DS1 d2 CuongNH ung dung so hoc giai phuong trinh ham

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm Chuyờn đề: ỨNG DỤNG SỐ HỌC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH HÀM Nguyễn Hoàng Cương - Trường THPT chuyờn Lờ Hồng Phong, Nam Định I.. Những ý tưởn

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Chuyờn đề: ỨNG DỤNG SỐ HỌC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH HÀM

Nguyễn Hoàng Cương - Trường THPT chuyờn Lờ Hồng Phong, Nam Định

I Những ý tưởng:

Trong lớp cỏc phương trỡnh hàm giải được nhờ việc sử dụng cỏc tớnh chất số học,

ta cần chỳ ý đến một số dấu hiệu sau:

- Nếu xuất hiện cỏc biểu thức tuyến tớnh chứa lũy thừa, cú thể nghĩ đến cỏc bài toỏn về bậc của phần tử, cỏc phương trỡnh đặc biệt như: phương trỡnh Pell, phương trỡnh Pythagore, hay đưa về xử lý cỏc bài toỏn giải phương trỡnh vụ định nghiệm nguyờn

- Nếu hàm số đó cho nhõn tớnh, ta thường hay xột đến giỏ trị hàm số tại cỏc điểm

là số nguyờn tố hoặc dóy vụ hạn cỏc số nguyờn tố

- Sử dụng cỏc đẳng thức, bất đẳng thức số học

- Đặc biệt, trong một số bài toỏn, hệ cơ số đếm cú thể sử dụng để xõy dựng nhiều dóy số cú tớnh chất thỳ vị Trong hệ cơ số 10, chỳng ta cú thể rất khú nhận ra quy luật nhưng nếu chọn cơ số phự hợp thỡ bài toỏn cú thể giải quyết đơn giản hơn rất nhiều

Nếu g2, g thỡ mọi số nguyờn dương M đều biểu diễn một cỏch duy nhất dưới dạng M a a1 2 a n g a g1 n1a g2 n2  a n1g a n với 1 a1 g  1;

0a i  g 1,  i 2;n

Cơ số đếm thường sử dụng trong bài toỏn phương trỡnh hàm là cơ số 2 và 3

II Bài tập ỏp dụng:

Bài 1: Tỡm tất cả cỏc hàm số f : thỏa món điều kiện

     

3f n 2f f n n,  n

Giải: Giả sử f là hàm số thỏa món yờu cầu bài toỏn

Đặt g n  f n n,  n

Khi đú 2g f n   2f  f n   f n   f n n g n , n  (*)

Áp dụng liờn tiếp (*) ta được:

      2              

m

g n  g f n  g f f n   g f f f n



Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Như vậy, g n  chia hết cho 2 ,m   m g n 0,  n hay f n n,  n

Thử lại hàm f n n,  n thỏa món đề bài

Vậy hàm số cần tỡm là f n n,  n

Bài 2: Tỡm tất cả cỏc hàm số f :** thỏa món điều kiện:

   

, ,

x  f y f x  y x y 

Giải: Giả sử f là hàm số thỏa món 2   2  *

, ,

x  f y f x  y x y  (*)

Trong (*), cho x y ta được 1   2   

1 f 1 f 1 1  f 1  1

1 f y 1 y,  y  y f y ,  y (1) Trong (*), cho y  ta được 1 2 2  *   *

x  f x   x   f x  x  x  (2)

Từ (1) và (2) suy ra   *

,

f x  x    x

,

f x  x    thỏa món đề bài x

Vậy hàm số cần tỡm là   *

,

f x  x    x

Bài 3 (Iran TST 2005): Tỡm tất cả cỏc hàm số f : thỏa món: tồn tại số k   và

số nguyờn tố p sao cho với mọi nk f n,   p f n  và nếu m n thỡ

 1   1

Giải: Giả sử f là hàm số thỏa món yờu cầu bài toỏn

Giả sử nk và p khụng chia hết n 1 Khi đú tồn tại k sao cho n1nkp

Suy ra f n f n   kp1

Mặt khỏc f n  f n kp nờn f n 1 f n 1

Với n 1 bất kỡ, ta cú: n1n1kp f n f   n1kp 1 2

Do đú với n 1 thỡ f n   1; 2

Ta xột hai trường hợp:

