Bài 11 (tr 156 179) hoàng minh quân

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÀ HỆ THỨC HÌNH HỌCTRONG TỨ GIÁC HAI TÂM Hoàng Minh Quân Trường THPT Ngọc Tảo - Hà Nội Chúng ta đã biết rất nhiều hệ thức hình học trong tam giác được sinh bởi phươn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÀ HỆ THỨC HÌNH HỌC

TRONG TỨ GIÁC HAI TÂM

Hoàng Minh Quân Trường THPT Ngọc Tảo - Hà Nội

Chúng ta đã biết rất nhiều hệ thức hình học trong tam giác được sinh bởi phương trình bậc

ba, và đã từ lâu nhiều nhà toán học, nhiều người yêu toán, nhiều cuốn sách đã khai thác tínhchất nghiệm của phương trình bậc ba để xây dựng nên các đồng nhất thức, các bất đẳng thứctrong tam giác Tuy nhiên việc khai thác "Phương trình bậc bốn và các hệ thức hình học trong

tứ giác" cho đến nay vẫn còn bỏ ngõ Điều đặc biệt ở chỗ khi chúng ta đã tìm ra phương trìnhbậc bốn cho yếu tố các cạnh của tứ giác thì có nghĩa rằng toàn bộ các kết quả về các hệ thứchình học sinh bởi phương trình bậc ba trước đây chỉ là hệ quả của nó Ý tưởng xuất hiện choviệc tìm tòi này lại đơn giản là thông qua những lần tham dự hội thảo toán học, qua lần nóichuyện với PGS.TS Tạ Duy Phượng về hệ thức lượng trong tam giác sinh bởi phương trìnhbậc ba và đặc biết là học tập được ý tưởng cách phát triển bài toán từ GS.TSKH Nguyễn VănMậu sau khi đọc một cuốn sách của thầy, từ đó tác giả nghĩ tới việc áp dụng định lí Viet chophương trình bậc bốn để xây dựng và khai thác các hệ thức hình học trong tứ giác

Do khuôn khổ bài viết nên trong bài viết này tác giả xin trình bày kết quả nghiên cứu mớinhất của mình về phương trình bậc bốn cho các cạnh của tứ giác hai tâm, việc trình bày chophương trình bậc bốn với các yếu tố bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tứ giác hai tâm sẽđược tác giả trình bày vào dịp khác

1 Tứ giác nội tiếp

1.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1 Tứ giác lồi ABC D có bốn đỉnh A, B,C , D nằm trên đường tròn (O) được gọi là

tứ giác nội tiếp.

Cho tứ giác lồi ABC D Khi đó chúng ta nói tứ giác ABC D nội tiếp nếu nó thỏa một trongcác điều kiện cần và đủ sau:

Tính chất 1.2 Tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn (O; R) khi và chỉ khi O A = OB = OC = OD

Tính chất 1.3 Tứ giác ABC D nội tiếp khi và chỉ khi hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau.

Tính chất 1.4 Tứ giác ABC D nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng1800.

Tính chất 1.5 Tứ giác ABC D có hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và C D cắt nhau tại I Khi

đó điều kiện cần và đủ để tứ giác ABC D nội tiếp là I A.I B = IC I D

Tính chất 1.6 Tứ giác ABC D có hai đường chéo cắt nhau tại K Khi đó điều kiện cần và đủ để

tứ giác ABC D nội tiếp là K A.K C = K B.K D

Tính chất 1.7 Tứ giác ABC D nội tiếp khi và chỉ khi chân ba đường cao hạ từ đỉnh của tứ giác xuống ba đường thẳng chứa ba cạnh tạo bởi ba đỉnh còn lại là thẳng hàng (Đường thẳng Simson).

Tính chất 1.8 Tứ giác ABC D nội tiếp khi và chỉ khi AC B D = AB.C D +AD.BC (Định lí Ptoleme).

1.2 Diện tích tứ giác nội tiếp

Cho tứ giác ABC Dnội tiếp, có độ dài các cạnh AB = a,BC = b,C D = c,C D = d Khi đó diệntích của tứ giác là

S =

q

¡p − a¢¡p − b¢¡p − c¢¡p − d¢.

