Giả sử bài toán đúng với mọi số nhỏ hơn k... Bài tập 3 Thi học sinh giỏi toán PTTH toàn quốc lần thứ 17, 1979 Tìm tất cả những số sao cho phương trình sau có hai nghiệm số phân biệt k
Trang 1VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHẦN NGUYÊN
TRONG CÁC BÀI TOÁN CỦA DÃY SỐ
Nguyễn Đình Thức
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định
Khi quan tâm khảo sát bài toán số học của dãy số , ta thấy có vấn đề đặt ra là :
1/ Khi dãy số đã cho có công thức chứa biểu thức phần nguyên; phần thập phân thì giải các bài toán về dãy số đó thực hiện ra sao?
2/ Biến đổi dãy số bất kỳ quy về dãy số có công thức chứa biểu thức phần nguyên; phần thập phân như thế nào ?
Phần 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC PHẦN NGUYÊN; PHẦN THẬP PHÂN
Một số thí dụ sau đây trình bày cụ thể giải pháp xử lý
Thí dụ 1 : (Olympic Canada;1996)
Cho các số hữu tỉ dương r1;r2; ;r2015có tổng bằng 1 và dãy số x n gồm các số thực xác định như sau
2015
1
k k
( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Xác định gía trị lớn nhất và bé nhất của các giá trị x n
Giải : Theo định nghĩa phần nguyên ta có nr k nr k và giả thiết
2015
1
1
k k
r
1 2015
1 2015
1
1
k k k
k k
nr
0
2015
1
k
k
x Minx n=0 đạt khi n=0
Mặt khác theo định nghĩa phần nguyên ta có nr k 1 nr k và giả thiết
2015
1
1
k k
r
2015
1 2015
1 2015
1 2015
1
k k
k k
k k
k
x
Maxx n=2014
Thí dụ 2 : (IMO- 1968) Cho dãy số a n gồm các số nguyên xác định như
n n
k a
2
2 1
( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Chứng minh rằng
1
i
a (k nguyên dương cho trước)
(
1 0
2
2
k
2 1
2
2
k
3 2
2
2
Giải : Bài toán chứng minh bằng quy nạp
Rõ ràng bài toán đúng khi k=1 vì
1 0
2
2 1
2 1
2
2 1
3 2
2 2
Trang 2Giả sử bài toán đúng với mọi số nhỏ hơn k Ta chứng minh bài toán đúng cho k
Đến bước quy nạp ta chia số k thành 2 trường hợp k chẵn hoặc k lẻ
Vận dụng biễu diễn k trong hệ nhị phân
Giả sử k=a t a t1 a1a0 2 2a t a t1 a12a0
Nếu k=2m thì a0=0 ; m= a t a t1 a12
Nếu k=2m+1 thì a0=1 ; m= a t a t1 a12
Trở lại bài toán
) 0 ( 0
10
) 0 1 ( 0
1 )
0 1 (
0
10
) 0 ( 0
1
2
) 0 1 ( 0
100 )
0 1 ( 0
100
) 0 ( 0
10 2
) 0 1 ( 0
100
) 0 ( 0
10 2
2
2
2 2
2
2
2 0
2 2
2
2 0
1
sô i
sô i m
sô i
sô i m
sô i
a sô
i
sô i m
sô i
sô i a
m
k
i
i
2
1
2
2
k
3 2
2
2
100
10 10
1
1000
100 100
10
2 2
2 2
2 2
2
1000
100 100
10 10
1
2 2
2 2
2
=
1 0
2
2
m
2 1
2
2
m
3 2
2
2
2
1
2
2
k
3 2
2
2
k +….=m (*)
1 0
2
2
k
=m+a0 (**)
Cộng (*) và (**) ta có
1 0
2
2
k
2 1
2
2
k
3 2
2
2
k +….=2m+a0=k
Thí dụ 3: Cho dãy số a n gồm các số nguyên xác định như sau
a n n e
2015 1
log ; nZ ( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Tìm số hạng a nsao cho phương trình x n
a
x
2015 có nghiệm x 1 ; 2
n
e e
2015 ln ) 1 2015 ln(
1 )
2015 1
ln(
ln log
2015 1
Xét hàm f(x)=lnx
x x
f' ( ) 1
