Hay định lý Van der Waerden như sau: "Nếu tập tất cả các số nguyên dương được chia ra hữu hạn các tập con, thì tồn tại một tậpnào đó chứa dãy cấp số cộng dài tùy ý".. Để tìm thêm được cá
Trang 1PHÂN HOẠCH NGUYÊN
ĐẶNG THU HƯƠNG THPT CHUYÊN HẠ LONG Email: dangthuhuong91@gmail.com
Tóm tắt nội dungThế nào gọi là "số học-tổ hợp" Thực ra không có một định nghĩa nào cho loại bài toán
đó, nhưng có thể hiểu đó thực chất là các bài toán tổ hợp được làm hấp dẫn thêm bởi mộtvài tính chất số học của số tự nhiên Những bài toán dạng "số học-tổ hợp" được coi như lànghiên cứu về "cấu trúc tập số tự nhiên" thay vì nghiên cứu về các mối liên hệ đại số vàcác tính chất không rời rạc của các số tự nhiên trong bộ môn đại số, giải tích hay số họckhác
Chủ đề về "số học-tổ hợp" rất rộng trong toán học, bao gồm cả kiến thức tổ hợp và số học,thậm chí là cả đại số cao cấp Tuy nhiên mối quan tâm dành cho các dạng toán này hiệnnay còn giới hạn Để tiện theo dõi, tôi tạm chia đề tài thành 4 phần sau: Phân hoạch trêntập hợp số nguyên, Phân hoạch và các vấn đề liên quan, Tính chia hết và Các bài toán vềtổng Trong đề tài này tôi chỉ trình bày một vài mảng lớn và thông dụng trong "số học- tổhợp" thường gặp ở những kỳ thi học sinh giỏi chứ không phải tất cả các chủ đề trong "sốhọc- tổ hợp"
Trang 2Mục lục
Trang 3§1 Phân hoạch tập hợp số nguyên
Một mục khá quan trọng của số học tổ hợp là nghiên cứu về phân hoạch tập hợp số nguyên
Ví dụ, một kết quả của Schur nêu rằng: "Mọi số nguyên dương k, tồn tại số nguyên n thỏamãn: khi các số nguyên từ 1, 2, , n được chia ra thành k tập con, mỗi tập con chứa 3 sốphân biệt sao cho có 1 số là tổng của hai số kia" Hay định lý Van der Waerden như sau:
"Nếu tập tất cả các số nguyên dương được chia ra hữu hạn các tập con, thì tồn tại một tậpnào đó chứa dãy cấp số cộng dài tùy ý" Để tìm thêm được các tính chất mà các tập controng phân hoạch nguyên có, thì ta cần tìm hiểu thêm về mối quan hệ giữa các tập con đó.Phần này ta chỉ giới hạn trong mục phân hoạch trên tập hợp số nguyên và những kỹ thuậtxây dựng, quy nạp, phản chứng, chứng minh trực tiếp đều được sử dụng ở những bài tậpdưới đây
Bài toán 1: Có thể hay không các số 1, 2, , 100 lập lên đủ 12 dãy cấp số nhân? (Russia, 1995)Lời giải: Một tập hợp các dãy số {(ai,n)n∈N}i∈Iđược gọi là phủ kín tập S khi S ⊆ Si∈I
S
n∈N{ai,n}
Ta cố định i ∈ I, một dãy (ai,n)n∈Nđược gọi là dãy cấp số nhân khi tồn tại số thực
qithỏa mãn ai,n= ai,0qn
Suy ra tồn tại 3 số nguyên dương x1< x2< x3 thỏa mãn
rõ ràng không thể xảy ra Tức là mọi dãy cấp số nhân chứa nhiều nhất 2 số nguyên
tố phân biệt Đặc biệt kéo theo nếu S ⊆ Si∈I
S
n∈N{ai,n} với tập S xác định thì bấtđẳng thức sau đây là đúng:
|S ∩ P| ≤
[
Từ bài toán trên ta nhận thấy dãy 1, 2, , 100 không thể phủ kín bởi 12 dãy cấp sốnhân, vậy 12 dãy có phải điều kiện chặt không? Ta xét bài toán sau:
Bài toán 2: Có thể hay không dãy 2, 3, , 100 được phủ kín bởi 20 dãy cấp số nhân?
Lời giải: Ta chứng minh câu trả lời là không, rõ ràng đây là bài toán mạnh hơn bài toán ban
[
Theo chứng minh bài toán ban đầu, ta có
S
n∈N{ai,n} ∩ P
= 2 Ta phải chứng minhkhi đó không tồn tại các số nguyên khác được phủ kín bởi dãy số trên
Xác đinh các số nguyên x1 < x2 như trước thỏa mãn p1 = ai,x 1 = ai,0qx1
i và p2 =
ai,x 2 = ai,0qx2
i với số nguyên tố p1 < p2 và số thực qi lớn hơn 1 Khi đó qi =
Trang 4(p2/p1)x2 −x1, do đó mọi phần tử của dãy cấp số nhân có dạng nhất định, suy ra
p
h x2 −x1 −1 1
Rõ ràng điều kiện y 6∈ {p1, p2} tương đương với h 6∈ {0, x2− x1}
Nếu h lớn hơn x2− x1 thì phân số là tối giản, do đó không là số nguyên Nếu 0 < h <
x2− x1 thì α sẽ có dạng pl
1pm
2 với số hữu tỉ 0 < l, m < 1 tương ứng, do đó cũng không
là số nguyên Cuối cùng, nếu h âm, α sẽ có dạng p
Xét chỉ số i ∈ I thỏa mãn Sn∈N{ai,n} ∩ P = {p}, với số nguyên tố p nào đó Và giả sử
... x5 Năm số biểu diễn 10 số số từ 15? ?ến 24, tức 10 số 10 tổng {xk+xl, k6= l; ≤ k ≤ 15} Từ suy
15 + 16 + + 24 = 4(x1+ x2+... gồm 2k học sinh
kề nhau, mà số học sinh nữ k học sinh số học sinh nữ k họcsinh cuối (IMO shortlist 2011)
Trang 7