*) Trường hợp 1: f n 2, n k và p n 1

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Xỏc định nk và p khụng chia hết n 1 Khi đú tồn tại m sao cho n1m và

1

p m 

Suy ra f n f m      1 3 hay f n   1

Ta xỏc định hàm f như sau:

+) f n 2, n k và p n 1

+) f n   1, n k và p khụng là ước của n 1

+) f i  f i  p, i k

*) Trường hợp 2: f n 1, n k và p n 1

Trong trường hợp này, f n 1, n k và nếu giả sử S a f a 2 thỡ sẽ khụng tồn tại m n, S thỏa món m1n

Ta xỏc định hàm f như sau:

+) f n   1; 2 ,   x

+) Với S là một tập con vụ hạn của  sao cho khụng tồn tại m n, S thỏa món 1

m n và với n1, f n 2 khi và chỉ khi nS f x,  1 với cỏc x 1 cũn lại và

 1

f là một số bất kỡ xỏc định bởi f    2 f 1 1

Bài 4 (IMO Shortlists 2004): Tỡm tất cả cỏc hàm số f :* * thỏa món điều kiện:

     2

, ,

f m  f n m n m n 

Giải: Giả sử f là hàm số thỏa món 2     2 2 *

, ,

f m  f n m n m n  (*)

Trong (*), cho mn1 ta được 2     2 2        

Trong (*), cho m 1 ta được    2 *

f n  n    n

Trong (*), cho n 1 ta được 2   2 2 *

f m  m     m

Với p là số nguyờn tố bất kỡ,

Trong (*), cho m1; n p ta được 1    

2

2

1 1

1 1

1 1

  



  



Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

f p   p  f p  p 

Trong (*), cho m p1;n ta được 1  2 2   2 2

Mà  2 2   2 2 2 2  2 2   2 2

p    p p  p p  p  p  p  (mõu thuẫn)

Do đú f p 1 1 p f p 1 p1 với mọi p là số nguyờn tố hay tồn tại số k

sao cho f k k

Với mỗi k như thế và số tự nhiờn n 0 bất kỡ, ta cú

   2     2      2       2

k  f n k n k  f n p   f n p  n f n  f n n

Khi chọn k đủ lớn ta phải cú f n n

Thử lại hàm   *

,

f n n    thỏa món đề bài n

,

f n  n    n

Bài 5 (USA TST): Cho p là số nguyờn tố lẻ Tỡm tất cả cỏc hàm f : thỏa món đồng thời cỏc điều kiện:

i) f m  f n  với mnmod p

ii) f mn  f m f n   ,m n,  

Giải: Giả sử f là hàm số thỏa món yờu cầu bài toỏn

Với k   , ta cú f p k  1  f pk  f p   f k 1 f k   0

Xột hai trường hợp:

*) Trường hợp 1: f p   0

Dễ thấy nếu f  1 0 thỡ f n 0,  n (mõu thuẫn với f p   0)

Xột riờng khi f  1 1

Với mỗi x  , p khụng chia hết x ta cú y  sao cho xy1 mod p

Do đú ta cú f x f y    f xy  f  1 1,x y,  

Suy ra f n    1, p khụng chia hết n

Mặt khỏc  2 2 

1

f n  f n  với p khụng chia hết n nờn f m   1, nếu m là

một số chớnh phương mod p vàp khụng chia hết m

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Nếu khụng tồn tại i với p khụng chia hết i sao cho f i    1, ta cú ngay

  1,

f n    n và p khụng chia hết n

Xột i là một số khụng chớnh phương mod p và k là một số khụng chớnh phương mod p và và p khụng chia hết k bất kỡ ta suy ra ik là một số chớnh phương mod p

Mặt khỏc f k  f i f k    f ik  1

Hay f x   1, nếu x là một số chớnh phương mod p và p khụng chia hết x ;

  1,

f x   nếu x là một số khụng chớnh phương mod p

Xột x0 sao cho f x 0  1

Thay mx n0;  pvào (ii) ta cú f p  f px 0 f p f x   0 hay f p 1 Suy ra f x   1, nếu x là một số chớnh phương mod p; f x    1, nếu x là

một số khụng chớnh phương mod p

*) Trường hợp 2: f p   0 suy ra f n 0,p n

+) Nếu f  1 0 thỡ f n 0,  n

+) Nếu f  1 0 Giả sử tồn tại x0 sao cho f x 0 0 và p khụng chia hết x0

Suy ra f nx 00,  n

Ta cú dóy x0; 2 ; ;x0 p1x0 là một hệ thặng dư đầy đủ mod p

Suy ra f  1 0 Điều này mõu thuẫn

Vậy f x  0 p x và f x   1 với cỏc x cũn lại

Vậy cú tất cả 4 hàm số thỏa món yờu cầu bài toỏn:

