20 chuyen de boi duong HSG le hoanh pho

trong đó c là một điểm nằm giữa x và x0.. Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f tại điểm x x= 0... Kết quả nghiệm duy nhất x=3.b Hàm đơn điệu... Hướng dẫnChứng

CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( )a b; khi đó:

- Nếu f đồng biến trên ( )a b; thì f x'( ) ≥0 với mọi x∈( )a b;

- Nếu f nghịch biến trên ( )a b; thì f x'( ) ≤0 với mọi x∈( )a b;

- Nếu f x'( ) ≥0 với mọi x∈( )a b; và f x'( ) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của ( )a b; thì hàm số đồngbiến trên khoảng ( )a b;

- Nếu f x'( ) ≤0 với mọi x∈( )a b; và f x'( ) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của ( )a b; thì hàm số nghịchbiến trên khoảng ( )a b;

- Nếu f đồng biến trên khoảng ( )a b; và liên tục trên [a b; ) thì đồng biến trên [a b; ); và liên tục trên (a b; ] thì

- Nếu f nghịch biến trên ( )a b; và liên tục trên [a b; ) thì nghịch biến trên [a b; ); liên tục trên (a b; ] thì nghịchbiến trên (a b; ]; liên tục trên [ ]a b; thì nghịch biến trên [ ]a b;

- Nếu f x'( ) =0 với mọi x D∈ thì hàm số f không đổi trên D

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên ( )a b; Nếu f đạt cực trị tại điểm x0∈( )a b; thì f x'( )0 =0

- Cho y= f x( ) liên tục trên khoảng ( )a b; chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng (a x; 0) và (x b0; ) :

Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y= f x( ) có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( )a b; chứa x0

Nếu f x'( )0 =0 và f ''( )x0 >0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x'( )0 =0 và f ''( )x0 <0 thì f đạt cực đại tại x0

Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x( ) =0 có tối đa 1 nghiệm Nếu f a( ) =0, a thuộc K thì

x a= là nghiệm duy nhất của phương trình f x( ) =0

- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình f x( ) =0 có tối đa 2

nghiệm trên K Nếu f a( ) =0 và f b( ) =0 với a b≠ thì phương trình f x( ) =0 chỉ có 2 nghiệm là x a=

và x b=

- Nếu f là một hàm liên tục trên [ ]a b; , có đạo hàm trên ( )a b; thì phương trình f x'( ) f b( ) f a( )

Đặc biệt, nếu f a( ) = f b( ) =0 thì phương trình f x'( ) =0 có ít nhất một nghiệm c∈( )a b; hay giữa hai

nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f '

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3+bx2+ + =cx d 0,a≠0

Nếu f x'( ) ≥ ∀0, x hay f x'( ) ≤ ∀0, x thì f x( ) =0 chỉ có 1 nghiệm

Nếu f x'( ) =0 có 2 nghiệm phân biệt và:

Với y C Ð.y CT >0: phương trình f x( ) =0 chỉ có 1 nghiệm

Với y C Ð.y CT =0: phương trình f x( ) =0 có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

Với y C Ð.y CT <0: phương trình f x( ) =0 có 3 nghiệm phân biệt

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi

sin 2 2cos 2 sin

Do đó f hằng trên R nên f x( ) = f ( )0 = −2 sin2a−2cos2a=sin2a

Bài toán 1.2: Cho 2 đa thức P x( ) và Q x( ) thỏa mãn: P x'( ) =Q x'( ) với mọi x và P( )0 =Q( )0 Chứngminh: P x( ) ≡Q x( )

Ta có ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 21

f x

x

−+

khi khi

x x

x

x

π π

y x

4

y x

y > trên khoảng (−∞;4) nên y đồng biến trên khoảng (−∞;4)

Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a)

3 26

x y

x

=

11

x y

b) ( )

sin

;sin

a) ∀x x1, 2∈¡ ,x1<x2 Lấy hai số a, b sao cho a x< <1 x2 <b

Ta có: f x'( ) = −2 sin 2( x+ ≤1) 0 với mọi x∈( )a b;

Vì f x'( ) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng ( )a b; nên hàm số f nghịch biến trên khoảng ( )a b;

Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:

a) y=(m−3) (x− 2m+1 cos) x nghịch biến trên ¡

b) y x= +3 3x2+mx m+ chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3

Bài toán 1.12: Tìm cực trị của hàm số

x y

x

x y

Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số

a) y x= −sin 2x+2 b) y= −3 2cosx−cos 2x

 không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó.

b) y= f x( ) (= x a x b x c a c− ) ( − ) ( − ), ≠ luôn có cực đại và cực tiểu

b) f x( ) asinxcoscosx 1

m m y

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

Vậy nghiệm duy nhất x=2.

b) PT ⇔2x3−3x+32x3−3x+ =1 x2+ +1 3 x2+2

Xét hàm số: f t( ) = +t 3t+1 trên ( )

( )2 3

3 3 3

b) ( ) ( ) ( )2 ( )2

2 ⇔ y−1  x y+ − = +1 x y  y−1 −1

Với y=1: 3( ) ⇔ = −x 1: không thỏa (1)

Với x y+ =0 3( ) ⇔ = ⇒ = −y 1 x 1; không thỏa (1)

Đặt f t( ) = − +t2 2t 1,t ≥0 thì f t'( ) =2(t−1) nên f đồng biến trên (1;+∞) và nghịch biến trên ( )0;1 .

