GT sang HV tinh lien tuc va kha vi de giai phuong trinh ham 2016 07 31

Báo cáo gồm 3 phần chính: Phần 1: Sử dụng tính liên tục của hàm số để giải phương trình hàm.. Phần này trình bày 4 phương trình hàm cơ bản có nghiệm là hàm tuyến tính, hàm mũ, hàm logar

Báo cáo gồm 3 phần chính:

Phần 1: Sử dụng tính liên tục của hàm số để giải phương trình hàm Phần này trình

bày 4 phương trình hàm cơ bản có nghiệm là hàm tuyến tính, hàm mũ, hàm logarit, hàm lũy thừa và một số phương trình hàm được giải dựa vào 4 kết quả trên Ngoài

ra còn trình bày một số phương trình hàm được giải bằng cách sử dụng định nghĩa

Phần 2: Sử dụng tính khả vi của hàm số để giải phương trình hàm

Phần 3: Chuyển đổi giả thiết liên tục của một số phương trình hàm Phần này trình

bày một kĩ thuật chuyển đổi giả thiết liên tục của một số phương trình hàm về giả thiết khả vi

Cho X Y , là các tập con khác rỗng của  Một hàm số f :X Y giữa hai

tập X và Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với một phần tử

duy nhất y của Y Với mỗi x  X , phần tử y của Y tương ứng với x được kí

hiệu là f x   và được gọi là ảnh của x, ta thường viết y  f x   hay

f

x  y và

x được gọi là tạo ảnh của y

Tập hợp  f   x f x ;    , x  X   X  Y được gọi là đồ thị của f

1.1.2 Tính chất của hàm số

Hai hàm số f X :  Y và g Z :  T được gọi là bằng nhau nếu X  Z,

Y  T và f x    g x   ,   x X

Cho f X :  Y là một hàm số Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu với mỗi

y Y  tồn tại x  X sao cho y  f x  

Một hàm số f X :  Y được gọi là đơn ánh nếu

   

Hàm số f được gọi là song ánh nếu nó là toàn ánh và là đơn ánh

Cho hàm số y f x( ) xác định trên X Hàm số f được gọi là tăng (giảm)

nếu x x1, 2X sao cho x1x2 thì f x( )1  f x( )2 ( f x ( )1  f x ( 2)) Trong các bất

đẳng thức trên nếu không có dấu bằng thì ta nói f là hàm số tăng, giảm ngặt

Cho hàm số y f x( ) xác định trên X Hàm số y f x( ) được gọi là bị chặn

trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại số thực M (m) sao cho f x( )M ( f x ( )  m)

với mọi xX Nếu các phương trình f x( )m và f x( )M có nghiệm trên X

thì M , m lần lượt được gọi là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f

Hàm f gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

Đặt f X :  Y và g Y :  Z là hai hàm số Hàm số h X :  Z biến mỗi

phần tử x  X thành h x ( )  g f x ( ( )) được gọi là hàm hợp của f và g, kí

hiệu là g f

Cho hàm số f X :  Y là một song ánh Khi đó với mỗi phần tử y Y  , tồn

tại phần tử duy nhất x  X sao cho y  f x ( ) Khi đó hàm số đi từ Y vào X

biến phần tử y thành phần tử x gọi là hàm ngược của hàm f , kí hiệu là f1

1.2 Giới hạn của hàm số

Cho hàm số y f x( ) xác định trên X Hàm f được gọi là có giới hạn là số

thực A khi x tiến tới x0, nếu   0, 0 thỏa 0 xx0  thì f x( )A 

Cho hàm số y f x( ) xác định trên X và x0X Hàm f gọi là có giới hạn

bên trái là A tại x0 nếu   0, 0 thỏa 0 xx0  thì f x( )A  với

  Hàm f gọi là có giới hạn bên phải là A

tại x0 nếu   0, 0 thỏa 0 xx0  thì f x( )A  với  x X x, x0,

Định lí 1.1 Hàm số y f x( ) xác định trên X có giới hạn là A khi xx0

nếu và chỉ nếu với mọi dãy  x n X thỏa x nx0 thì f x( n)A

Từ định lí trên ta có định nghĩa tương đương với định nghĩa giới hạn hàm số

ở trên: “Cho hàm số y f x( ) xác định trên X Hàm f được gọi là có giới hạn

A khi x tiến tới x0, nếu và chỉ nếu   xn  X sao cho x n x0 thì f x( n)A

( )lim( )

Đặt   x x x0, gọi là số gia của biến số tại x0,  y f x( ) f x( 0), gọi là số gia

của hàm ứng với số gia của đối số tại x0 Khi đó f liên tục tại x0 nếu

0

   

Hàm y f x( ) gọi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X

Định lí 1.3 Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của

chúng

Hàm f xác định trên tập X không liên tục tại x0 nếu một trong các trường

hợp sau xảy ra:

i) Điểm x0 không thuộc X ;

ii) Không tồn tại các giới hạn

g với ( (g x0)0) cũng liên tục tại x0

Định lí 1.6 Nếu hàm f liên tục trên đoạn a b;  và f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại

 ; 

c a b sao cho f c ( ) 0

Định lí 1.5 (Định lí Bolzano- Cauchy) Nếu hàm f liên tục trên đoạn

a b; thì f x( ) nhận giá trị trung gian giữa f a( ) và f b( ), tức là tồn tại ca b; 

sao cho f a( ) f c( ) f b( )

1.4 Phương trình Cauchy

1.4.1 Phương trình Cauchy

Khi giải phương trình hàm ta được phép sử dụng kết quả của các bài toán sau

Bài toán 1.1 (Phương trình Cauchy) Cho f :    là một hàm số liên tục

Theo nguyên lí quy nạp (1.2) đúng với    n

Trong (1.1) thay x  , ta được y

  limrn lim  n lim n  1  1

f x  f  f r  r f xf

Đặt a f(1) ta được f x ax,   x , a là hằng số

Thử lại thấy f x ax,   x thỏa đề bài

Bài toán 1.2 Cho f :    là một hàm số liên tục thỏa mãn

Đầu tiên ta chứng minh f x    0,    x như lời giải 1

Trong (1.4) thay x  y  0 ta được

Suy ra (1.6) đúng khi n  n0 1

Theo nguyên lí quy nạp suy ra (1.6) đúng với mọi n  

Trong (1.6) thay x bởi m

y

n ,

*,

f q  b ,    q với b  f   1Với    x , tồn tại dãy số   qn   thỏa lim qn  x, vì f liên tục nên ta

Bài toán 1.3 Cho f : *   là một hàm số liên tục và thỏa mãn

Trong (1.8) thay 1

y x

c b

Thử lại thấy f x ( )  xc,    x  thỏa đề bài

Lời giải 2

Trong (1.12) thay x  y  1, ta được

x  y , y  , m  , n  *, ta được

1.4.2 Sử dụng phương trình Cauchy để giải phương trình hàm

Phần này sẽ giới thiệu một số phương trình hàm được giải bằng cách sử dụng

kết quả của phương trình Cauchy và 3 bài toán trên

Bài toán 1.5 (Phương trình Jensen) Tìm tất cả các hàm số liên tục

     

g xy g x g y , x y,  

Vì f liên tục nên g cũng liên tục

Theo bài toán 1.1, ta có g x ( )  2 ax ,    x

Thử lại thấy f x axb,   x thỏa đề bài

Bài toán 1.6 Cho a   Hãy tìm tất cả các hàm số liên tục f :    sao

cho

f x   y   f x    f y    axy,  x y ,  (1.17)

Lời giải

Trong (1.17) thay x  y  1 ta được f   0  a

Trong (1.17) thay x  y  2 ta được f   0  4 a

Suy ra f   0  a  0

Khi đó (1.17) trở thành

f x   y   f x    f y  ,  x y ,  (1.18)

Trong (1.18) thay x  0 ta được f   y    f y  ,    y

Trong (1.18) thay y bởi  y ta được

f x  y  f x  f  y  f x  f y ,  x y , 

Theo bài toán 1.1, ta có f x    ax ,    x với a  f (1)

Thử lại thấy f x ( )  ax ,    x thỏa đề bài

Bài toán 1.7 Tìm tất cả các nghiệm liên tục f :    của phương trình

Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Lobacevskii) Tìm tất cả các hàm số liên tục

:

f    thỏa

2( ) ( ) 2

Suy ra f x  ( ) 0 hoặc f x ( )   bx,    với   f  0

Thử lại thấy các hàm trên thỏa đề bài

Bài toán 1.9 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :    thỏa mãn phương

Bài toán 1.10 Tìm tất cả các nghiệm liên tục f :    của phương trình

Ta có bài toán tổng quát của bài toán 1.10 như sau:

“Tìm tất cả các nghiệm liên tục f :    của phương trình hàm

Thử lại thấy f thỏa đề bài

Bài toán 1.12 Tìm tất cả các nghiệm liên tục f :    của phương trình

Nhận thấy f x ( )  0,    x thỏa đề bài

Ta tìm các nghiệm không đồng nhất không

Tồn tại x0 sao cho f x ( )0  0

Thử lại thấy f x ( )  bx2, f x 0,   thỏa đề bài x

Nhận xét Ta có bài toán tổng quát của bài 1.14 như sau:

“Tìm tất cả các nghiệm liên tục f :    của phương trình hàm

f n xn yn  f x f y ( ) ( ),  x y ,  ”

Lời giải phương trình này tương tự lời giải bài toán 1.13

Bài toán 1.14 (Romania 1997) Tìm tất cả các nghiệm liên tục

Lời giải

Trong (1.28) thay x  y  0, ta được f (0)  2 (0) f  f (0)  0

Trong (1.28) thay x  0, ta được  2  2

Suy f x ( )  ax2,    x với a  0

Thử lại thấy f x ( )  ax2,  x ,a0 thỏa đề bài

Bài toán 1.15 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :    thỏa mãn

f x   f y ( )   2 y  f x ( ),  x y ,  (1.29)

Lời giải

Từ đây suy ra f có tập giá trị bằng  nên f là toàn ánh

Do đó tồn tại a   sao cho f a  ( ) 0

Trong (1.29) thay y  a, ta được

Cho y  1 ta được a2  2  a  2 hoặc a   2

Thử lại thấy f x ( )   2 x,   x thỏa đề bài

Bài toán 1.16 Cho f g h , , :    là ba hàm số liên tục thỏa mãn phương

Ta có bài toán tổng quát của bài toán 1.16 như sau:

“Cho f f , i:   , i  1, 2, , n là n  1 hàm số liên tục thỏa phương trình

n i i

Để giải các phương trình có dạng trên đầu tiên ta xây dựng một công thức

liên quan hàm f trên , sau đó là trên  và tiếp đến là trên  Phương pháp

này có tên gọi là phương pháp  Cụ thể các bước thực hiện phương pháp

này như thế nào ta xét phương trình

Giải phương trình trên ta tìm được công thức của f khi x  0

1.5.2 Sử dụng phương pháp NQR để giải một số phương trình hàm

Bài toán 1.17 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :    thỏa mãn

f x (  y )  f x ( )  f y ( )  2 xy,  x y ,  (1.39)

Lời giải

Trong (1.39) thay x  y  0, ta được f (0)  0

Trong (1.39) lần lượt thay y bằng x ,2 , x ta được

Theo nguyên lí quy nạp (1.40) đúng với mọi n  

Trong (1.40) thay x bởi m

2   2

f q  qf  q q   q  f  q  q  aq , m

q n

Thử lại thấy f x ( )  x2  ax,    x thỏa đề bài

Bài toán 1.18 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :    thỏa phương trình

Suy ra (1.42) đúng khi nn0  1

Theo nguyên lí quy nạp suy ra (1.42) đúng với mọi n  

Trong (1.42) , thay x bởi m

y

n ,

*,

Với y  1, ta được f q ( )  cq  1, q   , trong đó  c  f (1) 1 

Với mọi x  , tồn tại dãy số  q n   sao cholim qn  x, suy ra

Bài toán 1.19 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :    thỏa mãn

f x (  y )  f x (  y )  2  f x ( )  f y ( ) ,  x y ,   (1.43)

Lời giải

Trong (1.43) cho x  y  0 ta được f (0)  0

Trong (1.43) thay x  0, ta được

f y  f  y  f y  f y  f  y

Suy ra f là hàm chẵn Do đó ta chỉ cần tìm công thức của f khi x  0

Trong (1.43) lần lượt thay y bằng x ,2 ,3 , x x ta được

Với mọi số thực dương x, tồn tại dãy số   qn   sao cho lim qn  x, suy

 f (0) 2  2 (0) f  f (0)  0 hoặc f (0)  2Khi f (0)  2, trong (1.45) thay y  0, ta được f x ( )  2,    x

nf x  f nx   x    n 

Với mọi q  ta có m

q n

f x  f x

1.6 Sử dụng định nghĩa hàm số liên tục để giải phương trình hàm

Trong một số bài toán ở phần 1.4 và 1.5 ta đã sử dụng tính chất: “ Nếu f liên

tục và xn là một dãy số thỏa xn  x thì f x ( n)  f x ( )”

Tính chất trên là định nghĩa của hàm số liên tục đã được trình bài ở phần 1.3

Bây giờ ta sẽ xét tiếp một số bài toán mà lời giải có sử dụng tính chất trên

Bài toán 1.21 Tìm tất cả các hàm f :    liên tục tại không và thỏa mãn

Trong (1.51) thay x  0, ta được f   0  0

1

1 1

Trong (1.52) cho n   và sử dụng tính liên tục tại 0 của f ta được

Trong (1.53) thay x  y  0 ta được f   0  0

Trong (1.53) thay x  y, ta được

Nếu f x    0 thì chuyển qua giới hạn ta được 0 1 , vô lí

Vậy chỉ có f x    0 thỏa đề bài

Bài toán 1.23 Tìm tất cả các hàm số liên tục f :    thỏa mãn phương

Trong (1.56) thay x bởi

Bài toán 1.25 Tìm tất cả các nghiệm liên tục f :    của phương trình

g x   x ,   x Thử lại thấy thỏa đề bài

2 Sử dụng tính khả vi của hàm số để giải phương trình hàm

Hàm f gọi là khả vi trên khoảng I   nếu nó khả vi tại mọi điểm x  I ,

khi đó đạo hàm của f trên I là một hàm số được kí hiệu là f x '( )

Định lí 2.1 Nếu hàm số f khả vi tại điểm a thì nó liên tục tại điểm a

Định lí 2.2 Cho f và g là hai hàm số khả vi tại x và c là một hằng số, khi

f x khả vi thì đạo hàm của nó được kí hiệu là f ''( ) x , và nếu f ''( ) x khả vi

thì đạo hàm của f ''( ) x được kí hiệu là f '''( ) x , nếu f '''( ) x khả vi thì đạo hàm

của nó được kí hiệu là f(4)( ) x ,…, đạo hàm của của f(n1)( ) x được kí hiệu là

( )

( )

n

f x và khi đó f được gọi là khả vi n lần

2.3 Một số bài toán điển hình

Bài toán 2.1 Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn điều kiện

f x (  y )  f x (  y )  4 xy x ( 2 y2),  x y ,  (2.1)

f x   ax không thỏa đề bài

Vậy không có hàm f nào thỏa (2.2)

Bài toán 2.3 Tìm tất cả các hàm số f :    có đạo hàm liên tục trên 

và thỏa mãn điều kiện

f (2016 x  2017)  2016 ( ) f x ,    x (2.3)

Lời giải

Từ (2.3) suy ra

x f

2017 2015

Vì f khả vi nên g cũng khả vi Do đó lấy đạo hàm hai vế của (2.5) lần lượt

theo biến x và biến y ta được

Dễ thấy f x ( )  0,    x thỏa phương trình (2.6)

Ta sẽ đi tìm nghiệm không đồng nhất bằng 0 của phương trình

Mẫu thuẫn này chứng tỏ f x ( )  0,    x

Từ (2.6) ta được

2( ) ( ) 2

Thử lại thấy f x ( )  eax b thỏa đề bài

Vậy phương trình (2.6) có hai nghiệm là f x ( )  0,    x và

Lời giải

Dễ thấy f x  ( ) 0,    x thỏa phương trình

Từ (2.8) suy ra f x ( )  0,    x

Ta đi tìm nghiệm không đồng nhất bằng 0 của phương trình

Giả sử tồn tại x0 sao cho f x ( )0  0

Thử lại thấy f x ( )  cxa , x   thỏa đề bài

Vậy phương hàm (2.8) có hai nghiệm là f x ( )  0,    x và f x ( )  cxa

Bài toán 2.7 Tìm tất cả các hàm số khả vi f :    thỏa

Thử lại thấy f x ( )  ax2  b, x   thỏa đề bài

Bài toán 2.8 Xác định tất cả các hàm số khả vi f :  \ 0     thỏa

phương trình hàm

2 ( ) ( )

f x f y f

3 Chuyển đổi giả thiết liên tục của một số phương trình hàm

Định lí 3.1 Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a b ;  thì nó khả tích (có thể

lấy tích phân) trên đoạn  a b ; 

Định lí 3.2 Nếu hàm số f t ( ) liên tục trên đoạn  a b ;  thì với x   a b ; ,

x

a

F x   f t dt khả vi trên đoạn  a b ;  và F x '( )  f x ( )

Đối với một phương trình hàm, nếu hàm số khả vi ta có thể chuyển phương

trình hàm về một phương trình vi phân Khi đó việc giải phương trình sẽ trở nên

dễ hơn

Ta xét 2 bài toán sau:

Bài toán 3.1 Tìm tất cả các nghiệm khả vi f :    của phương trình

Cauchy (1.1)

Lời giải

Lấy đạo hàm hai vế của (1.1) theo biến x, ta được

Dễ thấy f (0)  0 vì vậy b  0 Vậy f x ( )  ax, x  

Thử lại thấy ( )f x ax,   thỏa đề bài x

Bài toán 3.2 Giải bài toán 1.2 với giả thiết f là hàm số khả vi trên 

Lời giải

Từ đề bài suy ra

 

20 2

Với 2 bài toán trên ta thấy giả thiết liên tục và khả vi của nghiệm cho chúng

ta cùng một kết quả Tuy nhiên với giả thiết khả vi thì lời giải ngắn gọn và đơn

giản hơn Câu hỏi đặt ra có thể chuyển đổi giả thiết liên tục về giả thiết khả vi

được không ?

Xét bài toán 3.1, vì f x ( ) liên tục trên  nên nó liên tục trên   0;1 Do đó

( )

f x khả tích trong đoạn   0;1 Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.1)

theo biến y từ 0 tới 1, ta được

Và đến đây ta có thể dễ dàng suy ra công thức của f

Tương tự với bài toán 3.2, lấy tích phân hai vế của phương trình (1.4) theo

biến y từ 0 tới 1 ta được

Đến đây ta giải tiếp như trên

Như vậy ta vừa chuyển đổi giả thiết liên tục của bài toán 3.1 và 3.2 qua giả

thiết khả vi

Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng phương pháp trên để giải một số bài toán

Bài toán 3.3 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : *   thỏa mãn

f x ( )  f y ( )  f xy ( ) , x y ,  * (3.2)

Lời giải

Dễ thấy f x 0,   thỏa phương trình x

Vì f liên tục trên * nên nó sẽ liên tục tục trên đoạn   1;2 Do đó f khả

tích trên đoạn   1;2 Lấy tích phân theo biến y từ 1 đến 2 ta được