Phương pháp newton và phương pháp newton raphson giải phương trình n biến và áp dụng mapple trong tính toán

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN VÀ ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2014... GIẢI PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN VÀ ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TO

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN VÀ

ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2014

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN VÀ

ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh,

người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn em trong quá trình làm khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2 và người thân, bạn bè cùng học

đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành bản khóa luận này

Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Phượng

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu của em có tham khảo một số tài liệu của một

số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan bản khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Phượng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Số gần đúng và sai số 3

1.2 Sai số tương đối và sai số tuyệt đối 6

1.3 Cách viết số xấp xỉ 7

1.4 Xấp xỉ ban đầu 8

1.5 Ma trận nghịch đảo 12

1.6 Các định lí liên quan 15

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN 16

2.1 Phương pháp Newton 16

2.2 Ví dụ 18

2.3 Phương pháp Newton-Raphson 21

2.4 Cách giải phương trình n biến bằng phương pháp Newton -Raphson 23

2.5 Bài tập vận dụng 37

CHƯƠNG III ÁP DỤNG MAPLE VÀO TÍNH TOÁN 41

3.1 Cơ sở lí thuyết 41

3.2 Áp dụng Maple vào giải phương trình và hệ phương trình 43

3.3 Bài tập áp dụng 57

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

Trong khóa luận có đưa ra các thuật toán được viết bằng phần mềm Maple với mục đích minh họa rõ hơn lý thuyết giải hệ phương trình và

có điều kiện nghiên cứu sâu hơn vấn đề này cũng như môn giải tích số Maple là một trong những phần mềm để chúng ta dễ dàng giải các bài toán khó và phức tạp

Vì vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp này tôi đã

chọn đề tài: “Phương pháp Newton và Phương pháp Raphson giải phương trình n biến và áp dụng Maple trong tính toán”

Newton-2

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp

Newton và phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình n biến

Sau đó ứng dụng Maple vào tính toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Giải hệ phương trình n biến bẳng phương pháp Newton và phương

pháp Newton - Raphson

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp

Newton và phương pháp Newton – Raphson vào giải hệ phương trình n

biến Áp dụng Maple vào tính toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải gần đúng của lý thuyết giải tích số

Khóa luận được chia làm 3 phần:

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Phần 3: Kết luận

Phần nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương pháp Newton và phương pháp Newton - Raphson vào giải phương trình n biến

Chương 3: Áp dụng Maple vào tính toán

3

NỘI DUNG CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Vì rằng a nói chung không biết nên cũng không biết a*  , tuy nhiên

có thể thấy tồn tại a thỏa mãn điều kiện:

a*   a a (1.1)

Số a thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a, còn

a

a

   là sai số tương đối của a Rõ ràng a ,a càng nhỏ, càng tốt

Ví dụ 1 Xét hai đoạn thẳng AB có số đo a100m và đoạn thẳng CD có

số đo b10 m với    a b 0,01m Khi đó ta có: 0,01

4

trong đó 0i 9, i, s ,p ,p 0, (i p p, s)

Nếu p s 0 thì a là số nguyên, nếu p  s k k( 0) thì a có

phần lẻ gồm k chữ số, nếu s  thì a là số thập phân vô hạn tuần hoàn

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để đƣợc

hai chữ số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng đƣợc giữ lại

Ví dụ 2 Số a02,3040 thì chữ số 0 đầu tiên là không có nghĩa, còn các chữ số 3; 4; 0; 5; 0 là có nghĩa Số b0,023 thì các chữ số 2; 3 là

có nghĩa, còn 2 số 0 bên trái không có nghĩa

5

chữ số i ở của số a là chữ số chắc nếu :  a .10i, là tham số cho trước Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng i là chữ số chắc thì i1

cũng là chữ số chắc

1.1.4 Sai số tính toán

1.1.4.1 Biểu thức tổng quát của sai số tính toán

Các số vốn đã có sai số còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y f x x 1, 2,,x n



 

x y

1.1.4.3 Sai số của phép tính nhân chia

1

p i i q

p i i

x y

- Nếu 1 (phép lũy thừa) thì y x do đó độ chính xác giảm

- Nếu 0  1 (phép khai căn) thì y x do đó độ chính xác tăng

- Nếu   1 (phép nghịch đảo) thì y x do đó độ chính xác không đổi

k

   (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

Ví dụ 3 Diện tích hình vuông S 12,34 ; S 0,01 Hãy tính cạnh của hình vuông Gọi a là cạnh của hình vuông, thì a S 3,513

12,34

S S

S

Như vậy a có 4 chữ số chắc là a3,513

1.2 Sai số tương đối và sai số tuyệt đối

1.2.1 Sai số tuyệt đối

7

Trong tính toán, người ta thường không biết số đúng A mà chỉ biết số gần đúng của nó là a Lúc đó ta nói " a xấp xỉ A " và viết " aA"

