1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 2 KHẢO sát và vẽ đồ THỊ hàm số lê hoành phò file word

34 185 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 34
Dung lượng 2,66 MB

Các công cụ chuyển đổi và chỉnh sửa cho tài liệu này

Nội dung

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm của đồ thị: Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng... - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức- Cho vài g

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Tính lồi lõm của đồ thị:

Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

f gọi là lõm trên K nếu   , ,  1: f  xy  f x  f y ,x y, 0

f gọi là lồi trên K nếu   , ,  1: f  xy  f x  f y ,x y, 0

Cho hàm số yf x  liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K

f lõm trên K f '' x   0, x K

f lồi trên K f '' x   0, x K

Điểm uốn của đồ thị:

Điểm U x f x 0;  0  được gọi là điểm uốn của đường cong  C :yf x  nếu tồn tại một khoảng a b; 

chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a x; 0 , x b0;  thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn

ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp 2 một khoảng a b;  chứa điểm x0 Nếu f '' x 0 0 và f '' x

đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x f x 0;  0  là điểm uốn của đường cong  C : yf x 

Chú ý:

1) Nếu yp x y  ''r x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0

2) Nếu f lồi trên đoạn a b;  thì GTLN max f a f b ;   

3) Nếu f lõm trên đoạn a b;  thì GTNN min f a f b ;   

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

- Tập xác định D 

Trang 2

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

Trang 3

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận

Trang 4

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m  ,  0

Đưa phương trình về dạng f x  h m  trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị  C :yf x 

Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng y h m  

3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: C m:yf x m , 

- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên 

Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:

Hướng dẫn giải

Trang 5

Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng  ;5 và lõm trên khoảng 5;

Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 2

1

x a y

f x  có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng   ; 1 , 1;0 , 0;    

Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên

Trang 6

Bài toán 2.4: Cho hàm số: y x 3 6x2 3mx m 2, m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB 4 65

Trang 7

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để trên đồ thị C m có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của C m tại mỗiđiểm đó vuông góc với đường thẳng d x:  3y 1 0

Trang 8

Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1, 2;.

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và y CT 4, đạt cực đại tại x 2 và y C Ð 5

32

yxxx Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.

Hướng dẫn giải

Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y m: 

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C là nghiệm của phương trình 1 3 1 2 3

2

6x  2x  2x mPhương trình  x3 3x2 9x12 6 m0 (1)

Trang 9

Đường thẳng d cắt  C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi

0

m m

có nghiệm x1, x x1, 2 (trong đó x1, x1 là hoành độ của A, B)

Khi đó x x1, 2 là nghiệm của phương trình  2 2  

39

12 6

x x

Trang 10

Bài toán 2.8: Cho hàm số: y x 3 3m 3x23m2 3m5 x1, m là tham số Tìm m để đồ thị của

hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1x2 x x1 2 7

Trang 11

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.

Hàm số đồng biến trên khoảng  3;0 ,  3; và nghịch biến trên khoảng   ; 3; 0; 3

Hàm số đạt cực đại tại x0,y C Ð 5 và đạt cực tiểu tại x 3,y CT 4

Hàm số có 3 điểm cực trị  y' 0 có 3 nghiệm phân biệt  m0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Trang 12

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy, A và C đối xứng nhau qua Oy.

ABC là tam giác vuông tam giác ABC vuông cân tại B

Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x 4 mx22m 1, với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm

cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi

Bài toán 2.11: Cho hàm số: yx4 2mx2m2m , với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB BO OC CD  

Trang 13

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2 và 0; 2 ; nghịch biến trên mỗi khoảng  2;0 và

 2; Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0, giá trị cực tiểu y CT 2; hàm số đạt cực đại tại các điểm

Trang 14

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm m để phương trình x4 8x26 m có 8 nghiệm phân biệt

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2;  , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 2;

0;2 Hàm số đạt cực đại tại x0;y C Ð 3, đạt cực tiểu tại x2,y CT 1

 Đồ thị: Đồ thị  C hàm số nhận Oy là trục đối xứng

Trang 15

yxx  được suy ra từ đồ thị  C bằng cách giữ nguyên phần nằm

phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.