Theo định lý Lagrăng ;
1
) 2015 ln(
) 1 2015 ln(
2015 1
2015
) 2015 ( ) 1 2015 ( ) ( ' / ) 1 2015
;
2015
(
n n
n n
n n
n
c f
c
f
) (
'
1
Theo định nghĩa phần nguyên ta có :
Trang 3Do n
n n n
n
a c
c ( 2015 ; 2015 1 ) 2015 2015
Khi đó PT 2015xxa n 2015x 2015n 0
x
x x
g( ) 2015 2015 liên tục và đồng biến trên 1 ; 2
g(x) có nghiệm trong 1 ; 2 g( 1 ) 0 g( 2 ) 2015 1 2015n 0 2015 2 2 2015n
2 2015 2015
1
2015 2
(*)
2
2015 ln ) 1 2015 ln(
1
a
Thí dụ 4 : (Đề vô địch Nam Tư; 1983)
Cho dãy số a n gồm các số nguyên xác định như sau
a n a n
2
3
( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Chứng minh rằng dãy số có vô hạn số chẵn
Giải :
Giả sử dãy số trên có hữu hạn các số chẵn
Tồn tại chỉ số đủ lớn N sao cho nN ta có a n lẻ (*)
Xét số hạng lẻ a p q
n 2 +1(q lẻ)
Do tính chất phần nguyên ara r;aZ
2
3 2
3 ) 1 2 (
2
3 2
1
2
3 2
3 ) 1 2
.(
2
3 2
1
2
1 2
3 2
3
Khi m=p thì a np 3 q 1là số chẵn Điều này trái với (*)
Vậy dãy số trên có vô hạn các số chẵn
Thí dụ 5 : Cho các số nguyên dương a;b trong đó a và 2015 nguyên tố cùng nhau và dãy số x n gồm các số thực xác định như sau
2015
b an
n Z ( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x) Tính tổng các số hạng:
2015
1
k k
x S
Giải : Thực hiện phép chia cho 2015 ta có a 1 b 2015 q1r1; 0 r1 2015;
2015
1 2015
; 2015 2015
1
1
b a r
r q
b
2015
2 2015
; 2015 2015
2
2
b a r
r q b
1 2015
k k
k
r x
S
Do UCLN(a;2015)=1 và n chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod 2015
Trang 4 anb chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod 2015
r n chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ mod 2015
2015 2
2014 2015 2015
2014
2015
1 2015
0 2015
2015
1
k
k
r
S
Thí dụ 6 : (IMO- 1996) Cho dãy số (a n ) có a 1 =0; a n = 2
) 1 (
2
) 1 (
n n n
a ,nZ ( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)
Xác định giá trị lớn nhất của a n khi n 1996
Hướng dẫn :
Giả sử n=a k a k1 a1a0 2 2a k a k1 a12a0
1
; 2 1
0
; 2 2
0
0
a n
a
n
n a k a k1 a12=m
Kí hiệu u nlà tổng số các cặp 00 hoặc 11 trong biễu diễn của n trong hệ nhị phân
v nlà tổng số các cặp 00 hoặc 11 trong biễu diễn của n trong hệ nhị phân
Ta có kết quả a nu nv n(**)
N=1=12 thì u1v1 0 suy ra (**) đúng vì a1=0
Giả sử (**) đúng với mọi p=1;2;2;…;n-1
Ta chứng minh (**) đúng với p=n
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1 :n 0 (mod 4 ) n 3 (mod 4 ) tức là n=a k a k1 002hoặc n=a k a k1 112
Theo công thức (*) và giả thiết quy nạp thì
1 1
2 2 2
Do
2
n
u =un-1;
2
n
v =vn; vậy a n u nv n
Trường hợp 2: n 1 (mod 4 ) n 2 (mod 4 ) tức là n=a k a k1 012hoặc n=a k a k1 102
Theo công thức (*) và giả thiết quy nạp thì
1 1
2 2 2
Do
2
n
u =un ;
2
n
v =vn-1; vậy a n u nv n
1996=111110011002 có 7 chữ số 1
nên các số n 1996 cũng có nhiều nhất là 9 số 1
số 1023 có un=9 và vn=0 nên a n u nv n=9