Độ lệch h A a được gọi là sai số thực sự của A

Vì không biết A nên ta cũng không biết h Tuy nhiên ta có thể tìm được số dương a h  sao cho:

A a  a hay a     a A a a

Số a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a Nếu số xấp xỉ A có sai số tuyệt đối là a, ta viết A  a a (1.5) với ý nghĩa là:

Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ

kể các chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có nghĩa Các chữ số 0 bên trái là không có nghĩa

Ví dụ 6

Số 17,134 viết là: 17,134 1.10 17.1001.1014.103 tức là a có dạng (1.9) với 11;0 7;1 1;2 3;3 4

Chữ số s ở (1.9) của chữ số a là chữ số đáng tin (chữ số chắc) nếu

Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối a

- Cách thứ nhất: Là viết kèm theo sai số tuyệt đối a a

- Cách thứ hai: Là chỉ viết các chữ số đáng tin Nếu ta có số gần

đúng mà không cho sai số thì ta luôn ngầm hiểu các chữ số có nghĩa là các chữ số đáng tin Như vậy các chữ số không ở bên phải cho ta biết nó

là chữ số đáng tin

1.4 Xấp xỉ ban đầu

Thông thường quá trình tìm nghiệm r của phương trình:

f x 0 (1.10) (ở đây f x là hàm thực một biến   x) được chia làm hai phần:

Một là phần xấp xỉ ban đầu của nghiệm (thường được gọi là nghiệm

xấp xỉ)

hoặc bằng cách vẽ đồ thị tìm điểm x0sao cho f x 0 0

Ngoài ra ta cũng có thể tìm được nghiệm x0dựa vào định lý sau:

Nếu f x  là một hàm thực liên tục trên  a b; , (ab) có

f a f b  thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của f x trong khoảng  

 a b;

Việc tìm một đoạn  a b như vậy gọi là cô lập nghiệm ,

Bây giờ ta xét một số thuật toán xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực của phương trình đại số có dạng:

f x P x a x a x  a x a  (1.11) với các hệ số thực a i i 0,1,,n

Phương trình đại số (1.11) nói chung có thể có các nghiệm thực khác nhau hoặc nghiệm thực kép

Nếu ta kí hiệu nghiệm của (1.11) là các số r r1, ,2 ,r n thì P x có thể n 

Nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ nguyên dấu

Lưu ý : ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0

Phương trình (1.11) được gọi là đầy đủ nếu nó không có hệ số a nào khác 0

11

Nguyên lí Decard được phát biểu như sau:

Số nghiệm dương của phương trình (1.11) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là

n n

ij ij

a a

a



Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:

1 Với mỗi hàng thứ chia tất cả  l 1

Thông thường i chỉ số hàng , j là chỉ số cột còn l gán cho giá trị 0 và

sau đó được thay ngay bằng l1 là chỉ số của các phần tử đường chéo chính hiện tại Nếu thay  l 1

a khác còn lại jl l,  1, sẽ giữ nguyên giá trị vì

nó chỉ chia cho l thôi

1.6 Các định lí liên quan

Định lý Bolzano-Cauchy: Nếu hàm f x  liên tục trên  a b và thỏa ;mãn điều kiện f a f b    0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  a b;

Hệ quả 1 Giả sử f x là một hàm liên tục và đơn điệu chặt trên đoạn  

 a b Khi đó nếu ; f a f b    0 thì phương trình f x 0 có duy nhất một nghiệm trong  a b ;

Hệ quả 1.1 Giả sử hàm số f x có đạo hàm   f x và đạo hàm

 

f x của nó không đổi dấu ( luôn âm hoặc luôn dương) trên đoạn

 a b Khi ấy nếu ; f a f b    0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a b ;

f x liên tục, không đổi dấu trên đoạn  a b ,

Xét hàm f x có nghiệm duy nhất, có các đạo hàm   f x , ''f  x liên tục và giữ nguyên dấu ( f x , ''f  x hoặc âm hoặc dương) trên  a b , Chọn điểm x0 sao cho f x   0 f x0 0 thì x0 được gọi là điểm Fourier

Phương trình tiếp tuyến với đường cong y f x  tại điểm

Dãy lặp này được gọi là dãy lặp Newton

Với giả thiết trên dãy lặp Newton hội tụ tới nghiệm x của phương *

trình f x 0

Vậy nghiệm của phương trình là x* x6 1,895494267

Ví dụ 3 Dùng phương pháp Newton để tìm nghiệm của phương trình

n n

Ta xét ma trận Jacobian của các hàm f x i  (i1, n) đƣợc giả thiết là hàm khả vi liên tục

1

2

2 2

2 1

22

Giả sử cho trước xấp xỉ đầu tiên x 0 , thay vì giải hệ phương trình (2.1)

ta giải hệ phương trình sau:

J x  thì (2.2) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu là x 1 , để

thuận lợi ta giải (2.2) đối với x 0  x x 0 sau đó tính:

  1   0   0

x x  x Như vậy ta đã thay phương trinh f x x i 1, 2,,x n0 (i1,n) bởi phương trình (2.2) đơn giản hơn nhiều vì (2.2) tuyến tính đối với x Nếu x tìm được thì m x m1 theo công thức: xm1 x m  x m

1

2

0

0

0

n n

n n

Phương pháp Newton sẽ hội tụ nếu các xấp xỉ ban đầu được chọn tốt

và ma trận J x không suy biến Hơn thế nữa tốc độ hội tụ là tốc độ  

bình phương Thực tế phép lặp dừng lại khi bước lặp thỏa mãn bất đẳng thức: x m1x m 

Để chọn bước lặp đầu tiên ta chọn bằng đồ thị (hoặc phép thử)

n n

Khai triển các hàm: f x x i 1, 2,,x n(i1 )n tại lân cận của điểm x0

theo chuỗi Taylor và xét các hệ phương trình tuyến tính với ẩn số:

Nếu (x x10, 20,,x n0) là bước xuất phát của phương pháp, tức là xấp xỉ

1 1, 2 2, , n n

x h x h  x h là xấp xỉ tiếp theo của nghiệm

Để tìm ( ,h h1 2,,h n) ta viết hệ (2.3) về dạng:

n n

f h

x

h x

2 2

2

1 0

1

2

2 1

x

f x

 Giải hệ phi tuyến hai ẩn:

Xét cụ thể cho trường hợp giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn

Phương pháp Newton - Raphson cho trường hợp hai phương trình với

1

,,

33

else if dk=1 then writeln (‘ chua hoi tu ‘);

Readln;

End

 Giải hệ phi tuyến ba ẩn

Phương pháp Newton – Raphson áp dụng cho trường hợp hệ ba

3 1 2 3

1 3

35

 1

0,0214380,1218610,121861

36

Vậy nghiệm của hệ phương trình:

1, 2499292,1339340,133934

x y z

x y z

Trong các phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến,

cùng một ví dụ sau một số bước lặp ngắn gọn phương pháp Newton - Raphson đã cho ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình Như vậy, giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton - Raphson cho ta nghiệm gần đúng với số bước lặp ít nhất, kết quả hội tụ nhanh Điều này chứng tỏ tính ưu việt của phương pháp Newton - Raphson

2.5 Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải phương trình trên 6 2

x  x   x bằng phương pháp Newton với  106

Giải

Vậy nghiệm của phương trình là x* x7 1,29629439

Bài 2 Tìm nghiệm gần đúng của hệ

phương pháp Newton - Raphson

Đặt X ( ; ; )x y z T Theo phương pháp Newton-Raphson ta có:

40

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

0,7923821,610025

1, 489983

x y z

bằng phương pháp Newton - Raphson

Đặt X x y z; ; T Theo phương pháp Newton - Raphson ta có:

x y z

41

CHƯƠNG III ÁP DỤNG MAPLE VÀO TÍNH TOÁN

3.1 Cơ sở lí thuyết

Maple là phần mềm tính toán được dùng phổ biến Nó cung cấp đầy

đủ các công cụ phục vụ cho việc tính toán (giải phương trình, vẽ đồ thị, cực trị, đạo hàm, tích phân )

Sau đây chúng ta sẽ vận dụng Maple để giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp Newton và phương pháp Newton - Raphson

3.1.1 Giải phương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve

42

> A:= matrix(2,2,[1,1,1,1]);

1 1:

2 1

x A

[> plot(cos(x) + sin(x), x=-Pi Pi);

Hàm hai biến, đồ thị 3D: lệnh plot3d

[> plot3d(sin(x*y),x=-Pi Pi,y=-1 1);

3.2 Áp dụng Maple vào giải phương trình và hệ phương trình

Bài 1 Giải phương trình x9  x 10 0 bằng phương pháp Newton với độ chính xác 104

[> restart;

[> with(plots);

[animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d,

conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d,

cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot,

fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d,

inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot,

listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto,

pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d,

polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions,

setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata,

textplot, textplot3d, tubeplot]

[> with(plottools);

[arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder,

disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron,

hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point,

polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate,

tetrahedron, torus, transform, translate]

> with(plottools);

> plot ([x^2,exp(x)+1],x=-2 2);

Hình 2

; 1, 2

2

n n

x n

48

Hình 3 Nhìn vào đồ thị ta chọn xấp xỉ ban đầu x y0; 0  1,2;1,7

Sau 2 bước lặp ta thấy F x y 2, 2 , G x y2, 2 đều xấp xỉ tới 0 nên

nghiệm gần đúng của hệ phương trình đã cho là: 1, 2343

1,6615

x y

51

Hình 5

Ta có thể chọn điểm ban đầu  0

0,50,5 0,5