HƯỚNG TRONG HÌNH học PHẲNG NGUYEN MINH HA

Trong hệ tiên đề Hilbert củahình học Euclid phẳng, gọi tắt là hình học phẳng, mọi khái niệm phảiđược định nghĩa thông qua hai khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng và ba quan hệ cơ bản: li

Trang 1

Nguyễn Minh Hà

NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ

Trang 3

Mục lục

§6 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 27

§7 Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng 31

§9 Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan 44

i

Trang 4

9.2 Cơ sở, tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt

9.3 Sự không trùng lặp, sự trùng lặp của hai góc định hướng

giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh 469.4 Nguồn và cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai

9.5 Các định lí về cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai

§10 Sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai góc định hướng

10.1 Hai góc định hướng giữa hai tia có cùng đỉnh 6310.2 Hai góc định hướng giữa hai tia bất kỳ 6810.3 Hướng của góc định hướng giữa hai tia, mặt phẳng

10.4 Hướng của tam giác và hướng của đa giác lồi 77

§11 Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia 8111.1 Số đo của góc định hướng giữa hai tia 81

§12 Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ 86

§13 Cung, cung định hướng, cung lượng giác 91

§14 Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng 95

14.2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 9714.3 Góc lượng giác giữa hai đường thẳng 101

Trang 5

Lời giới thiệu

Cùng bạn đọc,

Thuở còn là học sinh phổ thông, khi học bài góc lượng giác tôi cảmthấy có gì đó bất ổn nhưng không hiểu vì sao mình lại có cảm giác đó.Sau này, sống bằng nghề dạy Toán và làm toán, tôi mới hiểu rằng cáiđồng hồ chính là nguyên nhân của sự bất ổn đó, khái niệm góc lượnggiác được định nghĩa thông qua cái đồng hồ nhưng cái đồng hồ lại khôngphải là khái niệm của hình học phẳng Trong hệ tiên đề Hilbert củahình học Euclid phẳng, gọi tắt là hình học phẳng, mọi khái niệm phảiđược định nghĩa thông qua hai khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng và

ba quan hệ cơ bản: liên thuộc, nằm giữa, toàn đẳng

Mải mê với công việc riêng của mình, tôi không hề nghĩ rằng lại

có một người quan tâm đến việc định nghĩa góc lượng giác mà không

sử dụng cái đồng hồ, nói theo cách của những người làm toán chuyênnghiệp, quan tâm tới vấn đề xây dựng lý thuyết về hướng trong hìnhhọc phẳng

Cầm trong tay bản thảo hơn một trăm trang cuốn sách “Hướngtrong hình học phẳng”, hơn một trăm trang mà viết trong hơn mườinăm trời, tôi thực sự bất ngờ vì cái tình yêu âm thầm và bền bỉ mà tácgiả của nó, TS Nguyễn Minh Hà dành cho Toán học

Với những gì mà tôi biết về TS Nguyễn Minh Hà, với cách đặt vấn

đề rất hợp lý của “Hướng trong hình học phẳng”, chắc rằng cuốn sáchnày là một tài liệu rất đáng đọc cho bất kỳ ai quan tâm tới hình họcphẳng, đặc biệt là sinh viên khoa Toán của các trường Đại học sư phạm

Trang 7

Lời nói đầu

Tôi xây căn nhà nhỏ của tôi trong toà nhà lớn của Hilbert và Euclid

Hướng là khái niệm quan trọng của hình học Tuy nhiên, từ thời Euclidcho tới trước thời của Descartes hướng không được coi là khái niệm củahình học Từ khi có phương pháp toạ độ của Descartes tình trạng trên

đã phần nào được giải quyết, bằng các khái niệm ma trận và định thứchướng đã trở thành khái niệm của hình học Chú ý rằng “phần nào đượcgiải quyết” chứ không phải “hoàn toàn được giải quyết”, khi không cóphương pháp toạ độ người ta vẫn chỉ có thể nói tới hướng dưới dạng mô

tả Vì vậy những vấn đề liên quan tới hướng thường bị né tránh, trongtoàn bộ tác phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert [1] không có dòng nàodành cho khái niệm hướng