Vậy giá trị lớn nhất của an=9 khi n=1023
Trang 5Thí dụ 7 : (Đề dự tuyển IMO;Thụy Điển đề nghị)
Cho dãy số a n gồm các số thực xác định như sau a n10n 2;nZ
( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
Chứng minh rằng dãy số có tính chất đơn ánh
Giải : Ta thấy 10n 2 là số vô tỷ (do 2 là số vô tỷ)
Xét biễu diễn trong hệ thập phân có 2 1 ,k1k2 k n
10 10
10 10 1 ( 10 2
2 2
n n n
n n
phần thập phân 10n 2=0 ,k n1k n2
Giả sử tồn tại 2 số hạng 10i 2=10k 2 suy ra 0 ,k i1k i2 =0 ,k k1k k2
Khi đó k ia=k ka với a=1;2;3;…
Khi đó xét 2 1 ,k1k2 k n là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ ik vô lý
Thí dụ 8 : Cho dãy số thực a n xác định như sau n
n
a 2 3 ; nZ
( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
Tính giới hạn: A= n
lim
Giải :
Xét tổng n n
n
s 2 3 2 3 là một số nguyên
2 3 2 3 1
(*) Mặt khác
2 3 1 2 3 2 3 lim 2 3 lim 2 3 0
n n
n n
n n
n
(**)
Từ (*) và (**)A= n
lim 1 lim 2 3 1
n n
Thí dụ 9 : (Đề tác giả sáng tác gửi HĐ thi Olympíc 30-4;2015)
Cho dãy số a n gồm các số thực xác định như sau
2
2 2
1 1
2
; 3
n
n n
n
a
a a
a
; nZ ( x và x tương ứng là phần nguyên và thập phân trong biễu diễn thập phân của số thực x)
Tính giới hạn: A= n
lim
2
2 2
1
2
n
n n
n
a
a a
2
1 1
1
1 2
1
2 1 2 1 1 2
1
2 1 2 1
2 a a2a (a a a) 2 a 12 a a a a
a
2
2 2
1
3
3 1 2 1
a
a
Suy ra 1 a2 2 Giả sử 1 a 2 a 1 a a
Trang 6Xét
1
2 2 2
1
2 2
2 2
2
2 2
1
) 2 (
) 2 ( 2
2 4 1
) 1 ( 2 2
n a a
a
a a a
a a
a a
a
n n
n n n
n n
n n
n
Do 0 2 2 1 lim ( 2 2)2 1 0 lim 2
n n
Thí dụ 10 : Cho f(x) là đa thức bậc 3 có hệ số nguyên và hệ số ứng với số
mũ cao nhất bằng 1 Biết f(0)+f(1)+f(-1) không chia hết cho 3
Tính giới hạn: A= lim3 f(n)
( x là phần thập phân của biễu diễn thập phân số thực x)
Giải : Giả sử f(x)=x3ax2bxc;a;b;cZ
f(0)+f(1)+f(-1)=2a+3c không chia hết cho 3
a
không chia hết cho 3 Vậy a=3k+r; r 1 ; 2
) 3 ( )
( )
3
( k r n bn c n k rn b k n c k
Ta chứng minh được khi n đủ lớn ta có
(nk) 3 f(n) (nk 1 ) 3
Theo định nghĩa phần nguyên ta có 3 f(n)nk
3
3
) ( ) ( ) ( )
(
3 lim
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( lim
) ( lim ) ( lim
2 3
2 3
3 2 2
2 3
2 3
3 3
3
a
r
k n n f k n n
f
k nk c bn rn
k n n f k n n
f
k n n f k
n n f n
f A
n
n n
n
Bài tập
Bài tập 1 (Vô địch Thụy Điển, 1982) Với mỗi n N, hãy xác định
số nghiệm trên đoạn 1 ;n của phương trình 2 2 2
x x
Bài tập 2 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, lớp 11 Đề thi đề nghị
TrườngTHPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị) Tìm tất cả các số thực
x 0 sao cho x, x, x, theo thứ tự ấy, lập thành cấp số nhân
Bài tập 3 (Thi học sinh giỏi toán PTTH toàn quốc lần thứ 17, 1979)
Tìm tất cả những số sao cho phương trình sau
có hai nghiệm số phân biệt không âm x2 2x x x 0
Bài tập 4
a/ Phương trình x 1977 x 1978 có bao nhiêu nghiệm?