+) f n 0,  n

+) f n 1,  n

+)   0,

khi p n

f n

khi p



n







+)   1

1

f n  





nếu n là một số chớnh phương mod p nếu n là một số khụng chớnh phương mod p

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Bài 6: Tỡm số nguyờn khụng õm n nhỏ nhất sao cho tồn tại hàm số f :0;  khỏc hằng số thỏa món đồng thời cỏc điều kiện:

i) f xy  f x f y   , x y,  

2f x  y  f x  f y  0; 1; 2; ;n ,x y,  

Với số n tỡm được, hóy tỡm tất cả cỏc hàm số thỏa món

Giải: *) Với n 1, xột hàm f được xỏc định như sau::

  0

khi p x

f x

khi p



x







Với p là số nguyờn tố dạng 4k 3,

Hiển nhiờn hàm số trờn thỏa món yờu cầu bài toỏn

*) Giả sử với n 0 thỡ cũng tồn tại hàm số f thỏa món

Khi đú

2f x  y  f x  f y 0,x y,  2f x  y  f x  f y ,x y,  *

Từ điều kiện i), cho x y  ta được 0   2   

f  f f  hoặc f  0 1

*) Trường hợp 1: f  0 1

Cho y  vào (*) ta được 0  2  

2f x  f x 1,   x

Mà  2 2 

f x  f x nờn ta suy ra

2

2f x  f x 1, x  f x 1, x  do f x 0, x 

Điều này trỏi giả thiết hàm f khỏc hằng số

*) Trường hợp 2: f  0 0

Cho y  vào (*) ta được 0  2  

2f x  f x ,   x

Mà  2 2 

f x  f x nờn ta suy ra 2   

2f x  f x ,   x

Suy ra với mỗi x   thỡ f x   0 hoặc   1

2

f x 

+) Nếu tồn tại x0 sao cho  0

1 2

f x  Cho x y  x0 vào (*) ta cú:

2f 2x 2f 2 f x 2f 2 f x 2f x (**)

Từ (*), cho x1; y ta được 0 f  1 0

Từ (*), cho x1; y  ta được 1 f  2 0

Thay f  2 0 vào (**) ta thấy vụ

+) Do đú f x 0,  x Điều này mõu thuẫn với hàm f khỏc hằng số

Vậy n 1 là số nguyờn dương nhỏ nhất thỏa món bài toỏn

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

*) Ta giải quyết bài toỏn: Tỡm tất cả cỏc hàm số f :0;  khỏc hằng số thỏa món đồng thời cỏc điều kiện:

i) f xy  f x f y   , x y,  

ii)  2 2      

2f x  y  f x  f y  0; 1 ,x y,  

Giải: Giả sử f là hàm số thỏa món yờu cầu bài toỏn

Dễ dàng chứng minh được f  0 0; f  1 1

+) Trong i), cho y x, ta cú 2   2

f x  f x  x +) Trong ii) cho y  , ta cú 0 2         

2f x  f x  0; 1  f x  0; 1 +) Trong i) cho x y   ta được 1 2     

f   f   f   Trong i) cho x 1; y  ta được x f x  f   1 f x ,  x  f x  f x , x 

*) Trường hợp 1: Tồn tại số nguyờn tố p sao cho f p   0

Giả sử cũng tồn tại số nguyờn tố q  p sao cho f q   0

Trong ii) cho x p y; q ta được  2 2

0

f p q 

Do đú với mỗi ,a b  ta luụn cú:

2f a b f p q 2f a b p q 2f apbq  aqbp 0

0 f x  f y  2f x  y nờn f aq bp0

Do p q ,  1 nờn tồn tại a b ,  sao cho aqbp 1

Suy ra 1 f  1  f aq bp0 (vụ lý)

