SH hung NT mot so tinh chat so hoc cua he so to hop

Chuyên đề: Một số tính chất số học của hệ số tổ hợp GV: Nguyễn Trung Hưng Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa I.. Bài viết này quan tâm đến một số tính chất số học của các số này và

Chuyên đề: Một số tính chất số học của hệ số tổ hợp

GV: Nguyễn Trung Hưng Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa

I Tóm tắt nội dung

Trong chương trình phổ thông chúng ta được học khai triển nhị thức Newton:

a b C C a b  C b với n * và

 !  , 0,1, ,

k n

n

k n k

Các số  0 1 

, , , n

C C C như vậy được gọi là hệ số tổ hợp Bài viết này quan tâm đến một số tính chất số học của các số này và một số áp dụng của nó

II Một số tính chất của hệ số tổ hợp

Ở đây ta quy ước, C n k 0 nếu k n

Định lí 1 Nếu m n,  ,mn và m, n nguyên tố cùng nhau thì C n m0 mod n

1

1 1

1.2





Từ đó suy ra mC n m nC n m11, do đó mC n m n Lại có m n, 1 nên C n m n ■

Nhận xét 1

1) Nếu p là một số nguyên tố thì từ định lí 1 ta có kết quả: C i p0 mod p, với mọi

1  i p 1

2) Và từ đây ta cũng sẽ có: 1xp  1 x p modp

Định lí 2 Nếu p là một số nguyên tố và *

,

k thì k 0 mod 

i p

C  p với 1 i p k 1

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh định lí này thông qua các bổ đề:

Bổ đề 1 (Định lí Legendre) Nếu p là một số nguyên tố thì tổng số các ước số dạng pcủa

!

n là

Số này bằng ,

1

n

n s p



 với

2

s a   a a na a pa p  a p

Chứng minh bổ đề 1: Chú ý rằng tổng số các nhân tử dạng p của n là max ,!  với

max là số mũ lớn nhất sao cho plà ước của !.n

Ta lại thấy rằng nếu i

n p thì n i 0

p

 



 

  Do đó, tổng 1

i i

n p





 

 

 

 là hữu hạn Ta sẽ chứng

1

i

n p





 

 

 bằng quy nạp Thật vậy, với n1, ta có: n p i với mọi i nguyên

dương nên

1

i

n p





 

 

 Giả sử (*) đúng với n1 và đặt j là số tự nhiên lớn nhất sao

cho p j | n Ta sẽ chứng minh rằng:

1

j

     

  (do n!   n.n 1 !  nên nếu

chứng minh được như vậy thì

1

i i

n p





 

 

 

 là số mũ lớn nhất để cho p | !).n

Ta có: 1 1; |

0; |

i

p n



     

 

1

j

j j



         

Vậy theo nguyên lí quy nạp thì với mọi n * ta đều có (*)

Cuối cùng là chứng minh

1

1

n i

i

n s n





  

  

 

 Thật vậy, ta có:

n s





  1 2   2 3   

a p   p   a  p   p     a p a

a p  a  p  a p a a p  a  p  a p a

1

i







Bổ đề 2 Với mọi số thực x, y, xy     x  y

Chứng minh bổ đề 2: Ta có: x x y,  y   x y    x  y Từ đây, theo định nghĩa phần nguyên ta suy ra: xy     x  y

Quay trở lại bài toán: Theo bổ đề 1 thì tổng số các ước số dạng p của p là k!

1

k k j j

p p



Theo bổ đề 2 ta sẽ được:  

**

Ta lại có theo bổ đề 1,

1

k k

j



    



 là tổng số các ước dạng pcủa i p! k i!, mà 0,

k

k k

p p



  nên (**) là bất đẳng thức ngặt, tức là ta sẽ có:

  Từ đó, tồn tại ít nhất một ước p của p mà không là ước k! của i p! k i! Hay | k

i p

p C ■

Nhận xét 2 Từ định lí 2 ta sẽ có: 1  1 mod 

Định lí 3 (Định lí Lucas) Cho m và n là các số nguyên không âm và p là một số nguyên tố

Đặt mm0m p1   m p k k, nn0n p1   n p k k với 0m n i, i  p 1,i1,k là các biểu

diễn theo cơ sở p của m, n Khi đó, 0 1  

0 1 k mod

k

m

Chứng minh: Do nhận xét 2 nên:

1 1 0

n n p n p n p n





    1 1   1  

0





   1 1  1   

0

1 k k 1 k k 1 1 mod

n

Do m, n biểu diễn theo cơ sở p là duy nhất nên thực hiện đồng nhất hệ số của x m hai vế ta

1 1 0

mod

m



III Một số bài toán vận dụng

Bài toán 1 Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng với mọi số tự nhiện k thỏa