Chứng minh

Gọi độ dài đường chéoAC = e.Chúng ta cóS = S ABC + S AC D=12ab sin B +12cd sin Dnên

Lại cóa2+ b2− 2ab cos B = e2= c2+ d2− 2cd cos D

hay

a2+ b2− c2− d2= 2ab cos B − 2cd cos D (2)

Từ(??, (2)đem bình phương hai vế và cộng lại, ta được

16S2+¡a2

+ b2− c2− d2¢2= 4a2b2+ 4c2d2− 8abcd cos(B + D) (3)

= (2ab + 2cd)2 (Do B + D = 1800) (4)

1.3 Độ dài hai đường chéo của tứ giác nội tiếp.

Cho tứ giác ABC D nội tiếp, có độ dài các cạnh AB = a,BC = b,C D = c,C D = d Khi đó haiđường chéo của tứ giác làe, f thỏa mãn

2 Tứ giác ngoại tiếp.

2.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.1 Tứ giác ABC D được gọi là tứ giác ngoại tiếp đường tròn (O) nếu đường tròn

(O) tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ giác.

Tính chất 2.2 Tứ giác ABC D ngoại tiếp khi và chỉ khi tổng các cặp cạnh đối bằng nhau, tức là

AB +C D = BC + D A.

Tính chất 2.3 Cho tứ giác ABC D có các tia AD và BC cắt nhau ở E ; các tia AB, DC cắt nhau ở

F Khi đó các điều kiện sau là tương đương.

a Tứ giác ABC D ngoại tiếp.

b B E + BF = DE + DF.

c F A +C E = E A +C F.

2.2 Diện tích tứ giác ngoại tiếp

Tứ giác ngoại tiếp ABC Dcó độ dài các cạnh AB = a,BC = b,C D = c,D A = d thì diên tích tứgiác là

3 Tứ giác hai tâm.

3.1 Định nghĩa

Tứ giác ABC D nội tiếp được đường tròn(O)và ngoại tiếp được đường tròn tâm(I )thì tứgiácABC Dđược gọi là tứ giác hai tâm

3.2 Tính chất

Tứ giác hai tâm có đầy đủ các tính chất của tứ giác nội tiếp và tứ giác ngoại tiếp nêu trên

3.3 Diện tích của tứ giác hai tâm.

Cho tứ giác lồi ABC D với độ dài các cạnh AB = a,BC = b,C D = c,D A = d,BD = e, AC = f;

p = a + b + c + d

2 là nửa chu vi vàSlà diện tích

Nếu tứ giác ABC D nội tiếp được và ngoại tiếp được đường tròn thì chúng ta có một số tínhchất sau

Định lý 3.1 Tứ giác hai tâm có độ dài các cạnh là a, b, c, d thì có diện tích S =pabcd

Chứng minh

Đường chéo AC chia tứ giác ABC D thành hai tam giác ABC và ADC Sử dụng định lí Cosin,chúng ta có

a2+ b2− 2ab cos B = c2+ d2− 2cd cos D. (8)

Tứ giác ABC Dngoại tiếp nên ta cóa + c = b + dhaya − b = d − c Do đó(a − b)2= (d − c)2

tương đương

a2− 2ab + b2= c2− 2cd + d2 (9)Lấy (8) trừ (9), sau đó đem chia cho2, chúng ta được

Tứ giác ABC Dnội tiếp nên ta cócos B = −cosD Khi đó (10) được viết lại thành

Định lý 3.2 (Định lí Bretschneider) Định lí Bretschneider đưa ra cách tính diện tích cho mọi

tứ giác nên cũng đúng trong trường hợp tứ giác hai tâm Nôi dung của định lí này như sau

Tứ giác ABC D có độ dài các cạnh AB = a,BC = b,C D = c,D A = d và độ dài hai đường chéo

GọiElà giao điểm củaAC vàB D

ĐặtAE = e1, EC = e2, B E = f1, E D = f2,θlà góc giữa hai đoạn thẳnge1, f1, vàθ0là góc bù vớiθ

Chúng ta có S =1

2e f sin θ

nên 16S2= 4e2f2sin2θ = 4e2f2¡1 − cos2θ¢

= 4e2f2−¡2e f cos θ¢2

mà 2e f cos θ = 2(e1+ e2)¡ f1+ f2¢ cosθ

= 2e1f1cosθ − 2e1f2cosθ0− 2e2f1cosθ0+ 2e2f2cosθ

= −a2+ b2− c2+ d2(Dựa vào việc áp dụng định lí Cosin)

Định lý 3.4 Cho tứ giác hai tâm ABC D có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp và θ là góc giữa hai đường chéo AC , B D Khi đó diện tích tứ giác là

S = r³r +p4R2+ r2

´

Chứng minh Theo định lí Sin, chúng ta có e = 2R sin A, f = 2R sinB Từ đóS =12e f sin θ = 2R2sin A sin B sin θ.

