Tìm hiểu về một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Đối tượng nghiên cứu Các định nghĩa, tính chất, tham số đặc trưng của một số quy luật phân phối xác suất thông dụng và cách giải quyết các dạng bài tập của phần này.. Khi nghiên cứu xác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này

Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Kiều Văn Hưng đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong việc triển khai nghiên cứu

đề tài khoá luận

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên K36 Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã cổ vũ, động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Hải Yến

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi đã trình bày trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu nghiêm túc của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy Kiều Văn Hưng

Những nội dung này không trùng với kết quả của các tác giả khác, nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Hải Yến

MỤC LỤC

Trang

1.1.4 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 9

1.2 Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 11

2.1.4 Các phân phối rời rạc khác 31

2.2 Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục 33

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết xác suất là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và phong phú của đời sống con người Trong đó các quy luật phân phối xác suất được xem như là các mô hình cho sự đo lường được thực hiện trong các điều kiện quan sát hay thí nghiệm đã phát sinh trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, hóa học, kinh tế học, xã hội học

Các bài toán về quy luật phân phối xác suất thường xuất hiện rất nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Toán học

Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về các quy luật phân phối xác suất chưa nhiều Các dạng bài tập chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hóa đầy đủ cũng như đưa ra phương pháp giải một cách tường minh

Với những lý do trên cùng với sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Kiều Văn Hưng, em đã chọn đề tài “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng” làm khóa luận tốt nghiệp

Nội dung chính của khóa luận gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Một số quy luật phân phối thông dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày những kiến thức cơ bản về một số quy luật phân phối xác suất thông dụng, một số bài tập về quy luật phân phối xác suất thông dụng và khả năng ứng dụng trong thực tiễn, nhất là trong lĩnh vực kinh tế

3 Đối tượng nghiên cứu

Các định nghĩa, tính chất, tham số đặc trưng của một số quy luật phân phối xác suất thông dụng và cách giải quyết các dạng bài tập của phần này

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Biến ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 Khi nghiên cứu xác suất của một biến cố, có nhiền hiện tượng ngẫu nhiên mà sự thay đổi của nó được đặc trưng bởi các số Chẳng hạn, khi gieo một con xúc sắc, gọi X là “số chấm xuất hiện” thì

X sẽ phụ thuộc vào phép thử và nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 6 Để

nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên tương tự như trên, người ta đưa vào khái niệm biến ngẫu nhiên Ta định nghĩa biến ngẫu nhiên như là một hàm đo được có giá trị thực xác định trên không gian các biến cố sơ cấp (nhận mỗi giá trị tương ứng với một xác suất nào đó)

Ta dùng các chữ cái in hoa như X Y Z, , để kí hiệu biến ngẫu nhiên

1.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

1.1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 2 Gọi tập giá trị của biến ngẫu nhiên X là X 

Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu X   là một hữu hạn hoặc một

số vô hạn đếm được:X    x x1, 2, ,x n hay X    x x1, 2, ,x n, 

Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x nlà X x n và xác suất để X

nhận giá trị x n là P X{ x n}

1.1.2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, nó chứa 2 thông tin: thông tin thứ nhất là các giá

trị có thể x x1, 2, ,x n, của biến ngẫu nhiên X và thông tin thứ hai là

các xác suất tương ứng p p1, 2, ,p n, của các giá trị có thể đó

1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục

1.1.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 3 Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X là X  Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu X  là một đoạn  a b; R hoặc một số đoạn hoặc cũng có thể là toàn trục số

Ta có: P X a 0, a

1.1.3.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X , xác suất để X nhận một giá trị cụ thể nào đó luôn luôn bằng không: P {X = a} = 0 nên ta quan tâm đến xác suất để X rơi vào một khoảng (a, b) nào đó, chứ không quan tâm tới xác suất để X nhận một giá trị cụ thể như trong trường hợp biến

Để mô tả (hay xác định) biến ngẫu nhiên liên tục ta dùng khái niệm hàm mật độ Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Hàm f x x R( ); 

được gọi là hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Độ lớn của bước nhảy tại điểm x k là p k P X x k

- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

5 f x và   F x tương ứng là hàm mật độ và hàm phân phối  

xác suất của biến ngẫu nhiên X thì:

  ' 

f x F x

  x  

F x f t dt



 

1.1.4.3 Liên hệ với phân phối xác suất

Với biến ngẫu nhiên rời rạc: p i F x i1 F x i

Với biến ngẫu nhiên liên tục ta có:

1 F x liên tục tại x(suy ra từ định nghĩa về hàm liên tục)

2 F x'  f x  tại những điểm f x  liên tục

(Định lí trung bình của tích phân)

Như vậy nếu biết được hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thì ta hoàn toàn xác định được phân phối xác suất của nó

1.2 Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Khi biết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

hoặc biết hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X , thì coi như đã nắm được toàn bộ thông tin về X Tuy nhiên trên thực tế rất khó xác định được thông tin này Những thông tin cô đọng phản ánh từng mặt của biến ngẫu nhiên được gọi là các tham số đặc trưng Ở mục này ta xét các tham số đặc trưng quan trọng nhất