Không có khái niệm hướng, không thể trình bày một cách chặt chẽnhiều vấn đề của hình học (góc lượng giác, vectơ, lí thuyết biến hình, ) Không có khái niệm hướng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong họctập, giảng dạy và nghiên cứu hình học Không có khái niệm hướng, hìnhhọc phẳng - một trong những ngành khoa học cổ xưa nhất của nhân loại

- tưởng như không còn điều gì đáng bàn sau khi Hilbert viết tác phẩm

“Cơ sở hình học” cho đến ngày hôm nay vẫn chưa hoàn chỉnh

Vì sao lại cứ phải né tránh? Liệu có thể nói tới khái niệm hướng

mà không cần sử dụng phương pháp toạ độ hay không? Nhiều nămnay những câu hỏi này đã thôi thúc tôi hướng tới mục tiêu: xây dựng

lí thuyết về hướng, trước hết là trong hình học phẳng, không sử dụngphương pháp toạ độ, đủ tốt cho việc làm toán Giờ đây lí thuyết này

đã được xây dựng xong Cuốn sách “Hướng trong hình học phẳng” màbạn đang có trong tay chứa đựng toàn bộ lí thuyết đó, nó bao gồm haichương: Chương I-Hướng của đoạn thẳng; Chương II-Hướng của góc.Tôi dành lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Duy Khánh, người đã có nhiềuđóng góp trong việc trình bày và biên tập cuốn sách

Tôi rất mong nhận được những nhận xét quý giá từ độc giả

Nguyễn Minh Hà

v

Trang 9

Các ký hiệu

A = B: các điểm A,Btrùng nhau

A 6= B: các điểm A,Bkhác nhau

A, B / X Y: hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờX Y

A / X Y / B: hai điểm A, Bthuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờX Y

AB: đoạn thẳng có hai đầu mút là các điểmA, B

AB: độ dài đoạn thẳng AB(nếu không có gì nhầm lẫn)

AB: đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B(nếu không có gì nhầmlẫn)

a ≡ b: các đường thẳnga, btrùng nhau

a 6≡ b: các đường thẳnga, bkhông trùng nhau

a ∥ b: các đường thẳnga, bsong song

a ∥≡ b: các đường thẳnga, bhoặc song song hoặc trùng nhau

a ⊥ b: các đường thẳnga, bvuông góc

vii

Trang 10

a 6⊥ b: các đường thẳnga, bkhông vuông góc.

a ∩ b = O: các đường thẳnga,bcắt nhau tại điểmO

AB]: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng # »

Trang 11

I x ⊂ J y: tiaI xthuộc tiaJ y.

Ox0: tia đối của tiaOx

x0x: đường thẳng chứa hai tiaOxvàOx0

yx: đường thẳng chứa hai tia đối nhauOxvàO y

Trang 12

(I x, I y) ↑↑ (J z, Jt): các góc định hướng giữa hai tia(I x, I y),(J z, J t)cùnghướng.

(I x, I y) ↑↓ (J z, Jt): các góc định hướng giữa hai tia(I x, I y),(J z, J t)ngượchướng

4ABC: tam giác ABC

4ABC ↑↑ 4X Y Z: các tam giác ABC,X Y Zcùng hướng

4ABC ↑↓ 4X Y Z: các tam giác ABC,X Y Zngược hướng

(Ox, O y)k: góc lượng giác giữa hai tia có góc định hướng giữa hai tiasinh là(Ox, O y)và có chu kì làk

〈#»a ,#»b 〉: góc giữa hai vectơ có các cạnh là các vectơ #»a ,#»b.

(#»a ,#»b ): góc định hướng giữa hai vectơ có cạnh đầu là vectơ #»a, cạnh cuối

Trang 15

Định nghĩa 1 Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc

hai đường thẳng song song và bộ hai cạnh đối còn lại thuộc hai đườngthẳng không song song

Định nghĩa 2 Hình bình hành là tứ giác lồi mà mỗi bộ hai cạnh đối

cùng thuộc hai đường thẳng song song

Định nghĩa 1 có vẻ rõ ràng nhưng lại không phù hợp với tinh thầncủa lí thuyết tập hợp Do đó nó không thuận tiện cho việc làm toán Vìvậy, gần đây, trong nhiều tài liệu người ta định nghĩa hình thang nhưsau

Định nghĩa 3 Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc

hai đường thẳng song song

Trong định nghĩa 3, bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang có thểthuộc hai đường thẳng hoặc song song hoặc không song song Do đóhình bình hành là một hình thang đặc biệt