Mặt khác , trong [5] Zhang Yun đã chứng minh được rằng

3.4 Các định lí và hệ quả

Định lý 3.5 Mọi tứ giác hai tâm ABC D đều có 4r2≤ S ≤ 2R2.

Chứng minh Trước hết, chúng ta chứng minh S ≤ 2R2

KẻAH ⊥ BD,C K ⊥ BD Chúng ta cóS = e (h1+ h2)

Mặt khách1+ h2≤ f nênS ≤ e f

2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiAC ⊥ BD

Vì tứ giácABC Dnội tiếp nêne ≤ 2R, f ≤ 2R Do đóS ≤ e f

2 ≤2R.2R

2 = 2R2.Tiếp theo chúng ta chứng minhS ≥ 4r2

Từ tâmI của đường tròn nội tiếp tứ giácABC D, kẻI E ⊥ AB, I F ⊥ BC , IG ⊥ C D, I H ⊥ D A Chúng

ta cóI E = I F = IG = I H = r, và đặt độ dài các tiếp tuyến như trên hình vẽ

Tứ giác ABC Dnội tiếp nên2α + 2β = π Vì vậyα + β = π

2.Trong tam giác vuông AE I và I H D chúng ta có r

x = tan α = cot β = z

x, suy rar2= xz Tương tựchúng ta cũng cór2= t y.

Diện tích tứ giácABC Dlà

Vậy định lí3.5được chứng minh

Hệ quả 3.6 Tứ giác hai tâm ABC D có r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp thì R ≥ rp2.(Bất đẳng thức Fejes T ´ oth )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABC D là hình vuông.

Định lý 3.7 Cho tứ giác hai tâm ABC D có r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp và p là nửa chu vi Khi đó p ≤ r +p4R2+ r2

Chứng minh Theo(19)chúng ta có diện tích tứ giác ABC D làS = r³r +p4R2+ r2´sinθ.với

θlà góc giữa hai đường chéoAC , B D

Mặt khácS = pr nênpr = r³r +p4R2+ r2´sinθ, suy rap =³r +p4R2+ r2´sinθ Từ đó chúng ta

cóp ≤ r +p4R2+ r2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiθ = 900

Nhận xét 3.8 Ngoài bất đẳng thức p ≤ r +p4R2+ r2thể hiện bất đẳng thức quan hệ giữa P, R, r

thì trong cuốn sách [6] Recent Advances in Geometric Inequalities , trang406còn chỉ ra rằng W.J.Bludon và R.H.Eddy đã chứng minh được các bất đẳng thức sau cũng thể hiện quan hệ giữa P, R, r ,

3 Rr −16

3 r

2

(25)

Đẳng thức xảy ra(24)và(25)khi và chỉ khi tứ giác ABC D là hình vuông.

tương đương

³

x2+ax2

´2

+

³

x2+ax2

´2

=

³

x2+ax2

Chúng ta sẽ chọn y để vế phải của phương trình(28)là số chính phương.

Coi vế phải của(28)là phương trình bậc hai ẩn x , để nó chính phương thì∆ = 0 Ta có

y3− by2+ (ac − 4d) y − £d ¡a2− 4b¢ − d y¤ = 0 (29)

Chúng ta chỉ cần chọn một nghiệm y0 thích hợp ở phương trình(28) Khi đó thay y0vào vế phải phương trình(28)có dạng¡

αx + β¢2 Khi đó phương trình(28)viết lại như sau

³

x2+ax

2 +y02

4.1 Các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn.

Phương trình bậc bốn x4+ax3+bx2+cx +d = 0 có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4thỏa mãn các tính chất sau đây.

4.2 Một số nhận xét về nghiệm của phương trình bậc bốn

Cho phương trình bậc bốn x4+ ax3+ bx2+ cx + d = 0 có bốn nghiệm là x1, x2, x3, x4 Khi đó chúng ta có một số nhận xét sau.

Nhận xét 4.18 Nếu x1, x2, x3, x4là bốn nghiệm của phương trình(26)thì 1

t vào phương trình(26)ta được điều phải chứng minh.

Nhận xét 4.19 Nếu x1, x2, x3, x4 là bốn nghiệm của phương trình (26) thì x21, x22, x23, x42 là bốn nghiệm của phương trình

Nhận xét 4.20 Nếu x1, x2, x3, x4là bốn nghiệm của phương trình(26)thì

Theo định lí Viete về nghiệm của phương trình bậc bốn, chúng ta có điều phải chứng minh.