1.2.1 Kỳ vọng

1.2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 5 Kỳ vọng (hay còn gọi là giá trị trung bình) của biến ngẫu

nhiên X là một số được kí hiệu là EX và được xác định như sau:

j ij j

à

Ý nghĩa của phương sai:

 Phương sai là một số không âm, là trung bình của bình phương

độ lệchX EX Nó đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên

quanh giá trị trung bình nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ vì

vậy độ tập trung lớn và ngược lại phương sai lớn thì độ phân tán lớn, vì

vậy độ tập trung nhỏ

 Trong kĩ thuật phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị

Trong kinh doanh nó đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định

Định nghĩa 7 Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu là

Định nghĩa 8 Mode của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu là ModX là giá trị

mà X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó

- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì ModX là giá trị của X

ứng với xác suất lớn nhất:

0

0 x max i

ModX x  p  p Như vậy ModX

là giá trị của X có nhiều khả năng xảy ra nhất

- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì ModX là giá trị của X tại

đó hàm mật độ xác suất đạt giá trị cực đại Như vậy ModX là giá trị mà

X có nhiều khả năng xảy ra trong khoảng thời gian chứa nó nhất Muốn tìm ModX ta đi khảo sát hàm f x( ), tìm điểm dừng,…

Chú ý: Một biến ngẫu nhiên có thể có một Mode hoặc nhiều Mode

1.2.5 Median (Trung vị)

1.2.5.1 Định nghĩa

Định nghĩa 9 Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suất thành hai phần có xác suất giống nhau hay trung vị là

điểm chia đôi phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Kí hiệu là MedX

- Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, MedX m nếu:

Nhận xét:

i Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên X đối xứng và chỉ có một

Mode thì cả 3 đặc trưng: Kỳ vọng, Median và Mode trùng nhau

ii Nếu phân phối của X đối xứng hoặc gần đối xứng thì dùng kỳ

Định nghĩa 10 Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X :

- Moment cấp k của biến ngẫu nhiên X là số

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X :

- Moment cấp k của biến ngẫu nhiên X là số

ii Moment quy tâm cấp 2 của X là phương sai của X

tx x tx

e p x tX

Chương 2 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

2.1 Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc thông dụng

2.1.1 Phân phối Poisson

Các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson:

 Số cuộc điện thoại được ở trạm điện thoại trong 1 phút

 Số khách hàng đến ngân hàng đối với mỗi chu kỳ 30 phút

 Số máy bị hỏng trong một ngày của 1 nhà máy

Công thức: P x(     X x h) P x P x1  P x h

!

x x

Bài toán dẫn đến phân phối Poisson

Gọi X là số lần xuất hiện của một biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (t t1, 2) thỏa mãn hai điều kiện:

- Số lần xuất hiện của một biến cố A trong khoảng thời gian (t t1, 2) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A trong khoảng thời gian kế tiếp

- Số lần xuất hiện của một biến cố A trong khoảng thời gian tỉ lệ với độ dài của khoảng đó

Khi đó X P( ) với c t( 2 t1) Hằng số c được gọi là cường

độ xuất hiện của A

Chẳng hạn, số xe qua một trạm, số cuộc điện thoại tại một trạm…

2.1.1.3 Ví dụ

Ví dụ 1 Một nhà máy có 1000 công nhân Xác suất để 1 ngày có một

công nhân nghỉ là 0,002 Tìm xác suất để trong 1 ngày không quá hai công nhân nghỉ?

Lời giải:

Việc theo dõi trong một ngày có bao nhiêu công nhân nghỉ là một phép thử Một nhà máy có 1000 công nhân nên ta có n1000 phép thử độc lập

Gọi A là biến cố công nhân nghỉ và X là số công nhân nghỉ trong một ngày thì PP A( ) 0,002 và XB(1000;0,002)

Vì n1000 khá lớn và np2 không đổi nên ta xem X P( )

Do đó xác suất để trong một ngày có không quá hai công nhân nghỉ là:

1 2 3 0

2 0

1 2 1

2 2 2

0 ( )

i

i k i k

i

k

i i k i k i

k

P X i Y k i

P X i Y k i

e e

i k i e

C k

Ví dụ 2 Một cửa hàng bán đồ điện tử gồm hai mặt hàng: tivi và Radio

Số tivi và Radio bán trong một ngày đều tuân theo luật phân phối Poisson và chúng độc lập với nhau Trung bình mỗi ngày bán được 1 tivi

Do đó,

P X    Y P X  Y  1 0,6470,353

2.1.2 Phân phối nhị thức

2.1.2.1 Phân phối Bernoulli

Định nghĩa 13 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo lu t phân phối Bernoulli, kí hiệu là X B(1; )p , nếu hàm xác suất của nó có dạng:

1( ) x(1 ) x

p x  p  p  , x0 và 1

Ta thấy mọi phép thử chỉ có 2 kết cục đều có thể mô hình hóa bằng phân phối này Chẳng hạn một phép thử chỉ có kết cục A với xác suất p và A với xác suất q 1 p Xây dựng biến ngẫu nhiên X sao cho P X(  1) P A( ) p và ta có X B(1; ).p

