Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 1 tính đơn điệu và cực trị lê hoành phò file word

CÁC BÀI TOÁN Bài toán 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi... Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:... Chứng minh bất phương trình:... trong đó c là mộ

CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b;  khi đó:

- Nếu f đồng biến trên a b;  thì f x '  0 với mọi xa b; 

- Nếu f nghịch biến trên a b;  thì f x '  0 với mọi xa b; 

- Nếu f x '  0 với mọi xa b;  và f x '  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của a b;  thì hàm số đồngbiến trên khoảng a b; 

- Nếu f x '  0 với mọi xa b;  và f x '  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của a b;  thì hàm số nghịchbiến trên khoảng a b; .

- Nếu f đồng biến trên khoảng a b;  và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; và liên tục trên a b;  thì

- Nếu f nghịch biến trên a b;  và liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên a b;  thì nghịchbiến trên a b; ; liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; 

- Nếu f x '  0 với mọi x D thì hàm số f không đổi trên D

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên a b;  Nếu f đạt cực trị tại điểm x0a b;  thì f x ' 0 0

- Cho yf x  liên tục trên khoảng a b;  chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và x b0;  :

Nếu f x'  đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x'  đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho yf x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng a b;  chứa x0

Nếu f x ' 0 0 và f '' x 0 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x ' 0 0 và f '' x 0 0 thì f đạt cực đại tại x0

Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x   0 có tối đa 1 nghiệm Nếu f a   0, a thuộc K thì

x a là nghiệm duy nhất của phương trình f x   0.

- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình f x   0 có tối đa 2

nghiệm trên K Nếu f a   0 và f b   0 với a b thì phương trình f x   0 chỉ có 2 nghiệm là x a

và x b

- Nếu f là một hàm liên tục trên a b;  , có đạo hàm trên a b;  thì phương trình f x'  f b  f a 

b a





 có ítnhất một nghiệm ca b; 

Đặc biệt, nếu f a  f b  0 thì phương trình f x '  0 có ít nhất một nghiệm ca b;  hay giữa hai

nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f '.

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3bx2cx d 0,a0

Nếu f x'   0, x hay f x'  0, x thì f x   0 chỉ có 1 nghiệm

Nếu f x '  0 có 2 nghiệm phân biệt và:

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x   0 chỉ có 1 nghiệm

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x   0 có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

Với y C Ð.y  CT 0: phương trình f x   0 có 3 nghiệm phân biệt

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi

sin 2 2cos 2 sin

Do đó f hằng trên R nên f x  f  0  2 sin2a 2cos2asin2a

Bài toán 1.2: Cho 2 đa thức P x  và Q x  thỏa mãn: P x'  Q x'  với mọi x và P 0 Q 0 Chứngminh: P x  Q x 

Ta có    

2 2 2

2 2

2 21

khi khi

x x

y x

4

y x





' 0

y  trên khoảng 4; nên y nghịch biến trên khoảng 4;

' 0

y  trên khoảng  ;4 nên y đồng biến trên khoảng  ;4

Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a)

3 2

6

x y

b)  

sin

;sin

a) x x1, 2,x1x2 Lấy hai số a, b sao cho a x 1x2 b

Ta có: f x'  2 sin 2 x1 0 với mọi xa b; 

Vì f x '  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng a b;  nên hàm số f nghịch biến trên khoảng a b; 

Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:

a) ym 3x 2m1 cos x nghịch biến trên 

b) y x 33x2mx m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3

Bài toán 1.12: Tìm cực trị của hàm số

6

x y

x

x y

Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số

Ta có y k''   2cosk 4cos 2k 2cosk  4 0, với mọi k  , nên hàm số đã cho đạt cực tiểu

tại các điểm x k ,y CT  2 2cosk bằng 0 khi k chẵn và bằng 4 khi k lẻ.

không có đạo hàm tại x 0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó.

b) yf x   x a x b x c a c       ,  luôn có cực đại và cực tiểu

m m y

Vậy nghiệm duy nhất x 2.

b)  2   y 1  x y 21  x y  y 12 1

Với y1: 3   x1: không thỏa (1)

Với x y 0 3   y 1 x1; không thỏa (1)

Đặt f t   t2 2t1,t 0 thì f t'  2t 1 nên f đồng biến trên 1; và nghịch biến trên 0;1

Đặt g t  2 ,t t0 thì g t  '  2 0 nên g đồng biến trên 0; Ta có hệ

x y z

y z x

f t   t nên f đồng biến trên 0;

Hệ phương trình được viết lại

2 2 2 2 2 2

x y z

y z x

Từ tính đồng biến của f x  suy ra x y z Thay vào hệ phương trình ta được x36x2 60x25 0

t

f x

t t

b)  

2 4

Xét x 0 thì f x'  13x12  6x512x3 6x

 2

12

Nên f x   0 có nghiệm duy nhất x 0

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Nếu z  a lí luận như trên ta dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x  y z t0 ở đó t0 là nghiệm duy nhất của phương trình: t3t2 t a0

Bài toán 1.29: Tìm m để phương trình

   

2

2

y t

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m y 1  m2

Bài toán 1.30: Tìm tham số để phương trình

Lập BBT suy ra điều kiện có nghiệm là: m  3 0 m3

Bài toán 1.32: Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm

Vậy điều kiện có nghiệm là 16m1

Bài toán 1.33: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc 0 và 0

Bài toán 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm trên 0;1 và thỏa mãn f  0 0;f  1 1 Chứng minh tồn tại 2 số

phân biệt a; b thuộc 0;1 sao cho f a f b '  '  1

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g x  f x  x 1, khi đó thì g x  liên tục và có đạo hàm trên 0;1

Ta có: g 0  1 0 và g 1  1 0 nên tồn tại số c thuộc 0;1 sao cho g c   0

Do đó f c   c 1 0 hay f c   1 c

Áp dụng định lý Lagrange cho f trên các đoạn 0;c và c;1 thì:

tồn tại a0;c sao cho:    

 

0

'0

f a c

f b c

Vậy tồn tại 2 số phân biệt a; b thuộc 0;1 sao cho f a f b '  '  1

Bài toán 1.35: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên 0;1 và nhận giá trị dương Chứng minh bất phương trình:

Bài toán 1.36: Giả sử f là một hàm xác định trên a b;  , có đạo hàm đến cấp n 1 trên a b;  và x0a b; .

Chứng minh tồn tại c nằm giữa x và x0 để có:

n

trong đó c là một điểm nằm giữa x và x0.

Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f tại điểm x x 0

b) Kết quả đồng biến trên  ;1 , nghịch biến 1;

Kết quả CĐ tại x3;y C Ð 9 3,CT tại x3;y CT 9 3

b) Kết quả CĐ tại x0,y C Ð 0 và CT tại x2;y CT 3 43

Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số

a) y x 3ax2 1b x a2  4b ab luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi tham số a, b.

b)

2

13

Kết quả nghiệm duy nhất x 3.

b) Hàm đơn điệu Kết quả x 3

Bài toán 1.9: Giải các hệ phương trình:

a)

 

3 4

Hướng dẫn

Chứng minh hàm VT đồng biến trên khoảng 0;, còn khi x 0 thì vô nghiệm