1

Trang 16

Định nghĩa 3 phù hợp với tinh thần của lí thuyết tập hợp Vì vậy

nó thuận tiện cho việc làm toán Do đó nó được coi là định nghĩa chínhthống và chính thức được sử dụng trong cuốn sách này

Mỗi một trong hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳngsong song của hình thang được gọi là cạnh đáy của nó Mỗi một tronghai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang được gọi là cạnhbên của nó Do đó, đối với hình bình hành, một hình thang đặc biệt, ta

có hai cách quan niệm về cạnh đáy và cạnh bên Cụ thể, với hình bìnhhành ABCD, nếu coi AB, CD là cạnh đáy thì AD, CB là cạnh bên, nếucoiAD, CBlà cạnh đáy thì AB, CDlà cạnh bên

Theo cách kí hiệu thông thường, một tứ giác lồiK có bốn đỉnh là

X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X được kí hiệu là ABCD, trong

đó(A, B, C, D) là một hoán vị của(X , Y , Z, T)và(AB, BC, CD, D A)là mộthoán vị của(X Y , Y Z, ZT, T X ) Do đóK được kí hiệu bởi một trong támcách sau:X Y ZT, Y ZT X , ZT X Y , T X Y Z, X T ZY , T ZY X , ZY X T, Y X T Z.Theo thói quen, cách kí hiệu trên cũng được dùng để kí hiệu hìnhthangK có bốn đỉnh là X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X Tuynhiên, với cách kí hiệu này ta không thể biết được cạnh nào trong bốncạnhX Y , Y Z, ZT, T X là cạnh đáy củaK Đó là nguyên nhân của nhiềubất lợi trong việc làm toán Vì vậy, trong cuốn sách này hình thangK

2 Đoạn thẳng

Trong mục này, một số kiến thức cơ bản về đoạn thẳng được nhắc lại

Định nghĩa 5 Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác nhau

A, Bđược gọi là đoạn thẳng, hoặc kí hiệu là ABhoặc kí hiệu làB A

AB, −−→

B A được gọi là miền trong củađoạn thẳng AB

Trang 17

2 Đoạn thẳng 3

Định nghĩa 7 Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng nhau

A, B cũng được gọi là đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, khi cần nhấnmạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau: AB, B A, A A, BB

Định nghĩa 8 Miền trong của đoạn thẳng-không là tập hợp rỗng.

Các điểm A, Bđược gọi là đầu mút của đoạn thẳngAB

Với sự xuất hiện của khái niệm đoạn thẳng-không, thuật ngữ đoạnthẳng mang một ý nghĩa mới: đoạn thẳng có thể là đoạn thẳng-kháckhông (hai đầu mút khác nhau) và cũng có thể là đoạn thẳng-không(hai đầu mút trùng nhau) Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đềliên quan tới khái niệm đoạn thẳng, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh cácthuật ngữ: đoạn thẳng-khác không, đoạn thẳng-không

2) Hình gồm tiaOxvà điểmOđược gọi là tiaOxmở rộng

3) Các đầu mút của đoạn thẳng AB không thuộc miền trong củađoạn thẳng AB

Nếu ta qui ước một đoạn thẳng nào đó có độ dài bằng 1 thì đối vớimỗi đoạn thẳng tồn tại duy nhất một số thực dương biểu thị độ dài củađoạn thẳng đó

Nếu không có gì nhầm lẫn thì độ dài đoạn thẳng ABđược kí hiệuđơn giản là AB

chúng có độ dài bằng nhau

Để biểu thị hai đoạn thẳngAB, CDbằng nhau, ta viết AB = CD

hai đầu mút của đoạn thẳng ABthì AB = AC + CB(hệ thức Chasles cho đoạn thẳng).

