂ G Vì T là compact, {fn} là hội tụ đều đến f trên T Do vậyR

Khóa luận tốt nghiệp

công thức tính tích phân Cauchy suy ra

fn(k)(z) − f(k)(z) = k!

2πiZ

γ

fn(ω) − f (ω)(ω − z)k+1 dω,với z ∈ D Dùng đánh giá Cauchy ta được

|fn(k)(z) − f(k)(z)| ≤ k!MnR

(R − r)k+1, |z − a| ≤ r,

ở đó Mn = sup{|fn(ω) − f (ω) : |ω − a| = R} Nhưng vì fn → fnên lim Mn = 0 Do đó từ công thức trên có fn(k) → f(k) đều trênB(a; r) Bây giờ nếu K là tập hợp con compact tùy ý của G và 0 <

r < d(K, ∂G) thì có cáca1, , an trongK sao choK ⊂

n

[

j=1

B(aj; r)

Vì fn(k) → f(k) đều trên B(aj; r), sự hội tụ là đều trên K 

Hệ quả 2.2 H(G) là không gian đầy

Hệ quả 2.3 Nếu fn : G →C là giải tích và

0 với |z − a| = R thì có một số nguyên N sao cho với n ≥ N, f và

fn có cùng số không điểm trong B(a; R)

Tuy nhiên theo Định lí Rouché(I.1.2) thì f và fn có cùng số không

Vũ Thị Định 21 K36C SP Toán

Hệ quả 2.4 Nếu {fn} ⊂ H(G) hội tụ đến f ∈ H(G) và mỗi fnkhông bao giờ triệt tiêu trên G thì f ≡ 0 hoặc f không bao giờ triệttiêu.

Định nghĩa 2.4 Tập F ⊂ H(G) được gọi là bị chặn đia phương nếuvới mọi a ∈ G có hằng số M và r > 0 sao cho với mọi f ∈ F, và mọi

Định lý 2.4 (Định lý Montel) Một họ F ∈ H(G) là chuẩn tắc khi

và chỉ khi F là bị chặn địa phương

Chứng minh Giả sử F là chuẩn tắc nhưng không là bị chặn địaphương; thế thì có tập compact K ⊂ G sao cho sup{|f (z)| : z ∈

K, f ∈ F} = ∞ Tức là có dãy {fn} ∈ F sao cho sup{|fn(z)| : z ∈K} ≥ n Vì F là chuẩn tắc có hàm f ∈ H(G) và dãy con {fnk} saocho fnk → f Nên suy ra {|fnk(z) − f(z)| : z ∈ K} → 0 (k → ∞).Nếu |f (z)| ≤ M, z ∈ K, thì

nk ≤ sup {|fnk(z) − f (z)| : z ∈ K} + M ;

vì vế phải hội tụ đến M, đây là điều mâu thuẫn

Giả sử F là bị chặn địa phương; Định lí Ascoli-Arzela được dùng

để chứng tỏ rằng F là chuẩn tắc Vì điều kiện (a) của Định lí 2.1 rõràng là thỏa mãn, ta phải chứng tỏ rằng F liên tục đồng bậc tại mọiđiểm của G Một điểm cố định a ∈ G và ε > 0; từ giả thiết có một

r > 0 và M > 0 sao cho B(a; r) ⊂ G và |f (z)| ≤ M ∀z ∈ B(a; r) và

Khóa luận tốt nghiệp

∀f ∈ F Cho |z − a| ≤ 12r và f ∈ F; thế thì dùng công thức Cauchyvới γ(t) = a + reit, 0 ≤ t ≤ 2π, ta được

|f (a) − f (z)| ≤ 1

2π

... có dãy hội tụ đến hàm f C(G, Ω).

Điều tất nhiên trông giống định nghĩa tập compacttheo dãy, giới hạn dãy không cần thuộc vào tập F.Mệnh đề 2.5 Tập F ⊂ C(G, Ω) chuẩn tắc bao đóngcủa compact. .. nghiêncứu khơng gian hàm phân hình

Định nghĩa 2.1 Nếu G tập mở C (Ω, d) khơnggian metric đầy đủ kí hiệu C(G, Ω) tập tất hàm liêntục từ G đến Ω

Tập C(G, Ω) không rỗng ln chứa hàm hằng.Tuy...

C hàm liên tục cho RT = với đường dẫn tam giác T ∈ G;thế f giải tích G

Định lý 1.9 (Nguyên lí modul cực đại thứ nhất)

Nếuf giải tích miềnGvà điểm a