Vậy tồn tại duy nhất số nguyờn tố p sao cho f p   0

Nếu p cú dạng 4k 1 thỡ tồn tại a   sao cho p a 2 1 hay  2 

f a   Mặt khỏc, trong ii) cho x1; y  ta được a  2 

1 1

f a   (mõu thuẫn)

p

 cú dạng 4k 3 Từ đú ta cú f x 0p x và f x   1 với cỏc x cũn lại

*) Trường hợp 2: f p   1 với mọi số nguyờn tố p

Khi đú f x 1,   x \ 0 

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Vậy, cú hai hàm số thỏa món yờu cầu bài toỏn là

  0

khi p x

f x

khi p



x







(Với p là số nguyờn tố bất kỳ dạng 4k 3)

khi x

f x

khi x





 





Bài 7: Giả sử hàm số f :*  thỏa món cỏc điều kiện:

 1 1

f  và  

1

2

2

n

f n

n



 

 



Tỡm cỏc giỏ trị của n sao cho f n   2004

Giải: Ta tớnh được f  2  f  3 2 ; f  4  f  5  f  6  f  7 3

Viết dưới dạng nhị phõn, ta cú:

 1  12 1;  2  102 2;  2  112 2

 4 1002 3;  5 1012 3;  6 1102 3;

Dự đoỏn f n  là số chữ trong biểu diễn nhị phõn của n

Thật vậy, khẳng định đỳng với n1,n 2

Giả sử khẳng định đỳng đến n Ta chứng minh khẳng định đỳng đến n 1

Nếu n chẵn thỡ na a k k1 0a1 2  f n  k 1

Khi đú n 1 a a k k1 1a1 2 ,

diễn nhị phõn của n

Trong trường hợp n lẻ ta chứng minh tương tự

Vậy f n  là số chữ số trong biểu diễn nhị phõn của n

Từ đú suy ra nếu f n   2004 thỡ biểu diễn của n trong hệ nhị phõn chứa đỳng 2004

chữ số Vậy 22003n22004

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Bài 8: Giả hàm số f :* * thỏa món cỏc điều kiện:

i) f  1 1 ii)     *

f n  f n    n

f n  f n     n

Tỡm giỏ trị lớn nhất của f n  với 1n1994

Giải: Ta cú f  2 1; f  3 2; f  4 1; f  5 2; f  6 2

Mặt khỏc ta cú: 1 1 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 100 ; 5 101 ; 6 110 ; 2  2  2  2  2  2

Ta dự đoỏn f n  là số chữ số 1 trong biểu diễn nhị phõn của n

Ta chứng minh hàm f như thế thỏa món cỏc điều kiện (i), (ii), (iii)

+) Thật vậy, vỡ 1 1 2  f  1 1

+) Giả sử biểu diễn của n trong hệ nhị phõn là na a k k1 a0 2 ; a i 0; 1 , i 0; ,k a k  0 Khi đú 2n a a k k1 0a0 2 Dễ thấy số chữ số 1 trong biểu diễn nhị phõn của n và 2n là như nhau Vậy f  2n  f n 

+) Mặt khỏc 2n 1 cú biểu diễn nhị phõn là 2n 1 a a k k1 1a0 2

Suy ra số chữ số 1 trong biểu diễn nhị phõn của 2n 1 là số chữ số 1 trong biểu diễn nhị phõn của 2n cộng thờm 1 Do đú f 2n1 f  2n 1

Vậy, hàm f đó chỉ ra ở trờn thỏa món cỏc điều kiện đề bài

Suy ra f n  với 1n1994 lớn nhất khi và chỉ khi số chữ số 1 trong biểu diễn nhị

phõn của n là nhiều nhất

Mặt khỏc ta cú 211 1 1994 nờn số chữ số 1 trong biểu diễn nhị phõn của n cú nhiều

nhất là 10 chữ số 1 Đú là số 210  1 1023 1111111111 2

Vậy f 102310 là giỏ trị lớn nhất

Bài 9 (IMO 1988): Cho hàm số f xỏc định trờn tập cỏc số nguyờn dương * sao cho:

       

Hóy xỏc định cỏc số nguyờn dương n 1998 sao cho f n n

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Giải:

