Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018
Trang 1SỞ GIÁỌ DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CÁP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời 150 phút (không kê thời gian phát đê)
Ngày thi: 06/03/2018
Câu 1: (5,0 điểm)
A
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất cả các gí trị của x để A 1
2 Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 Tìm giấ trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a b c ab bc ca
Hướng dẫn giải:
a) A có nghĩa khi
9
x x
(*)
A
1
x A
x
(vì x 1 0)
1
4
(**)
- Từ (*) và (**) suy ra A 1 khi 0 1
4
x
2 Cách 1:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x,y,z ta có:
9
a b c ab bc caab bc ca
a b c ab bc ca a b c
Trang 2- Lại có
2 2 2
2
(a b c) 3(ab bc ca)
- Từ (*) và (**) ta có
P
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
673 (a b c) (a b c) (a b c) 3
- Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
- Vậy minP673 khi a b c 1
- Đề thi học sinh giỏi tỉnh danh giá thế mà: “max, min” lại sao chép bản quyền của người ta rồi sửa số 2009 thành 2018, chán với người ra đề này quá
- Chả lẻ tính sáng tạo là thí sinh đọc trúng tài liệu chứa bài toán này hay sao?
Câu 2: (5,0 điểm)
x x x x
2 Giải hệ phương trình:
2
3 Tìm m để đường thẳng (d): 2
y x m m cắt parabol (P): 2
y x tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn x2 x13 8
Hướng dẫn giải:
1 Ta có x2 3x 5 (x 3) x2 5 0 x2 4 3(x 3) (x 3) x2 5 0
2
4
x
x
2
2
2
2 3
x
x x
x
x x x x x
- Nên phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm x 2
2: Điều kiện: 1
4
y x
Ta có: x34y2x y2 2x 0 (x22)(x2 )y 0 x 2y2 (vì x2 2 0)
2y 2 4 x x 6x 11 0
2
Cách 1:
Trang 3- Đặt t x 2 4 x 0 ta có:
x x x x t x x
4
t t
4
(**)
2
t
t t
Vì t 0 nên t t2( 2) 4 4 Do đó phương trình (**) có nghiệm khi t 2 thay vào
2
x x x x y thỏa mãn
Cách 2:
-Ta có x 2 4 x x2 6x 11 0 (*)
x
2
x
2
2
2
x
x
2
2
2
1 0
x
- Vì
2
1 0
2
x x y thỏa mãn
Cách 3:
2
(*)
3 0
3
x
x
x
Trang 4- Xét 2 x 3 ta có
3
3
x
x
- Xét 3 x 4 ta có
3
3
x
x
- Vì vậy (*) có nghiệm khi 3 0 3 3
2
x x y thỏa mãn
3 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao
x x m m (*) có hai nghiệm phân biệt Do đó
x x m m x m x m
Trường hợp 1: 1
x x m m m m
2
(m 1)(m m 2) 0
Trường hợp 1: 1
2
6
x x m m m m
Câu 3: (5,0) điểm Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng OA cắt
đường tròn (O) tai M (M khác A) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại N (N khác C) Gọi K là giao điểm của MN với BC
1 Chứng minh tam giác KCN cân
2 Chứng minh OK vuông góc với BM
3 Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại
P Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng
Hướng dẫn giải:
1 Chứng minh tam giác KCN cân
Cách 1:
- Ta có: MACMNC (cùng chắn cung CM)
2
ABC AMC AC (1)
- Mà MACAMCNCB ABC900
NCB MAC
(vì MCA900 là góc chắn nửa
đường tròn.và AB NC) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: NCBMNC
Δ
Cách 2:
K
M
C
B
N
A
O
Trang 5- Vì AB MB MB/ /NC NB MC
0
90
ABM chắn nửa đường tròn) Δ
2 Chứng minh OK vuông góc với BM
Cách 1:
- Vì O và K cùng cách đều C và N nên OK là trung trực của NC hay CN OK Mà / /
MB NCOK BM
Cách 2:
- Vì BC MN BCMNKM KB (vì
ΔKCN cân tại K) (3)
- Mặt khác OBOM (bán kính đường tròn
(O) (4)
- Từ (3) và (4) suy ra O và K cách đề hai điểm
B và M do đó OK là trung trực của BM hay
OK BM
3 Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P Chứng
minh ba điểm P, B, O thẳng hàng
Cách 2:
- Ta có AM là phân giác của góc BAC nên
NCBMNCMABNBBM MC
NB BM
(căng hai cung bằng nhau) (5)
- Vì P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại M và N nên PN PM và OM ON (bán
kình đường tròn (O) (6)
- Từ (5) và (6) suy ra O, B, P cùng cách đều M và N nên O, B, P cùng thuộc đường trung trực của đoạn MN hay P, B, O thẳng hàng
Cách 2:
- Ta có AM là phân giác của góc BAC nên NCBMNCMABNBBM MC PNBMNB hay NB là đường phân giác của góc PNM (7)
- Tương tự ta cũng có MB cũng là đường phân giác của góc PMN (8)
- Từ (7) và (8) suy ra PB, NB, MB là ba đường phân giác của tam giác MBN
- Suy ra PB là đường phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến PM và PN nên PB đi qua O, hay nói cách khác là P, B, O thẳng hàng
Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự
thuộc các cạnh AC, AB sao cho 0
90
DHE Tìm vị trí của D, E để DE có độ dài nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
- Gọi M và N lần lượt là các hình
chiếu của H trên AC và AB sao cho
0
90
MHN
- Khi D và E di chuyển trên AB và
AC thì HDHM HE; HN (theo
quan hệ đường xiên và đường vuông
P
K
M
C
B
N
A
O
M
N
A
Trang 6- Theo định lí Py-ta go ta có
ED HE HD HM HN MN Do đó để D có độ dài nhỏ nhất khi D trùng với M và E trùng với N Khi đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Câu 5: (3,0 điểm)
1 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 3
x xy y
2 Tìm các số nguyên tố x,y sao cho x2 3xy y2 là số chính phương
Hướng dẫn giải:
1 Ta thấy x 2 không phải là nghiệm của phương trình
- Với x 2 ta có:
3
2
x
x
3
2
x
Để phương trình có nghiệm nguyên thì 7 (x 2) và 2 7
2
x
Trường hợp 1: x 2 7 x 5 thỏa mãn (*) y 6
Trường hợp 2: x 2 7 x 9 không thỏa mãn (*)
Trường hợp 3: x 2 1 x 1 thỏa mãn (*) y 0
Trường hợp 4: x 2 1 x 3 không thỏa mãn (*)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: ( ; ) {(5;6); ( 1;0)}x y
2 - Vì x2 3xyy2 là số chính phương nên có dạng x23xy y2 n2, và , x y2
là các số nguyên tố
x xyy n xyn x y n x y n x y
- Theo tính chất của số nguyên tố xy1.xyx y , do đó ta suy được các trường họp:
1
- Dễ thấy y2 không là nghiệm Với y2 ta có
7 5
3 2
x
y y
3 7
x y
(x, y nguyên tố)
- Trường hợp 3 n x y x
không thảo mãn do n x y y
- Trường hợp 4 n x y y
không thảo mãn do n x y x
- Vậy các giá trị thỏa mãn của x,y là ( ; ) {(3;7);(7;3)}x y
Trong quá trình đánh máy có gì sai sót xin quý đọc giả thông cảm