Trong định lí 12, đoạn thẳngABcó thể là đoạn thẳng-không

thẳng ABta còn có các cách nói đơn giản hơn: điểmCthuộc đoạn thẳng

AB, điểmCnằm trong đoạn thẳng AB, điểmCnằm giữa các điểmA, B.2) Nếu điểmCthuộc đường thẳng AB, không nằm trong đoạn thẳng

AB, khác các điểm A, Bthì ta nói điểmCnằm ngoài đoạn thẳng AB

Trang 18

Định nghĩa 14 Hình thang có đúng một cạnh đáy là đoạn

thẳng-không được gọi là hình thang-thẳng-không

Với sự xuất hiện của khái niệm hình thang-không, thuật ngữ hìnhthang mang một ý nghĩa mới: hình thang có thể là hình thang-kháckhông (hai cạnh đáy là những đoạn thẳng-khác không) và cũng có thể

là hình thang-không (có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳng-không) Vìvậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm hìnhthang, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: hình thang-kháckhông, hình thang-không

3 Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó

Trong mục 2, khi định nghĩa đoạn thẳng ta không phân biệt thứ tự haiđầu mút của nó Trong mục này, ta làm quen với một khái niệm mới:đoạn thẳng mà thứ tự hai đầu mút của nó phân biệt

3.1 Các định nghĩa.

đoạn thẳng định hướng, kí hiệu là # »

AB.Khi các điểm A, Btrùng nhau, đoạn thẳng định hướng # »

Trang 19

3 Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó 5

(hai đầu mút khác nhau); đoạn thẳng định hướng-không (hai đầu múttrùng nhau)

AB là độ dài củađoạn thẳng AB

Độ dài của đoạn thẳng định hướng # »

AB Vậy độ dài của đoạn thẳng định hướng là độ dài của đoạnthẳng sinh của đoạn thẳng định hướng đó

Bổ đề sau đây không chỉ giúp ta chứng minh bổ đề 20 mà còn có vaitrò quan trọng trong nhiều tình huống khác

1) Hoặc A, D / BC hoặcA / BC / D.

2) A, D / BC khi và chỉ khiABCDlà hình thang.

3) A / BC / D khi và chỉ khiABDC là hình thang.

Chứng minh 1) Hiển nhiên.

2) Điều kiện cần Vì AB ∥ CDnên A, B / CDvàC, D / AB(1)

Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A, B và nửa mặtphẳng bờ ABchứaC, D(h.3)

Có hai trường hợp cần xem xét

Trường hợp 1. AD,BC song song Hiển nhiênB, C / AD

Trường hợp 2.AD,BCkhông song song GọiElà giao điểm của AD

và BC Vì A, D / BC nên E không thuộc đoạn thẳng AD Kết hợp với

Trang 20

đoạn thẳng ADthuộc(∆), suy raE không thuộc(∆) Từ đó, chú ý rằngđoạn thẳng BC thuộc(∆), suy ra E không thuộc đoạn thẳng BC Điều

đó có nghĩa làB, C / AD

Tóm lại, trong cả hai trường hợp ta đều cóB, C / AD (2)

Từ (1) và (2), chú ý rằng A, D / BC, suy ra ABCDlà tứ giác lồi Kếthợp vớiAB ∥ CD, suy ra ABCDlà hình thang

Điều kiện đủ Vì ABCD là hình thang nên ABCD là tứ giác lồi Do

đóA, D / BC

3) Điều kiện cần Vì AB ∥ CDnên A, B / CDvàC, D / AB (1)

Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A, B và nửa mặtphẳng bờ ABchứaC,D

VìA / BC / Dnên ADvàBCcắt nhau GọiFlà giao điểm củaADvà

một không trùng nhau và ABY X , DCY X là hình thang thì ABCDcũng

là hình thang.

Trang 21

X

Y = Z

VìZ = Y nênY thuộcBC Do đóBY ≡ BC ≡ CY VìABY X vàDCY X

là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, X / BY vàD, X / CY VậyA, D / BC(1)

Vì ABY X và DCY X là hình thang nên AB ∥ X Y và CD ∥ X Y Kếthợp với AB 6≡ CD, ta cóAB ∥ CD(2)

Từ (1) và (2), theo bổ đề 18, suy ra ABCDlà hình thang

Trường hợp 2.Z = X (h.6)

h.6

C D

VìZ = X nênX thuộcBC Do đóBX ≡ BC ≡ CX VìABY X vàDCY X

là hình thang nên, theo bổ đề 18,A / BX / Y vàD / C X / Y Vậy A, D / BC(1)

Vì ABY X và DCY X là hình thang nên AB ∥ X Y và CD ∥ X Y Kếthợp với AB 6≡ CD, ta cóAB ∥ CD(2)

Từ (1) và (2), theo bổ đề 18, suy ra ABCDlà hình thang

Trường hợp 3.Z thuộc tiaX Y# »và

Z 6= Y (h.7)