5 Phương trình bậc bốn với nghiệm là các cạnh trong tứ giác hai tâm.

Cho tứ giác lồi ABC D với độ dài các cạnh AB = a,BC = b,C D = c,D A = d,BD = e, AC = f ;

p = a + b + c + d

2 là nửa chu vi và S là diện tích.

Nếu tứ giác ABC D nội tiếp được và ngoại tiếp được đường tròn thì ta nói ABC D là tứ giác hai tâm.

Bài toán 5.1 Độ dài bốn cạnh của tứ giác ABC D là các nghiệm của phương trình

x4− 2px3+³p2+ 2r2+ 2rp4R2+ r2´x2− 2r p³p4R2+ r2+ r´x + r2p2= 0 (33)

Chứng minh(Hoàng Minh Quân)

Theo định lí Viet độ dài bốn cạnh của tứ giác ABC D là các nghiệm của phương trình

x4− (a + b + c + d)x3+ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)x2− (abc + abd + acd + bcd)x + abcd = 0.

Chúng ta thấy rằng hệ số của x3là −(a + b + c + d) = −2p

Theo một kết quả đã biết thì Fukagawa Hidetoshi và Tony Rothman trong cuốn sách

2r³r +p4R2+ r2´nên thay kết quả này vào hệ số p2+e f của x2, ta được hệ số của x2là p2+2r2+

Vậy theo định lí Viet chúng ta có a, b, c, d là các nghiệm của phương trình bậc bốn như(33) Vậy chúng ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh Áp dụng nhận xét4.19cho phương trình(33), chúng ta được điều phải chứng minh.

Bài toán 5.4. abc, bcd , cd a, ad b là các nghiệm của phương trình

6 Đẳng thức và bất đẳng thức trong tứ giác hai tâm.

6.1 Đẳng thức trong tứ giác hai tâm.

Đẳng thức 6.10 Áp dụng tính chất4.2vào phương trình(35)chúng ta có

abcd (ab + bc + ca + ad + bd + cd) = r2p2³p2+ 2r2+ 2rp4R2+ r2

´

Chứng minh Từ đẳng thức6.2và bất đẳng thức Fejes T ´ oth, chúng ta có

abc + abd + acd + bcd = 2r p³p4R2+ r2+ r

´

≥ 8r2p.

2+ 16r24r2p

≤5p

2+ 16r24r2p2

2p2¡5p2+ 16r2¢4

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABC D là hình vuông.

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABC D là hình vuông.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình,NXB Giáo dục,1993.

[2]Đàm Văn Nhỉ, Xây dựng một số kết quả về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác, Hội thảo toán học, Quảng Ninh 2012.

[3] Tạ Duy Phượng, Phương trình bậc ba và các hệ thức hình học trong tam giác, THTT số 337/tháng /2005.

[4]Hoàng Minh Quân, Xây dựng một số dạng đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác,Hội thảo toán học, Tuyên Quang, 2012.

[5]Mirko Radic, Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals,Journal of ties in Pure and Applied Mathematics.

Inequali-[6]Shailesh a Shirall, Brahmagupta’s formula for the area of a cyclic quadrilateral.

[7] Martin Josefsson, Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral,Forum Geometricorum ume 12 (2012) 237–241.

Vol-[8]Martin Josefsson, The Area of a Bicentric Quadrilateral,Forum Geometricorum, Volume 11 (2011) 155–164.

[9], Zhang Yun, "Euler’s Inequality Revisited", Mathematical Spectrum, Volume 40, Number 3 (May 2008), pp 119-121.

[10]Dragoslav S Mitrinovic, J Pecaric, V Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities, 1989.

[11]Martin Josefsson, A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals ,Forum metricorum Volume 12 (2012) 79–82

Geo-[12] Mihai Miculita, A new property of circumscribed quadrilateral,International Journal of Geometry Vol 1 (2012), No 2, 61 - 64.

[13]Larry Hoehn,A New Formula Concerning the Diagonals and Sides of a Quadrilateral,Forum Geometricorum Volume 11 (2011) 211–212.

[14]en.wikipedia.org/wiki/Bicentric q uad r i l at er al

[15] ht t p : //mat hw or l d w ol f r am.com/Bi cent r i cQuad r i l at er al ht ml

[16] ht t p : //w w w.cut − the − knot.or g /py thag or as/Bi centr i cQuad.shtml