b/Chứng minh rằng với mọi số thực q và với mọi số thực p 0thì phương trình x p x qsẽ có p hoặc p 1 nghiệm
Trang 7n
Bài tập 5 (Olympic Czech and Slovakia, 1998).Tìm xRsao cho
x x x x 88
Bài tập 6 (Olympic Belarus, 1999) Chứng tỏ rằng phương trình
z
y
x có vô số nghiệm nguyên
Bài tập 7 (Vô địch Australia, 1999) Giải hệ phương trình
8 , 178
1 , 190
0 , 200
z y x
z y x
z y x
Bài tập 8 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, lớp 11 Đề thi đề nghị,
THPT Chu Văn An, Ninh Thuận) Cho dãy số x n xác định bởi công thức x n 4n2 38n với nN Tìm n
lim
Bài tập 9 (Olympic USA lần thứ 26, 1997) Cho p1, p2 , là các số
nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần và cho 0 x0 1 Với mọi k
nguyên dương, ta định nghĩa
0
0 0
1 1
1
k k
k
k k
x khi x
p
x khi
sao cho xk tiến đến 0
Bài tập 10 (Chọn đội tuyển Quốc gia, 2008) Cho dãy số {xn } xác
định bởi
2008
;
1
2
1
1
n n n
x x
x
n
i
x
lim
Trang 8Phần 2: BIẾN ĐỔI DÃY SỐ BẤT KỲ QUY VỀ
DÃY SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC PHẦN NGUYÊN
Sử dụng phương pháp đánh giá để xác định các số hạng của dãy số có dạng của biểu thức chứa phần nguyên Từ đó giải quyết bài toán này như đã trình bày ở phần 1
Thí dụ 1 : Cho dãy số a n gồm các số nguyên xác định như sau ( n 1 )2a n2n, nZ
Tính tổng các số hạng
2015 1
1
2
k k
a S
Giải : Ta có: n 2a n2 n
) 1 (
a n na n 1
Theo định nghĩa phần nguyên a n n
1 2 3 2015 2 1
1
2015
1
2
k
k
a
S
Tổng S được chia thành nhóm 1 2 3 có 3 số hạng; mỗi số hạng bằng 1;
4 5 6 7 8 có 5 số hạng mà mỗi số hạng bằng2 ;……
2014 2 2014 2 1 2015 2 1 có (2015 2 1) ( 20142 1 )
20152 20142 2 2014 1 số hạng mà mỗi số hạng bằng 2014
2
2015 2014 6
4029 2015 2014
.
2
) 2014
2 1 ( ) 2014
2 1 ( 2 2014 ).
1 2014 2 (
2 5
1
.