Trang 22

C D

Do đó, theo trường hợp 1, ABCDlà hình thang

Trường hợp 4.Zthuộc tia đối của tia # »

X Y (h.8)

h.8

C D

Vì ABY X vàDCY X là hình thang nên, theo bổ đề 18, A, X / BY và

D, X / CY Từ đó, chú ý rằngZthuộc tia đối của tiaX Y# », suy raA, Z / BY

vàD, Z / CY Kết hợp vớiAB ∥ Y Z vàDC ∥ Y Z, lại theo bổ đề 18, suy raABY Z vàDCY Z cũng là hình thang Do đó, theo trường hợp 2, ABCD

vàCDY X là hình thang (có thể là hình thang-không) (h.9, h.10, h.11,h.12, h.13, h.14)

Trang 23

Y X

Trang 24

h.17 h.18

Y X

Trường hợp 1.B = C(h.21)

Dựng đường thẳng X Y không đi qua A = A vàB = C Vì A AY X vàBCY X cùng là hình thang-không nên # »

A A ↑↑BC# ».

Trang 25

A A ↑↓# »

thẳng định hướng.

Trang 26

Định lí 27 là hệ quả trực tiếp của các định lí 25, 26.

Chứng minh Theo định lí 25, các đoạn thẳng định hướng-không cùng

hướng Từ đó, theo chú ý 10, suy ra các đoạn thẳng định hướng-không

Chú ý 29 Bởi định lí 28, các đoạn thẳng định hướng-không cùng được

ký hiệu là #»0 Vậy, với mọi điểm A, # »

A A =#»0.

ABCDlà hình thang khi và chỉ khi # »

AB ↑↑# »

DC.

đường thẳng AB, CD và cắt các đoạn thẳng AD,BC tương ứng tại X , Y(h.25)

đường thẳng AB, CD Trên∆ lấy các điểm X , Y sao cho ABY X là hìnhthang (h.26, h.27, h.28, h.29)

Trang 27

Theo bổ đề 18, hoặcCDY X hoặcCD X Y là hình thang Do đó, theođịnh lí 30, hoặc # »

Trang 28

Y X

1) VìABY X là hình thang nên ABY X vàABY X là hình thang Do

đó # »

AB ↑↑# »

AB.2) Vì ABY X là hình thang nên, theo chú ý 4, ABY X vàB A X Y làhình thang Do đó # »

Trang 29

1) Cnằm ngoài đoạn thẳng ABkhi và chỉ khi # »

C A ↑↑# »

CB 2) Cnằm trong đoạn thẳng ABkhi và chỉ khi # »

C A ↑↓# »

CB.

thuộc tia đối của tia # »

AB Dựng đoạn thẳng-khác không X Y sao choCBY X là hình thang (h.32)

Vì CBY X là hình thang nên, theo chú ý 4, BC X Y cũng là hìnhthang Do đó, theo bổ đề 18, B, Y / C X Vì C thuộc tia đối của tia # »

ABnên A, B / C X Vậy A, Y / C X Từ đó, chú ý rằngC A ∥ X Y, lại theo bổ đề

18, suy ra AC X Y là hình thang Lại theo chú ý 4,C A X Y cũng là hìnhthang

h.32

Y X

C A ∥ X Y ∥ CB, suy raCthuộc đường thẳngABnhưng không nằm trongđoạn thẳng AB Nói cách khác, theo chú ý 13,Cnằm ngoài đoạn thẳng

A / C X / B VậyB, Y / C X Kết hợp vớiCB ∥ X Y, lại theo bổ đề 18, suy ra

BC X Y là hình thang Lại theo chú ý 4,CBY X cũng là hình thang

Trang 30

Y X

Dựng đường thẳng X Y song song với các đường thẳng AB, CD, EF(h.34)

h.34

Y X

F E

Trang 31

Theo bổ đề 18, hoặcABY X là hình thang hoặcABX Y là hình thang,hoặc CDY X là hình thang hoặc CD X Y là hình thang, hoặc EFY X làhình thang hoặcEF X Y là hình thang

Không mất tính tổng quát giả sửABY X là hình thang (1)

Nếu CD X Y là hình thang thì # »

AB ↑↓CD# », mâu thuẫn Vậy CDY X

là hình thang Do đó, nếu EF X Y là hình thang thì # »