0  k p 1 ta đều có: C k p1   1 k mod p

Giải:

Từ nhận xét 1, ta có: C k p 0 mod p, k 1,p1

Ta có: 0   0 

p

C  C  C C    p

Giả sử rằng C p k1    1 k mod p (với 0  k p 1) Khi đó, ta có:

C  C  C  C        p

Vậy C p k1    1 k mod p với mọi k 0,p1

Bài toán 2 Cho n ,n1 Chứng minh rằng số 1 1

n

t C  C  chia hết cho 22n2

Giải:

Xét đa thức:    2 1  22

n n



    Đa thức này có hệ số của số hạng chứa 2n

x là t n

Mặt khác, ta có:     2  2 2

P x  x  x  x 

1 2 2 1 3 3 2 1 2 1

2 1 C x n   C x n n n  C x n C x n   C n n x n 

Bằng phương pháp đồng nhất hai vế ta được hệ số của x là: 2n

2 n n n n n n n n n

n

t  C C  C C   C  C 

Do định lí 1 nên các số 1 3 2 1

2n, 2n, , 2n n

C C C  đều chia hết cho 2n nên t chia hết cho n 22n2

Bài toán 3 Cho p là một số nguyên tố và m, n, k, l, s, t là các số tự nhiên sao cho

,

mkps n lp t với ,s t p Chứng minh rằng: C n m C C l k t s mod p

Giải: Ta xét đa thức P x   1 xlp t  1 xt1x pl Thực hiện biến đổi biểu thức trên ta được:

P x  x  x  x 

        1   2     1

1 x t 1 x p 1 x p  1 x l p 1 x l p 1 x p 1 x p l 

Theo nhận xét 1 thì 1xp  1 x p chia hết cho p nên P x  chia hết cho p Ta sẽ xác

định hệ số của kp s

x  trong P x  Trước hết hệ số của kp s

x  trong 1xlp t là C lp t kp s Ta biến đổi tích 1xt1x pl bằng với 1C x t1   C x t t t   1C x l1 p   C x l l lp Chú ý rằng nếu st thì hệ số cần tìm bằng 0,

do đó ta có thể giả sử s t Khi đó, hệ số của x kp s là C C l k t s

Vậy hệ số của x kp s trong P x  là C lp t kp s C C l k t s Do P x  chia hết cho p nên C lp t kp s C C l k t s

chia hết cho p

Bài toán 4 (VMO, 2011) Cho dãy số nguyên  a n xác định bởi

a  a   và a n 6a n15a n2 với mọi n2

Chứng minh rằng a20122010 chia hết cho 2011

Giải:

Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là 2

6 5 0

x  x  có 2 nghiệm là 3 14 và

3 14 Do đó, ta tìm được công thức tổng quát của dãy là:

7 2 143 14 7 2 143 14

14

n

a



7 14 3 14 7 14 3 14

2 , 14

triển nhị thức Newton ta được:

Do 12k 2011 với 1 k 2005, và 2011 là số nguyên tố nên C20112k 2011

Mặt khác theo định lí Fermat nhỏ thì 2011  

3 3 mod 2011 Do vậy

Tương tự, ta chứng minh được v2012 1 mod 2011  (2)

Do đó, từ (1) và (2) suy ra: a2012 2010 u2012 2v2012 20100 mod 2011  

Bài toán 5 Cho a là số nguyên dương Chứng minh rằng: 3 1 2  

0

0 mod 3

a

k k k

C







Giải:

Ta có:   3 1 3 1  

    Các hệ số C k i với i0,k là các hệ số ở hàng

thứ k của tam giác Pascal Ta gọi S T lần lượt là số các hệ số chia 3 dư 1, 2 trong a, a 3a hàng đầu tiên của tam giác Pascal, thì theo  4 ta được 6 4 6 4

Suy ra số lượng các

hệ số không chia hết cho 3 là S a T a 6a chia hết cho 3

0 0

0 mod 3

a

k i

k i



 

Bài toán 6 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C n k là số lẻ với mọi k 0, n

Giải:

Xét p2 và giả sử biểu diễn n, k theo cơ sở p là:

  với n k i, i 0,1

Khi đó, theo định lí Lucas thì ta luôn có  

0

mod 2

i i

r k k

i



 Giả sử rằng tồn tại một số 0

i

n  thì gọi ta chọn k i 1 và k j   0, j i. Khi đó, ta tìm được một số k nhỏ hơn n mà

0

i

i

k

n

C  Suy ra, ta được số C n k là số chẵn

Do đó, k

n

C là số lẻ khi và chỉ khi ta có n i   1, i 0,r n 2s1

Bài toán 7 Cho p, q là các số nguyên tố Chứng minh rằng 2 1  

1 1 mod

pq pq

C   pq khi và chỉ khi

1

2p p 1 1 mod

2q q 1 1 mod

C   p Giải:

Giả sử 1  

2pq pq 1 1 mod

C   pq Do 2pq 1 2q1p p 1 và pq 1 q1p p 1 nên

áp dụng kết quả bài toán 3 ta được: 1 1 1 1    

2pq pq 1 2q q 1 p p1 2q q 1 mod 1

C  C  C  C  p

Mặt khác, do 1  

2pq pq 1 1 mod

C   pq nên 1    

2pq pq 1 1 mod 2

C   p Từ (1), (2) suy ra:

1

2q q1 1 mod

C   p Tương tự, ta cũng có: 1  

2p p 1 1 mod

C   q

Đảo lại, giả sử có: 1  

2p p 1 1 mod

2q q 1 1 mod

C   p ta sẽ chứng minh

1

2pq pq 1 1 mod

C   pq

Áp dụng tương tự trên ta được: 1 1  

2pq pq 1 2p p1 1 mod

C  C   q và 1 1  

2pq pq 1 2q q 1 1 mod

C  C   p Hay C2pq pq111 chia hết cho p và q, mà p q, 1 nên C2pq pq111 chia hết cho pq

Bài toán 8 (Việt Nam TST, 2010) Gọi S là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của n

nhị thức 1xn, trong đó n là số nguyên dương, x là số thực bất kì Chứng minh rằng S2n1

không chia hết cho 3 với mọi n

Giải:

Trước hết ta sẽ tìm ra S2n1 Ta có:

2

Đồng nhất hệ số của n

x ở hai vế ta được:  2

2

   Từ đó, bài toán trở thành chứng minh C42n n1 không chia hết cho 3 với mọi n

Ta giả sử rằng

0

k i i i



 với a i0,1, 2 , i 1, k Ta xét hai trường hợp:

+ Nếu a i 0,1 , i 1,k thì 2i 0, 2 , i 1, k Ta có:

.3 2 0 mod 2

i

0

2

k i i





 Khi đó,

0

2 2 4 1 mod 3

k

i

i

a

t t





Ta cũng có:

0

4 2 3

k

i i i



 nên theo định lí Lucas thì:

 

0

2

i

i

n



+ Nếu tồn tại một giá trị a j 2 Không mất tính tổng quát giả sử j là chỉ số nhỏ nhất sao cho

2

j

a  thì ở vị trí j ở khai triển theo lũy thừa 3 của 4n là 1

Khi đó, ta viết

0

2 3 ,

k i i i









0

k i i i





 , với kk a, ia i khi i 1, ,k a i 0 khi 1,

i  k k và b j 1,aj a j 2 Áp dụng định lí Lucas ta sẽ được:

2

4

0

1 i 1 1 mod 3

i

k a n

i







    (vì j 12 0)

j

a b

C  C 

Một số bài toán khác

Bài toán 9 Cho n là số nguyên dương và p là số nguyên tố Chứng minh rằng:

p n

n

p

 

  

Bài toán 10 Cho a, b là hai số nguyên dương, p là số nguyên tố Chứng minh rằng:

bp b

ap a

Bài toán 11 Cho n * và số tự nhiên k thỏa 0  k n 1 Chứng minh rằng nếu C n k1 p và

k

n

C p thì C n k1 p ngoại trừ trường hợp n1 p

Bài toán 12 (Putnam, 1998) Cho số nguyên tố p3 và 2

3

p

k  

    Chứng minh rằng tổng

k

C C  C chia hết cho p 2

Bài toán 13 (IMO, Shortlisted, 1991) Hãy tìm số nguyên k lớn nhất sao cho 1991k là ước của

1992 1990

1990 1992

Bài toán 14 Cho n là số nguyên dương thỏa số các ước lũy thừa của 2 trong n bằng ! n1

Chứng minh rằng n là một lũy thừa của 2

Bài toán 15 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 | 3n  n1 

Bài toán 16 Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng

, , , n

C C C lcm1, 2, ,n1 

Tài liệu tham khảo

 1 A Adler, J Coury, The Theory of Numbers, Jones and Bartlett Publisher, Boston, 1995

 2 Dusan Djukíc, Vladimir Jankovíc, Ivan Matíc, Nikola Petrovíc, The IMO Compendium – A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: 1959 – 2004,

Springer, 2004

 3 Ivan Niven, Herbert S Zuckerman, Hugh L Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley & Sons, 1991

 4 J B Roberts, On binomial coeficient residues, Canada J Math 1957 Vol 9 P 363 – 370

 5 Victor J W Guo, C Krattenthaler, Some divisibility properties of binomial and q-binomial coefficients, Mathematics Subject Classification, 1991