KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm của đồ thị: Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng... - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức- Cho vài g
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Tính lồi lõm của đồ thị:
Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
f gọi là lõm trên K nếu , , 1: f xy f x f y ,x y, 0
f gọi là lồi trên K nếu , , 1: f xy f x f y ,x y, 0
Cho hàm số yf x liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K
f lõm trên K f '' x 0, x K
f lồi trên K f '' x 0, x K
Điểm uốn của đồ thị:
Điểm U x f x 0; 0 được gọi là điểm uốn của đường cong C :yf x nếu tồn tại một khoảng a b;
chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a x; 0 , x b0; thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn
ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
Cho hàm số yf x có đạo hàm cấp 2 một khoảng a b; chứa điểm x0 Nếu f '' x 0 0 và f '' x
đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x f x 0; 0 là điểm uốn của đường cong C : yf x
Chú ý:
1) Nếu yp x y ''r x thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0
2) Nếu f lồi trên đoạn a b; thì GTLN max f a f b ;
3) Nếu f lõm trên đoạn a b; thì GTNN min f a f b ;
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định
- Tập xác định D
Trang 2- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
Trang 3- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận
Trang 42) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m , 0
Đưa phương trình về dạng f x h m trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị C :yf x
Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị C với đường thẳng y h m
3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: C m:yf x m ,
- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:
Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên
Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
Hướng dẫn giải
Trang 5Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ;5 và lõm trên khoảng 5;
Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 2
1
x a y
f x có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ; 1 , 1;0 , 0;
Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên
Trang 6Bài toán 2.4: Cho hàm số: y x 3 6x2 3mx m 2, m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3
b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB 4 65
Trang 7a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2
b) Tìm m để trên đồ thị C m có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của C m tại mỗiđiểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 3y 1 0
Trang 8Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1, 2;.
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và y CT 4, đạt cực đại tại x 2 và y C Ð 5
32
y x x x Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị C có tung độ m
và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.
Hướng dẫn giải
Hai điểm A, B thuộc đồ thị C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y m:
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị C là nghiệm của phương trình 1 3 1 2 3
2
6x 2x 2x mPhương trình x3 3x2 9x12 6 m0 (1)
Trang 9Đường thẳng d cắt C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi
0
m m
có nghiệm x1, x x1, 2 (trong đó x1, x1 là hoành độ của A, B)
Khi đó x x1, 2 là nghiệm của phương trình 2 2
39
12 6
x x
Trang 10Bài toán 2.8: Cho hàm số: y x 3 3m 3x23m2 3m5 x1, m là tham số Tìm m để đồ thị của
hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1x2 x x1 2 7
Trang 11a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
Hàm số đồng biến trên khoảng 3;0 , 3; và nghịch biến trên khoảng ; 3; 0; 3
Hàm số đạt cực đại tại x0,y C Ð 5 và đạt cực tiểu tại x 3,y CT 4
Hàm số có 3 điểm cực trị y' 0 có 3 nghiệm phân biệt m0
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
Trang 12Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy.
ABC là tam giác vuông tam giác ABC vuông cân tại B
Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x 4 mx22m 1, với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm
cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi
Bài toán 2.11: Cho hàm số: yx4 2mx2m2m , với m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB BO OC CD
Trang 13Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 và 0; 2 ; nghịch biến trên mỗi khoảng 2;0 và
2; Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0, giá trị cực tiểu y CT 2; hàm số đạt cực đại tại các điểm
Trang 14a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm m để phương trình x4 8x26 m có 8 nghiệm phân biệt
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2; , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2;
0;2 Hàm số đạt cực đại tại x0;y C Ð 3, đạt cực tiểu tại x2,y CT 1
Đồ thị: Đồ thị C hàm số nhận Oy là trục đối xứng
Trang 15y x x được suy ra từ đồ thị C bằng cách giữ nguyên phần nằm
phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.