CD ↑↓# »

EF, lại mâuthuẫn VậyEFY X là hình thang (2)

Từ (1) và (2), suy ra # »

AB ↑↑EF# ».2) Vì # »

3.3 Hướng của đoạn thẳng định hướng.

Theo các định lí 32, 35, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳngđịnh hướng-khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương

Định nghĩa 36 Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng hướng

trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là hướngcủa đoạn thẳng định hướng

Hướng của đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng# »

ABđược gọi đơn giản là hướng của đoạn thẳng định hướng # »

AB.Thuật ngữ hướng của đoạn thẳng định hướng giải thích phần nào ýnghĩa của thuật ngữ cùng hướng trong định nghĩa 21 Cụ thể, hai đoạnthẳng định hướng-khác không được gọi là cùng hướng nếu chúng cùngthuộc một hướng của đoạn thẳng định hướng

Nếu # »

AB và # »

CD là hai đoạn thẳng định hướng-khác không ngượchướng thì, theo định lí 35, mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng củađoạn thẳng định hướng# »

ABngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướngthuộc hướng của đoạn thẳng định hướng# »

CD Nhận xét này khẳng định

sự hợp lí của định nghĩa sau

Định nghĩa 37 Hai hướng của đoạn thẳng định hướng được gọi là

ngược nhau nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạnthẳng định hướng này và mỗi một đoạn thẳng định hướng thuộc hướngcủa đoạn thẳng định hướng kia ngược hướng

Theo định lí 31, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳngđịnh hướng-khác không quan hệ cùng phương cũng là quan hệ tươngđương

Trang 32

Định nghĩa 38 Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng phương

trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là phươngcủa đoạn thẳng định hướng

Phương của đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng

# »

ABđược gọi đơn giản là phương của đoạn thẳng định hướng # »

AB.Thuật ngữ phương của đoạn thẳng định hướng giải thích phần nào

ý nghĩa của thuật ngữ cùng phương trong định nghĩa 23 Cụ thể, haiđoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là cùng phương nếu chúngcùng thuộc một phương của đoạn thẳng định hướng

Mỗi phương của đoạn thẳng định hướng chứa hai hướng của đoạnthẳng định hướng và đó là hai hướng của đoạn thẳng định hướng ngượcnhau

4 Vectơ, hướng và phương của nó

Sử dụng các khái niệm: hai đoạn thẳng định hướng cùng hướng, haiđoạn thẳng định hướng ngược hướng, dễ dàng đi đến các khái niệm:hướng của vectơ, phương của vectơ

Theo các định lí 32, 35, chú ý rằng trong tập hợp các đoạn thẳng quan

hệ bằng nhau là quan hệ tương đương, dễ dàng thấy rằng trong tập hợpcác đoạn thẳng định hướng quan hệ bằng nhau cũng là quan hệ tươngđương

Định nghĩa 39 Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ bằng nhau

trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng được gọi là vectơ

Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng # »

AB được kí hiệu là [# »

AB] Khikhông quan tâm tới các đầu mút của các đoạn thẳng định hướng thuộcvectơ, thay cho việc kí hiệu vectơ bởi các kí hiệu[# »

AB], [# »CD], [# »EF] , người

ta còn kí hiệu vectơ bởi các kí hiệu[#»a ], [#»b ], [#»c ]

Định nghĩa 40 Vectơ chứa các đoạn thẳng định hướng-không được gọi

là vectơ-không, kí hiệu là[#»0 ].

thẳng định hướng thuộc vectơ này cùng hướng với mỗi đoạn thẳng địnhhướng thuộc vectơ kia

Để biểu thị [#»a ], [#»b ] cùng hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sauđịnh nghĩa 21

Trang 33

4 Vectơ, hướng và phương của nó 19

đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này ngược hướng với mỗi đoạnthẳng định hướng thuộc vectơ kia

Để biểu thị [#»a ], [#»b ] ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sauđịnh nghĩa 22

hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng

Để biểu thị[#»a ], [#»b ] cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sauđịnh nghĩa 23

Định nghĩa 44 Độ dài của vectơ là độ dài của các đoạn thẳng định

hướng thuộc vectơ

Chú ý 45 1) Các đoạn thẳng định hướng thuộc cùng một vectơ có độ

dài bằng nhau

2) Độ dài của vectơ[#»a ]được kí hiệu là|[#»a ]|.

3) Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị

nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này bằng (khác) mỗi đoạnthẳng đinh hướng thuộc vectơ kia

Để biểu thị[#»a ], [#»b ]bằng nhau (khác nhau) ta vẫn sử dụng cách kíhiệu sau định nghĩa 24

thẳng định hướng thuộc vectơ này và mỗi đoạn thẳng định hướng thuộcvectơ kia ngược hướng và có độ dài bằng nhau

Để biểu thị[#»a ], [#»b ]đối nhau, ta viết[#»a ] = −[#»b ].

4.2 Các định lí.

AB,# »

CD, ta có 1) # »

AB ↑↑# »

CDkhi và chỉ khi[# »

AB] ↑↑ [# »

CD] 2) # »

AB ↑↓# »

AB] ↑↓ [# »

CD] 3) # »

AB ∥# »

CD khi và chỉ khi[# »

AB] ∥ [# »CD] 4) # »

AB =# »

AB] = [# »CD].

Định lí 48 là hệ quả trực tiếp của định lí 35

Trang 34

Định lí 49. Vectơ[#»0 ]cùng hướng với mọi vectơ.

Định lí 49 là hệ quả trực tiếp của các định lí 25, 48

1) [# »

AB] ↑↑ [# »

AB] 2) [# »

AB] ↑↓ [B A]# » .

AB], [# »CD], ta có[# »

1) Nếu[#»a ] ↑↑ [#»b ];[#»b ] ↑↑ [#»c ]thì[#»a ] ↑↑ [#»c ].

2) Nếu[#»a ] ↑↑ [#»b ];[#»b ] ↑↓ [#»c ]thì[#»a ] ↑↓ [#»c ].

3) Nếu[#»a ] ↑↓ [#»b ];[#»b ] ↑↓ [#»c ]thì[#»a ] ↑↑ [#»c ].

4.3 Hướng và phương của vectơ.

Theo các định lí 52, 54, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các vectơ-kháckhông quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương

trong tập hợp các vectơ-khác không được gọi là hướng của vectơ

Hướng của vectơ chứa vectơ[#»a ]được gọi đơn giản là hướng của vectơ[#»a ].

Thuật ngữ hướng của vectơ giải thích phần nào ý nghĩa của thuậtngữ cùng hướng trong định nghĩa 41 Cụ thể, hai vectơ-khác khôngcùng hướng nếu chúng cùng thuộc một hướng của vectơ

Nếu [#»a ] và [#»b ] là hai vectơ ngược hướng thì, theo định lí 54, mỗivectơ thuộc hướng của vectơ[#»a ]ngược hướng với mỗi vectơ thuộc hướngcủa vectơ[#»b ] Nhận xét này khẳng định sự hợp lí của định nghĩa sau.

Trang 35

5 Hướng và phương của tia 21

Định nghĩa 56 Hai hướng của vectơ được gọi là ngược nhau nếu mỗi

vectơ thuộc hướng của vectơ này và mỗi vectơ thuộc hướng của vectơ kiangược hướng

Theo các định lí 52, 54, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các khác không quan hệ cùng phương cũng là quan hệ tương đương

vectơ-Định nghĩa 57 Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng phương

trong tập hợp các vectơ-khác không được gọi là phương của vectơ.Phương của vectơ chứa vectơ [#»a ] được gọi đơn giản là phương củavectơ[#»a ].

Thuật ngữ phương của vectơ giải thích phần nào ý nghĩa của thuậtngữ cùng phương trong định nghĩa 43 Cụ thể, hai vectơ-khác khôngcùng phương nếu chúng cùng thuộc một phương của vectơ

Mỗi phương của vectơ chứa hai hướng của vectơ và đó là hai hướngcủa vectơ ngược nhau

AB]được kí hiệu đơngiản là # »

AB Tương tự vectơ[#»a ]được kí hiệu đơn giản là #»a.

5 Hướng và phương của tia

Tiếp tục sử dụng các khái niệm: hai đoạn thẳng định hướng cùnghướng, hai đoạn thẳng định hướng ngược hướng, dễ dàng đi đến cáckhái niệm: hướng của tia, phương của tia

Cho tiaI xvà điểmAthuộcI x Theo chú ý 9, Akhác I Do đó, theo định

lí 34, hướng của đoạn thẳng định hướng # »

I Akhông phụ thuộc vào cáchchọn điểm A(h.35)

Định nghĩa 59 Hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với tia

I xlà hướng của đoạn thẳng định hướng # »

I Avới Athuộc tia I x

của đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng bằng nhau

Trang 36

Để biểu thịI x, J ycùng hướng, ta vẫn sử dụng cách ký hiệu sau địnhnghĩa 21.

của đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng ngược nhau

Để biểu thị I x, J y ngược hướng, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu địnhnghĩa 22

cùng hướng hoặc ngược hướng

Để biểu thị I x, J y cùng phương, ta vẫn sử dụng cách kí hiệu sauđịnh nghĩa 23

Trang 37

x

h.37 y

J B

1) I x ↑↑ I x.

2) I x ↑↓ I x0, ở đây,I x0là tia đối của tiaI x.

Định lí 65 là hệ quả của các định lí 34, 63, 64

đơn giản là I x0 Đương nhiên tia đối của tia I x0 là tia I x (không đượchiểu là tia I x00)

Định lí 67 là hệ quả trực tiếp của các định lí 34, 35, 63, 64

1) Nếu I x ↑↑ J y; J y ↑↑ K zthìI x ↑↑ K z.

2) Nếu I x ↑↑ J y; J y ↑↓ K zthìI x ↑↓ K z.

3) Nếu I x ↑↓ J y; J y ↑↓ K zthìI x ↑↑ K z.

Định lí 68 là hệ quả trực tiếp của các định lí 35, 63, 64

1) I x ↑↑ J ykhi và chỉ khi I x, J ycùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ

Trang 38

4) X I JY là hình thang.

5) X , Y / I J

6) I x, J ycùng thuộc một nửa mặt phẳng bờI J

Chú ý, theo định lí 63, 1 ⇔ 2; theo định lí 30, 2 ⇔ 3; theo chú ý 4,

3 ⇔ 4; theo bổ đề 18,4 ⇔ 5; hiển nhiên5 ⇔ 6

7) I x, J ythuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờI J

Chú ý, theo định lí 64,1 ⇔ 2; theo định lí 33,2 ⇔ 3; theo định lí 30,

3 ⇔ 4; theo chú ý 4,4 ⇔ 5; theo bổ đề 18,5 ⇔ 6; hiển nhiên6 ⇔ 7

đường thẳng; cho∆là đường thẳng không chứaI, Jvà không song song vớix0x, y0y Khi đó

1) I, J /∆khi và chỉ khi∆hoặc cùng cắtI x, J yhoặc cùng cắtI x0, J y0 2) I / ∆ / J khi và chỉ khi ∆ hoặc cùng cắt I x, J y0 hoặc cùng cắt

I x0, J y.

X , Y theo thứ tự là giao điểm của∆và các đường thẳng x0x, y0y

Trang 39

Chú ý, vì ∆ ≡ XY nên 1 ⇔ 2; theo bổ đề 18, 2 ⇔ 3; theo định lí 30,

3 ⇔ 4; vì (1) và (2) nên, theo định lí 35,4 ⇒ 5; vì (1) nên, theo định lí 35,

Trang 40

B I

J

Chú ý, vì∆ ≡ XY nên 1 ⇔ 2; theo bổ đề 18, 2 ⇔ 3; theo định lí 30,

3 ⇔ 4; theo định lí 33, 4 ⇔ 5; vì (1) và (2) nên, theo định lí 35, 5 ⇒ 6;

vì (1) nên, theo định lí 35,6 ⇒ 5; theo định lí 34, 6 ⇔ 7; vì∆ ≡ XY nên

Chú ý 71 Nếu không có gì nhầm lẫn thì đường thẳng chứa hai tia đối

nhauOx, Ox0được kí hiệu đơn giản làxx0

5.3 Hướng và phương của tia.

Theo các định lí 65, 68, dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các tia quan

hệ cùng hướng là quan hệ tương đương

trong tập hợp các tia được gọi là hướng của tia

Hướng của tia chứa tiaI xđược gọi đơn giản là hướng của tiaI x.Thuật ngữ hướng của tia giải thích ý nghĩa của thuật ngữ cùng

Định dạng
Số trang	128
Dung lượng	702,57 KB