S
Thí dụ 2 : Cho dãy số a n xác định như sau
a1 1 ;a2 a3 2 ;a4 a5 a6 3 ; (có 1 số 1; 2 số 2; 3 số 3;…)
Tính giá trị a2015
Giải : Ta chia các số hạng của dãy số trên thành các nhóm:
Nhóm thứ 1 có 1 số hạng và có giá trị bằng 1
Nhóm thứ 2 có 2 số hạng và có giá trị bằng 2…
Nhóm thứ k có k số hạng và có giá trị bằng k
Ta cần xác định số thứ tự của nhóm chứa a2015
-Số lượng số hạng có từ nhóm 1 đến nhóm k-1 là :1+2+…+(k-1)=
2
) 1 (k
k
-Số lượng số hạng có từ nhóm 1 đến nhóm k là :1+2+…+k=
2
) 1 (k
k
Giả sử a2015 thuộc nhóm thứ k khi đó chỉ số 2015 thỏa
Trang 91 4
1 4030 2
1 4
1 4030
2
1 4
1 4030 2
1 4
1 2
1 4030
4
1 2
1
) 1 ( 4030 )
1 ( 2
) 1 ( 2015
2
)
1
(
2 2
k
k k
k k
k k k
k k
k k
k
Theo định nghĩa phần nguyên có k= 63
2
1 4
1
Thí dụ 3 : Cho dãy số a n gồm các số nguyên xác định như sau
a a
a
n n
2
3 1
2
3
2
1
1
Chứng minh rằng dãy số trên có vô hạn các số lẻ
Giải : Ta có: a n a n a n
2
3 1
2
3
2
3
1
a n a n a n
Theo định nghĩa phần nguyên 1
2
3
n
a
Giả sử dãy số trên có hữu hạn các số lẻ
Tồn tại chỉ số đủ lớn N sao cho nN ta có a n chẵn (*)
Xét số hạng chẵn a n 2p.q(q lẻ)
n n
1 1
2
3 2
Tương tự a n 2 a n 1 2p 1q 3 2p 2q 3 2p 2q
2
3 2
q a
m
n
m
n
3 2
2
3
1
Khi m=p thì a np 3 qlà số lẻ Điều này trái với (*)
Vậy dãy số trên có vô hạn các số lẻ
Thí dụ 4 : Cho dãy số a n gồm các số thực xác định như sau
a n 3 6 3 6 3 6 (n dấu căn) nZ
Tính giới hạn: A=
1 2
lim 2015
2014
a
n
Giải
Ta có a n 3 6 3 6 3 6 3
1
k k k k k
a
Theo nguyên lí qui nạp ta kết luận (a n) tăng
; 1 1
a a
Z
Trang 10Mặt khác ta có a1 2 Giả sử a k 2 3 6 a k 3 6 2 2 a k1 2
Theo nguyên lí qui nạp ta kết luận ; 2
n
a Z
Theo định nghĩa phần nguyên thì từ (*) và (**) suy ra phần nguyên a n 1
1
; 0 1 2
) 1 (
lim
; 0 1
2
2014
2015
2014
n n
n
n
a n n
a
n
1 2
lim 2015
2014
n
a
n
Bài tập
Bài tập 1 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, Đề thi đề nghị, THPT
chuyên
Thăng Long, Đà Lạt) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
1 2 x2 x2 1 x2 2 5190
Bài tập 2 (Olympic Anh, 1975) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn phương
trình:
3 1 3 2 3 x3 2 3 x3 1 400
Bài tập 3 (Olympic 30.4 lần thứ 15, 2009, lớp 10 Đề thi đề nghị,
THPT
chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định) Tìm số nguyên dương n thoả mãn
3 1 3 2 3 n3 2 3 n3 1 85n2
Bài tập 4 Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình
3 1 3 2 3 x3 2 3 x3 1 y
Bài tập 5 (Olympic 30.4 lần thứ 9, 2003, lớp 10 THPT Bến tre) Tìm số
n
nguyên dương sao cho
3 1 3 2 3 n3 2n 4 7225