Đặt g t( ) =2 ,t t≥0 thì g t'( ) = >2 0 nên g đồng biến trên (0;+∞) Ta có hệ

( ) ( ) ( ) ( )

x y z

y z x

f t > ∀ >t nên f đồng biến trên (0;+∞)

Hệ phương trình được viết lại

2 2 2 2 2 2

x y z

y z x

Từ tính đồng biến của f x( ) suy ra x= =y z Thay vào hệ phương trình ta được x(36x2−60x+25) =0

t

f x

t t

b) ( ) 2

4

25

( )2 12

= − − > nên f đồng biến

Nên f x( ) =0 có nghiệm duy nhất x<0

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Nếu z< − a lí luận như trên ta dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x= = =y z t0 ở đó t0 là nghiệm duy nhất của phương trình: 3 2

Bài toán 1.29: Tìm m để phương trình

( ) ( )

2

2

y t

+

=+ với t∈ +∞(1; ),

2 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m> y( )1 ⇔ >m 2

Bài toán 1.30: Tìm tham số để phương trình

≤ ≤ ≤ ≤ nên:

2 2

b) Đặt t =sinx+cosx, t ≤ 2 và t2 = +1 2sin cosx x⇒sin 2x t= −2 1

Lập BBT suy ra điều kiện có nghiệm là: m+ ≥ ⇔ ≥ −3 0 m 3

Bài toán 1.32: Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm

Vậy điều kiện có nghiệm là − ≤ ≤16 m 1

7 5 3

a b c+ + =

Chứng minh phương trình: ax4+bx2+ =c 0 có nghiệm

Hướng dẫn giải

Bài toán 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm trên [ ]0;1 và thỏa mãn f ( )0 =0;f ( )1 =1 Chứng minh tồn tại 2 số

phân biệt a; b thuộc ( )0;1 sao cho f a f b'( ) ( ) ' =1

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g x( ) = f x( )+ −x 1, khi đó thì g x( ) liên tục và có đạo hàm trên [ ]0;1

Ta có: g( )0 = − <1 0 và g( )1 = >1 0 nên tồn tại số c thuộc ( )0;1 sao cho g c( ) =0

Do đó f c( ) + − =c 1 0 hay f c( ) = −1 c

Áp dụng định lý Lagrange cho f trên các đoạn [ ]0;c và ( )c;1 thì:

tồn tại a∈( )0;c sao cho: ( ) ( )0 ( )

'0

f a c

f b c

Vậy tồn tại 2 số phân biệt a; b thuộc ( )0;1 sao cho f a f b'( ) ( ) ' =1

Bài toán 1.35: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên [ ]0;1 và nhận giá trị dương Chứng minh bất phương trình:( ) ( ) 2( ( ) ( ) )

Bài toán 1.36: Giả sử f là một hàm xác định trên [ ]a b; , có đạo hàm đến cấp n+1 trên ( )a b; và x0∈( )a b;

Chứng minh tồn tại c nằm giữa x và x0 để có:

n

ξ ξ

= với c nằm giữa ξn và x0, và do đó c nằm giữa x và x0

trong đó c là một điểm nằm giữa x và x0

Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f tại điểm x x= 0

x

=

11

x y

b) Kết quả đồng biến trên (−∞;1), nghịch biến (1;+∞)

x y

Kết quả CĐ tại x= −3;y C Ð = −9 3,CT tại x=3;y CT =9 3

b) Kết quả CĐ tại x=0,y C Ð =0 và CT tại x=2;y CT = −3 43

Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số

a) y x= +3 ax2− +(1 b x a2) + +4b ab− luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi tham số a, b.

Kết quả nghiệm duy nhất x=3.

b) Hàm đơn điệu Kết quả x=3

Bài toán 1.9: Giải các hệ phương trình:

a)

( )

3 4

Hướng dẫn

Chứng minh hàm VT đồng biến trên khoảng (0;+∞), còn khi x≤0 thì vô nghiệm

TRÊN ĐÂY MỚI CHỈ LÀ 1 CHUYÊN ĐỀ TRONG TỔNG SỐ 20 CHUYÊN ĐỀ:

THẦY CÔ VUI LÒNG LIÊN HỆ ĐỊA CHỈ GMAIL: trungyeu113@gmail.com ĐỂ NHẬN ĐỦ 20 CHUYÊN

ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG THPT CỦA TÁC GIẢ LÊ HOÀNH PHÒ

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN