Liên hệ số phức với khoảng cách trong hình học phẳng Nguyễn Mạnh Cường – THPT Chu Văn An – Hà Nội Chúng ta đã biết, số phức = + được đồng nhất với điểm ; trên mặt phẳng tọa độ.. Ta sẽ
Trang 1Liên hệ số phức với khoảng cách trong hình học phẳng
Nguyễn Mạnh Cường – THPT Chu Văn An – Hà Nội
Chúng ta đã biết, số phức = + được đồng nhất với điểm ( ; ) trên mặt phẳng tọa độ Tương tự, số phức = + được đồng nhất với điểm ( ; ) Khi đó:
− = ( − ) + ( − )
Dẫn đến: | − | = ( − ) + ( − )
Công thức này làm ta nghĩ ngay đến công thức khoảng cách giữa 2 điểm M, N trên mặt phẳng tọa độ Như vậy:
| − | = (*)
Kết hợp với các tính chất của modul số phức:
| | = | | | | ; =| || | ; | ± | ≤ | | + | |
và kết hợp các đẳng thức (thường học ở lớp 8), ta có thể phát triển một số bài toán về hình học, như với bài toán sau:
Bài toán 1:
a) Cho x, y, z đôi một khác nhau CMR:
( )( )+( )( )+( )( ) = 1 (1)
b) Cho điểm P trong ΔABC, BC = a, CA = b, AB = c CMR:
a.PB.PC + b.PC.PA + c.PA.PB ≥ abc (2)
Rõ ràng, phần a) là quá đơn giản Ta sẽ sử dụng nó để xử lý phần b)
Muốn vậy, ta cần có hệ tọa độ, để mỗi điểm sẽ được đặt tương ứng với một
số phức Do P là điểm xuất hiện nhiều nhất, nên ta xét hệ tọa độ có gốc ở P Khi đó: P ≡ 0, A ≡ x, B ≡ y, C ≡ z với 0, x, y, z là các số phức
Theo nhận xét (*), ta có: PA = |x|, PB = |y|, PC = |z|
Trang 2c = AB = |x – y|, a = BC = |y – z|, b = CA = |z – x|
Chú ý rằng, hệ thức (1) ở phần a) đúng cho cả các số phức Nên, khi x, y, z là các số phức, ta lấy modul hai vế, sẽ được:
1 = ( )( )+( )( )+( )( )
≤ | | |.| ||.|
|+| | |.| ||.| |+| | |.| ||.| | = . + . + . Suy ra: 1 ≤ . . . . . . hay a.PB.PC + b.PC.PA + c.PA.PB ≥ abc
Từ Bài toán trên, nếu chọn P là các điểm đặc biệt đối với tam giác, ta có được một số kết quả khá thú vị:
+) Chọn P ≡ O, với (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác, thì:
( + + ) ≥ hay ≥
+) Chọn P ≡ G với G là trọng tâm tam giác, thì:
+ + ≥ (3) Chú ý rằng, nếu gọi , , là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác GBC, GCA, GAB thì:
= 4 = 4
= 4 = 4
Mà = = = , nên khi thay vào (3), ta thu được một kết quả khá gọn gàng:
+ + ≥ 3
+) Một câu hỏi nữa là, dấu “=” ở bất đẳng thức (2) là gì?
Tôi tìm được: nếu P ≡ H là trực tâm tam giác ABC, thì dấu “=” sẽ xảy ra, và khá “kỳ quặc” là tôi không dùng đến số phức!
Xét : T = 2.(a.HB.HC + b.HC.HA + c.HA.HB)
Trang 3= HA(b.HC + c.HB) + HB(c.HA + a.HC) + HC(a.HB + b.HA)
Lại có: b.HC + c.HB = a.2R (Định lý Ptolemy)
Nên T = 2R(a.HA + b.HB + c.HC)
= 2R + + với AA’,BB’, CC’ là các đường cao
= 4RS + +
= 4R .2 = 2abc
Do đó, a.HB.HC + b.HC.HA + c.HA.HB = abc, tức là dấu “=” xảy ra!
Cùng ý tưởng như vậy, ta hoàn toàn có thể giải và mở rộng các bài toán tương tự:
Bài toán 2:
a) Cho x, y, z bất kỳ Cmr:
( − ) + ( − ) + ( − ) = ( − )( − )( − )( + + )
b) Cho điểm M nằm trong ΔABC, G là trọng tâm tam giác Cmr:
+ + ≥ 3
hay + + ≥ 6
Bài toán 3:
a) Cho x, y, z, t đôi một khác nhau Cmr:
( )( )(
)+( )( )( )+( )( )( )+( )( )( ) = 1
b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), có độ dài 4 cạnh là a, b, c, d và
độ dài 2 đường chéo là m, n Cmr:
≥
Trang 4Tóm lại, từ những đẳng thức đại số, với việc lấy modul 2 vế và chọn hệ tọa độ phù hợp, chúng ta sẽ thu được những bất đẳng thức hình học khá thú vị Tôi rất mong các bạn có thể tìm thêm các đẳng thức khác, và đưa ra các bài toán hay hơn nữa về mối liên hệ này Xin cảm ơn!