Giả sử n viết trong hệ nhị phõn là na a k k1 a0 2 ; a i 0; 1 , i 0; ,k a k  0

Ta xột hàm f xỏc định bởi f n a a a a0 1 k1 k2 Ta chứng minh hàm f thỏa món cỏc

yờu cầu của bài toỏn

Với n 1 hoặc n 3, kiểm tra trực tiếp thấy khẳng định đỳng

Giả sử biểu diễn nhị phõn của n là na a k k1 a0 2 ; a i 0; 1 , i 0; ,k a k  0

Khi đú biểu diễn nhị phõn của 2n là 2n a a k k1 0a0 2

+) Ta cú f n a a a a0 1 k1 k2; f 2n 0a a a a0 1 k1 k2a a a a0 1 k1 k2

Suy ra f  2n  f n 

+) 4n 1 a a k k1 01a0 2 f4n110a a a a0 1 k1 k2

2n 1 a a k k 1a  f 2n1  1a a a a k k

Khi đú

           0 1 1  2 0 1 1  2 0 1 1 2

2f 2n1  f n  f 2n1  f 2n1  f n  1a a a a k k  1a a a a k k  a a a a k k

1 0 1 k 1 k 2 10 02 10 0 1 k 1 k2 4 1

k

 +) Ta cú 4n 3 a a k k1 11a0 2 f4n311a a a a0 1 k1 k2

         0 1 1  2 0 1 1 2

k



  

2 2 1 2 2 100 000 100 000

    

Do đú 3f2n12f 2n  f2n12 f2n1 f 2n 

 0 1 1 2  0 1 1 2  

k



  Vậy hàm f xỏc định như trờn thỏa món cỏc điều kiện của bài toỏn

Từ cỏch xõy dựng hàm f ta thấy f n n khi và chỉ khi cỏch viết của n trong hệ nhị

phõn cú cỏc chữ số đối xứng

Xột số như thế với biểu diễn nhị phõn cú 2k 1 hoặc 2k chữ số

Khi đú a11,k  vị trớ tiếp theo ta viết 1 a2; a3; ; a k tựy ý

Chuyên đề: ứng dụng số học để giải phương trình hàm

Cú tất cả 2k 1 cỏch viết như thế Cỏc vị trớ cũn lại là cỏc chữ số đối xứng với k chữ số đầu tiờn Như vậy, cú tất cả 2k 1 số

Ta cú 210 1998211 Mặt khỏc chỉ cú 2 chữ số cú 11 chữ số đối xứng nhau trong biểu diễn nhị phõn và lớn hơn 1998 = 111110001002 là 111110111112 và 111111111112

Do đú số cỏc số nguyờn dương n 1998 và f n n là  2 3 4 5

2 1 2 2  2 2 2 92

III Một số bài tập đề nghị:

Bài 10: Cho hàm số f n  xỏc định trờn tập hợp cỏc số nguyờn dương * thỏa món cỏc điều kiện:

i) f p   1 nếu p là số nguyờn tố

, ,

f mn mf n nf m m n 

Hóy tỡm cỏc giỏ trị của n sao cho f n n

Bài 11: Tỡm tất cả cỏc hàm f : thỏa món đồng thời cỏc điều kiện:

i) f 19951996

ii) Với mọi n   nếu f n m thỡ f m n f m;  3n3

Bài 12 (IMO 2012): Tỡm tất cả cỏc hàm f : sao cho với tất cả cỏc số nguyờn , ,

a b c thỏa món a  b c 0, đẳng thức sau là đỳng:

 

 f a 2  f b  2f c  2 2f a f b   2f b f c   2f c f a   

Bài 13: Tỡm tất cả cỏc hàm f : thỏa món đồng thời cỏc điều kiện:

i) f f n    n 4,  n

ii) f 20132016

Bài 14 (Balkan 1999): Cho hàm số f : thỏa món điều kiện f m  f n  nếu

m  là số nguyờn tố Hỏi tập giỏ trị của hàm f cú ớt nhất bao nhiờu phần tử? n

Bài 15: Tỡm tất cả cỏc hàm f : thỏa món điều kiện:

 

Bài 16: (Journal of Mathematical youth 01/2011)

Với mỗi n *, kớ kiệu a n là số tất cả cỏc song ỏnh f : 1; 2; 3; ; n  1; 2; 3; ;n

thỏa món điều kiện với mọi k1; 2; 3; ;n thỡ f f k   k Chứng minh rằng:

1 a n là số chẵn với mọi n 2

2 Với mọi n 10 và n 3 thỡ a n a n1  3