Số nghiệm của phương trình 1 4 2
Trang 16O là trọng tâm của tam giác ABC y Ay B y C 0
13
Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 0;
Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 :y C Ð 5
Đồ thị: y''12x2 4 0, x nên đồ thị không có điểm uốn
Trang 170;, nghịch biến trên khoảng ;0 và
Đồ thị: y'' 6 x2 2 0,x nên đồ thị không có điểm uốn
Giao điểm với trục tung 3
, giao điểm với trục hoành 1;0 và 1;0
Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a)
3
2
22
Trang 18mx y
Trang 19- Khi m 2 thì lim 1 lim 2 0
1lim
a) Tìm m để tiệm cận xiên của C m đi qua A1;1
b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên P y x: 23
Trang 20TCX đi qua A1;1 khi và chỉ khi: 1 2.1 1 m m2.
b) Đồ thị có tiệm cận đứng là xm Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là Im;1 3 m
Giao điểm này nằm trên đường cong y x 23 khi
Tìm m để tiệm cận xiên của C m tạo với các trục tọa
độ thành một tam giác có diện tích bằng 18
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
b) Suy ra đồ thị 2 1
1
x y x
Trang 21 Đồ thị: Đồ thị C cắt Ox tại 1
;02
khi khi
x x
nên đồ thị C' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x 1
của đồ thị C , còn phần bên trái tiệm cận đứng x 1 của đồ thị C thì lấy đối xứng qua trục hoành
Trang 22Bài toán 2.21: Cho hàm số: 2 2
1
x y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận ngang tại B mà OB2OA
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 ; 1;
Đồ thị: Đồ thị C cắt Ox tại 1;0, cắt Oy tại 0; 2 , và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng
b) Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0; 0 C x, 0 1
0 0
2
0 0
4:
11
x
x x
Trang 23Giao điểm của d với tiệm cận đứng x 1 là 0
x x
Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm.
Bài toán 2.22: Cho hàm số: 2
1
x y x
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 1;
Đồ thị: Đồ thị C cắt Ox tại 2;0 , cắt Oy tại 0;2 , C nhận giao điểm I1;1 của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng
Trang 24b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình
1
khi khi
x x
Xét 1 m 5 0 4m5 thì phương trình vô nghiệm
Bài toán 2.23: Cho hàm số:
2
m x y
x
, với m là tham số Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0 cắt đồ thị
tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 3
Trang 25
Tìm trên H các điểm A, B sao cho độ dài AB 4 và đường thẳng
AB vuông góc với đường thẳng yx
Trang 26b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:
Trang 27Hàm số đồng biến trên ; 3 , 1; , nghịch biến trên 3; 1 , 1;1
Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I 1;0
b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:
b) Tìm các điểm trên C có tọa độ là số nguyên và chứng minh đồ thị C có tâm đối xứng.
Trang 28b) Điểm M x y ; C có tọa độ nguyên khi x 2 là ước số của 3 nên x 2 1, 3.
Do đó C có 4 điểm có tọa độ nguyên: 1;4 , 3;0 , 1;0 và 5;4
Trang 29Giao điểm 2 tiệm cận I2;2 chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ 2
là hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc I2;2 làm tâm đối xứng
Bài toán 2.27: Cho hàm số
2
1
x y x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận
b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:
Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O.
TCĐ: x 0, TCX: yx nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°
Trang 30 hoặc m 1 thì PT có 1 nghiệm
Còn khi m 0 thì PT vô nghiệm
Bài toán 2.28: Cho hàm số
2
111
b) Khảo sát và vẽ đồ thị C khi m 1 Suy ra đồ thị hàm số
11
Trang 31 là hàm số chẵn nên đồ thị C' đối xứng nhau qua Oy.
Khi x 0 thì lấy phần đồ thị C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị C'
Trang 32Bài tập 2.3: Cho hàm số: y x 3 3m1x29x m , với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 2
Hướng dẫn
a) Khi m 1 thì y x 3 6x2 9x 1
b) Kết quả 3 m 1 3 và 1 3m1
Bài tập 2.4: Cho hàm số: y2x3 3m 1 x2m , với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.
b) Tìm số m dương để đường thẳng y m cắt C tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa
độ O.
Hướng dẫn
a) Tập xác định D y' 4 x3 4 ; '' 12x y x2 4
Trang 33b) Kết quả TCX: y2x (khi x ); TCN: y 0 (khi x )
Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho
b) Tìm điểm M trên đồ thị C sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x y 4 0 và
1
y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của C đến tiếp tuyến bằng 2 2
Hướng dẫn
Trang 34a) Tập xác định D \ 1
4'
1
y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
b) Với giá trị nào của m, đường thẳng d y: x m cắt C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB 10
Hướng dẫn
a) Tập xác định D \ 1
3'
1
y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
b) Tìm m sao cho đường thẳng y m x 2 4 cắt đường cong C tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó
b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x 1 2 3