Số nghiệm của phương trình 1 4 2

Trang 16

O là trọng tâm của tam giác ABC y Ay By C 0

13

Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0 và nghịch biến trên khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 :y C Ð 5

 Đồ thị: y''12x2 4 0, x nên đồ thị không có điểm uốn

Trang 17

0;, nghịch biến trên khoảng  ;0 và

 Đồ thị: y'' 6 x2 2 0,x nên đồ thị không có điểm uốn

Giao điểm với trục tung 3

 , giao điểm với trục hoành 1;0 và 1;0

Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)

3

2

22

Trang 18

mx y

Trang 19

- Khi m 2 thì lim  1  lim 2 0

1lim

a) Tìm m để tiệm cận xiên của C m đi qua A1;1

b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên  P y x:  23

Trang 20

TCX đi qua A1;1 khi và chỉ khi: 1 2.1 1   mm2.

b) Đồ thị có tiệm cận đứng là xm Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là Im;1 3 m

Giao điểm này nằm trên đường cong y x 23 khi

Tìm m để tiệm cận xiên của C m tạo với các trục tọa

độ thành một tam giác có diện tích bằng 18

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Suy ra đồ thị 2 1

1

x y x

Trang 21

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại 1

;02

khi khi

x x

nên đồ thị  C' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x 1

của đồ thị  C , còn phần bên trái tiệm cận đứng x 1 của đồ thị  C thì lấy đối xứng qua trục hoành

Trang 22

Bài toán 2.21: Cho hàm số: 2 2

1

x y x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Lập phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận ngang tại B mà OB2OA

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 ; 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại 1;0, cắt Oy tại 0; 2 , và nhận giao điểm I  1;2 của hai đường tiệm

cận làm tâm đối xứng

b) Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0; 0   C x, 0 1

0 0

2

0 0

4:

11

x

x x

Trang 23

Giao điểm của d với tiệm cận đứng x 1 là 0

x x

  Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm.

Bài toán 2.22: Cho hàm số: 2

1

x y x

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại 2;0 , cắt Oy tại 0;2 , C   nhận giao điểm I1;1 của hai đường tiệm

cận làm tâm đối xứng

Trang 24

b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình

1

khi khi

x x

Xét   1 m 5 0  4m5 thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 2.23: Cho hàm số:

2

m x y

x

, với m là tham số Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0 cắt đồ thị

tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 3

Trang 25

 

 Tìm trên  H các điểm A, B sao cho độ dài AB 4 và đường thẳng

AB vuông góc với đường thẳng yx

Trang 26

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

Trang 27

Hàm số đồng biến trên   ; 3 , 1;  , nghịch biến trên 3; 1 , 1;1   

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I  1;0

b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là số nguyên và chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng.

Trang 28

b) Điểm M x y ;    C có tọa độ nguyên khi x  2 là ước số của 3 nên x  2 1, 3.

Do đó  C có 4 điểm có tọa độ nguyên: 1;4 , 3;0 , 1;0     và 5;4

Trang 29

Giao điểm 2 tiệm cận I2;2 chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ 2

  là hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I2;2 làm tâm đối xứng

Bài toán 2.27: Cho hàm số

2

1

x y x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:

Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O.

TCĐ: x 0, TCX: yx nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°

Trang 30

   hoặc m 1 thì PT có 1 nghiệm

Còn khi m 0 thì PT vô nghiệm

Bài toán 2.28: Cho hàm số  

2

111

b) Khảo sát và vẽ đồ thị  C khi m 1 Suy ra đồ thị hàm số

11

Trang 31

 là hàm số chẵn nên đồ thị  C' đối xứng nhau qua Oy.

Khi x 0 thì lấy phần đồ thị  C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị  C'

Trang 32

Bài tập 2.3: Cho hàm số: y x 3 3m1x29x m, với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 2

Hướng dẫn

a) Khi m 1 thì y x 3 6x2 9x 1

b) Kết quả  3 m  1 3 và  1 3m1

Bài tập 2.4: Cho hàm số: y2x3 3m 1 x2m , với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Tìm số m dương để đường thẳng y m cắt  C tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa

độ O.

Hướng dẫn

a) Tập xác định D  y' 4 x3 4 ; '' 12x yx2 4

Trang 33

b) Kết quả TCX: y2x (khi x  ); TCN: y 0 (khi x   )

Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x y  4 0 và

1

y x

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2

Hướng dẫn

Trang 34

a) Tập xác định D \ 1

4'

1

y x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Với giá trị nào của m, đường thẳng d y:  x m cắt  C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB  10

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1 

3'

1

y x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m sao cho đường thẳng y m x   2 4 cắt đường cong  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x 1 2 3

Ngày đăng: 03/05/2018, 11:23

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

🧩 Sản phẩm bạn có thể quan tâm

w