Ta lập được bảng phân phối xác suất của X như sau:

2.1.2.2 Phân phối nhị thức

Xét một phép thử ngẫu nhiên  Ta quan tâm tới biến cố A liên kết với  tức là tùy theo kết quả của  , A có thể xảy ra hay không xảy

ra Giả sử P A( ) p Phép thử  được tiến hành lặp lại n lần một cách

độc lập Gọi X là số lần xuất hiện A trong n lần thực hiện lặp phép thử

 này Ta thấy X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị là

( )

p x q p

1( )

( 1) 

ModX  n p

( a chỉ phần nguyên của a)

Ví dụ 3 Một người mỗi ngày đi giao hàng ở 5 nơi khác nhau Xác suất

bán được hàng ở mỗi nơi là 0,3

a) Tìm xác suất mà người đó bán được hàng trong một ngày

b) Tìm số ngày giao được nhiều hàng nhất trong năm biết 1 năm người đó đi giao hàng 300 ngày

Ví dụ 4 Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử hiệu

trưởng là 60% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu

a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch tiêu chuẩn của X và ModX

b) Tìm xác suất để có không quá 3 người bỏ phiếu cho ứng cử viên A

Lời giải:

X có phân phối nhị thức B(20;0,06)

a) Ta có:

20.(0,6) 1220(0,6)(0, 4) 4,8

EX DX

Định nghĩa 15 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0;1;…;n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức trên được

gọi là tuân theo lu t phân phối si u bội với tham số N M n , ,

Kí hiệu XH N M n( , , ) (hay X H N M n( , , ))

Ví dụ 5 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt Lấy

ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ lô hàng ra 4 sản phẩm Tìm xác suất để

có 3 sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm được lấy ra

N

C C

C p q C

n x

n x

Ví dụ 6 Một nhân viên thuế chọn ngẫu nhiên một số tờ khai từ nhóm

những tờ khai thuế đặc thù để kiểm tra Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ tờ khai không thích hợp là 30%

a) Nếu chọn 6 tờ khai từ nhóm 100 tờ khai thuế đặc thù mà có hơn

1 tờ khai không thích hợp thì nhóm sẽ bị kiểm tra toàn bộ Tính xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ

b) Số tờ khai tối thiểu không thích hợp là bao nhiêu khi kiểm tra

18 trong nhóm 400 tờ khai thuế đặc thù để xác suất nhóm này bị kiểm tra lại toàn bộ là 0,31

x  

hay x0 6,85 Vậy x0 tối thiểu là 7

2.1.4 Các phân phối rời rạc khác

2.1.4.1 Phân phối đều rời rạc

Định nghĩa 16 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo lu t ều r i

r c với tham số n, kí hiệu là X U( )n nếu X có bảng phân phối xác suất:

p q DX

2.1.4.3 Phân phối nhị thức âm

Định nghĩa 18 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo lu t phân phối nhị thức âm kí hiệu là X N B( , )r p nếu hàm xác suất của nó có dạng:

1( ) r x x r(1 ) , x 0,1,2,

Cũng có thể chứng tỏ khi X N B( , )r p :

2

; ( 1 )

rq EX

p rq

p



Bảng tổng kết các phân phối rời rạc

Phân phối Kí hiệu Xác suất

C C C



1

N n npq

112

n 

q p

Nhị thức âm X N B( , )r p C r x x 1p r(1 p)x rq

rq p

2.2 Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục

2.2.1 Phân phối chuẩn

2.2.1.1 Định nghĩa

Phân phối chuẩn hay phân phối Gao-xơ là phân phối liên tục quan trọng và có ứng dụng rộng rãi nhất

Định nghĩa 19 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng ( ; )

được gọi là tuân theo lu t phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có

dạng:

2 ( ) 21

Các biến ngẫu nhiên sau có phân phối chuẩn:

- Kích thước chi tiết máy do máy sản xuất ra

- Trọng lượng của nhiều sản phẩm cùng loại

- Năng suất của một loại cây trồng trên những thửa ruộng khác nhau

2 21

 Tham số a là kì vọng đồng thời cũng là Mod và Median của

( , )

X N a

 Nếu EX đặc trưng cho định vị của phân phối thì DX sẽ đặc trưng cho độ tán xạ Nếu 2 càng lớn f x( ) phân tán nhiều hơn, đỉnh đồ thị càng thấp và tù hơn, đường cong tiệm cận tới trục hoành chậm hơn (chú ý là tổng diện tích chắn bởi f x( ) và trục Ox luôn bằng 1)

2.2.1.3 Phân phối chuẩn tắc

Định nghĩa 20 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo lu t phân phối chuẩn tắc nếu hàm mật độ của nó có dạng:

2

21( )

1( )

Laplace Khi sử dụng bảng hàm Laplace cần chú ý các tính chất của

2.2.1.5 Ví dụ

Ví dụ 7 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình

3 và phương sai 0,16 Hãy tính:

Ví dụ 8 Các viên bi do 1 máy tự động sản xuất ra được coi là đạt yêu

cầu nếu đường kính X của chúng lệch so với thiết kế không quá 0,7mm