Viết phương trình mặt phẳngQ chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P.. Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng ∆∆và d chéo nhau.. Tìm tọa
Trang 1“PHÂN DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12
VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI”
(CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO)
1 Một số dạng toán cơ bản.
Dạng 1 Viết phương trình mặt phẳng(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (P).
Phương pháp tìm lời giải.
mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P), nên mp(Q) đi qua A (A∈d) và có vtpt
[ ]d P
Q u , n
n = Suy ra phương trình mp(Q)
Ví dụ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d:
=
+
=
−
= t z
t 3 1 y
t 2 1 x
và vuông
góc với mp(P): 2 x − y + z − 1 = 0
Lời giải
Ta có: đường thẳng d đi qua A(1; 1; 0) và có vtcp ud =(− 2 ; 3 ; 1), mp(P) có vtpt
(2 ; 1 ; 1)
nP = −
(Q) chứa d và vuông góc với (P), đi qua A(1;1;0) và có vtpt nQ =[ ]ud, nP =(4 ; 4 ; − 4)
vậy phương trình mặt phẳng (Q): 4(x − 1) (+ 4 y − 1)− 4 z = 0 hay x + y − z − 2 = 0
Dạng 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song
với đường thẳng ∆(∆và d chéo nhau).
Phương pháp tìm lời giải.
mp(P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng ∆, nên (P) đi qua
A (A∈d) và có vtpt n P =[ ]u d , u Δ Suy ra phương trình mp(P).
Ví dụ Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d:
1
z 2
2 y 1
1 x
=
−
=
−
và song song với đường thẳng
2
1 z 1
1 y 2
x :
−
−
=
−
=
∆
Lời giải
Ta có: d đi qua A(1; 2; 0) và có vtcp ud(1 ; 2 ; 1), ∆ có vtcp u∆ =(2 ; 1 ; − 2)
Suy ra (P) đi qua A(1; 2; 0) và có vtpt nP =[ ]ud, u∆ =(− 5 ; 4 ; − 3)
Vậy phương trình mp(P) là: − 5(x − 1) (+ 4 y − 2)− 3 z = 0 hay − x + 4 y − 3 z − 3 = 0
Dạng 3 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm M lên mặt phẳng (P) Phương pháp tìm lời giải
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) Tìm giao điểm H của d và (P) là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Ví dụ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; -3) lên mặt phẳng
(P): x + y – 3z +5 = 0
Lời giải:
Trang 2Đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) có vtcp
x 1 t
u 1;1; 3 d : y 2 t t R
z 3 3t
= +
= − ⇒ = + ∈
= − −
r
−
⇒
−
=
⇔
= +
−
−
− + + +
⇒
∩
=
11
18
; 11
5
; 11
6 H 11
17 t 0 5 t 3 3 3 t 2 t 1
P
d
H
Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; -3) lên (P) là
−
11
18
; 11
5
; 11
6 H
Dạng 4 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm M lên đường thẳng d Phương pháp tìm lời giải.
Phương pháp 1: Viết phương trình mp(P) qua M và vuông góc với d Tìm giao điểm H của d và (P) là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của d, suy ra tọa độ H theo tham
số t MH ⊥ u là véctơ chỉ phương của d Giải pt: MH u =0⇒t⇒tọa độ của H.
Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(-1; -1; 1) lên đường
thẳng
−
−
=
+
=
+
=
t 3 3 z
t 2 y
t 1 x
:
Lời giải: ( yêu cầu học sinh giải bằng hai phương pháp)
(1 ; 2 ; 3 3 t) d
H + + − − ∈ , H là hình chiếu vuông góc của M lên d
−
⇒
−
=
⇔
=
−
−
− + + +
⇔
=
⇔
−
⊥
⇔
11
18
; 11
5
; 11
6 H 11
17 t 0 t 3 4 3 3 t 2 t 0 u MH 3
;
1
;
1
u
MH
Dạng 5 Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng d Phương pháp tìm lời giải.
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên d, giả sử M(x m ; y m ; z m ), H(x H ; y H ; z H ) Khi đó điểm M’ đối xứng với M qua d là M’(2x H – x m ; 2y H – y m ; 2z H – z m ).
Ví dụ Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M(2; 3; 1) qua đường thẳng
2
1 z 2
1 y
1
2
x
:
d
−
+
=
−
=
+
Lời giải
Ta có H( 2 ;t 1 2 ;t 1 2 t) d
t 2 1 z
t 2 1 y
t 2 x
:
d ⇒ − + + − − ∈
−
−
=
+
=
+
−
=
H là hình chiếu vuông góc của
− −
⇒
=
⇔
=
−
−
− +
− + +
−
⇔
−
⊥
⇔
9
17
; 9
17
; 9
14 H 9
4 t 0 t 2 2 2 t 2 2 2 t 4 2
; 2
; 1 u MH
− −
⇒
9
43
; 9
7
;
9
46
'
Dạng 6 Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (P).
Trang 3Phương pháp tìm lời giải.
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (P), giả sử M(x m ; y m ; z m ), H(x H ; y H ; z H ) Khi đó điểm M’ đối xứng với M qua (P) là M’(2x H – x m ; 2y H – y m ; 2z H – z m ).
Ví dụ Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M(0;1;-2) qua mp(P) có
phương trình: 2x + y + z – 8 = 0
Lời giải:
Đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) có vtcp u =( )2 ; 1 ; 1
+
−
=
+
=
=
⇒
t 2 z
t 1 y
t 2 x : d
2
1
; 2
5
; 3 H 2
3 t 0 8 t 2 t 1 t 4 P
d
⇒
=
⇔
=
− +
− + +
⇒
∩
=
Dạng 7 Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng d lên mp(P).( d không vuông góc với (P) và không nằm trên (P))
Phương pháp tìm lời giải.
Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và ( ) ( )Q ⊥ P Hình
chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d ' =( ) ( )Q ∩ P
Phương pháp 2: Lấy hai điểm A, B bất kì thuộc d, tìm hình chiếu vuông góc
H 1 của A và H 2 của B trên (P) Đường thẳng d’ cần tìm đi qua H 1 và H 2
Phương pháp 3: Nếu d cắt (P) tại A, lấy B bất kì thuộc d, B ≠ A, tìm hình chiếu vuông góc H của B trên (P), đường thẳng d’ cần tìm đi qua A và H.
Ví dụ Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d có pt:
=
+
=
−
= t z
t 3 1 y
t 2 1 x
và
mp(P): 2 x − y + z − 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P)
Lời giải ( yêu cầu học sinh giải bằng 3 phương pháp)
Đường thẳng d cắt mp(P) tại điểm A(1; 1; 0), lấy B(- 1;4;1)∈d Đường thẳng
qua B và vuông góc với (P) có pt: H( 1 2t' ;4 - t' ;1 t')
't 1 z
't 4 y
2t' 1 x
+ +
−
⇒
+
=
−
=
+
−
=
là hình chiếu của B lên (P) ⇔ 2(− 1 + 2 't) (− 4 − 't)+ 1 + 't − 1 = 0 ⇔ 't = 1 ⇒ H(1 ; 3 ; 2)
Suy ra d’ đi qua A(1; 1; 0) và có vtcp ( )
=
+
=
=
⇒
=
t 2 z
t 2 1 y
1 x :' d 2
; 2
; 0 AH
Dạng 8 Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu song song của đường
thẳng d lên mp(P) theo phương ∆ cắt (P).
Phương pháp tìm lời giải.
TH1: Nếu d//∆ thì hình chiếu song song của d lên (P) theo phương ∆ là điểm
H =d ∩( )P
TH2: Nếu d và ∆ không song song.
Trang 4Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và song song với ∆ Hình chiếu song song của d lên (P) theo phương ∆là d'=( ) ( )Q ∩ P
Phương pháp 2: Lấy hai điểm A, B phân biệt, bất kì thuộc d Tìm hình chiếu song song A’ và B’ của A và B lên (P) theo phương ∆ Hình chiếu song song của d lên (P) theo phương ∆là d’ đi qua A’ và B’.
Chú ý: Nếu d cắt (P) thì lấy A là giao điểm của d và (P).
Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu song song của đường
thẳng d:
+
=
=
= t 3 1 z
t y
t 3 x
lên mp(P): x – 2y + 2z – 2 = 0 theo phương
3
2 z 1
1 y 2
1 x : − = + = +
∆
Lời giải (yếu cầu học sinh giải theo 2 phương pháp)
Ta có: d cắt (P) tại A(0; 0; 1), lấy B(3 ; 1 ; 4) thuộc d
Đường thẳng ∆ ' qua B và song song với ∆ có phương trình:
+
=
+
=
+
= t 3 4 z
t 1 y
t 2 3 x
gọi B’ là giao điểm của ∆ ' và (P)
−
⇒
−
=
⇔
=
− + + +
−
+
⇒
2
1
; 6
1
; 3
2 ' B 6
7 't 0 2 't 3 4 2 't 1
2
't
2
3
Suy đường thẳng d’ cần tìm đi qua A và B’ có vtcp u = 6 AB ' =(4 ; − 1 ; − 3)
Vậy đường thẳng d’ có phương trình là:
3
1 z 1
y 4
x
−
−
=
−
=
Dạng 9 Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt d 1 , d 2 với d 1 , d 2 chéo nhau và không đi qua M
Phương pháp tìm lời giải.
Phương pháp 1: Viết phương trình mp(P) qua M và chứa d 1 , mp(Q) qua M chứa d 2 Xét d =( ) ( )P ∩ Q Nếu d cắt d 1 và d 2 thì đường thẳng d là đường thẳng cần tìm Nếu d//d 1 hoặc d//d 2 thì bài toán vô nghiệm.
Phương pháp 2: Viết d 1 , d 2 dưới dạng tham số, lấy M 1 thuộc d 1 theo tham số
t 1 , M 2 thuộc d 2 theo tham số t 2 Tìm t 1 , t 2 để M, M 1 , M 2 thẳng hàng, đường thẳng d cần tìm qua M và có
vtcp u = M1M2 ( M, M 1 , M 2 thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số k ≠ 0 sao cho
2
Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 3; 0) và d cắt
Lời giải ( yêu cầu học sinh giải theo 2 phương pháp)
Ta có: M 1(t 1 ; 2 ; − 5 + 2 t 1)∈ d 1 ; M 2(1 + 2 t 2 ; 3 − t 2 ; 4 + t 2)∈ d 2
Trang 5( 1 1) 2 ( 2 2 2)
1 t 1 ; 1 ; 5 2 t ; MM 2 t ; t ; 4 t
2
t 1 2k.t
1 kt
Vô nghiêm.
5 2t k 4 t
k 0
k 0
− =
− = −
⇔ ≠ ⇔ − + = +
≠
uuuuur uuuuur
Vậy không có d thỏa mãn
Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d cắt d 1 , d 2 và song song với ∆.
Phương pháp tìm lời giải.
Phương pháp 1: Viết phương trình tham số của d 1 theo t 1 , của d 2 theo t 2
Lấy M∈d ; N d 1 ∈ ⇒2 uuuurMN theo t 1 , t 2 Xác định t 1 ,t 2 sao cho MN //∆ ⇒đường thẳng d cắt d 1 ,d 2 và song song với ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm M,N Phương pháp 2: Gọi M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) là là giao điểm của d và d 1
d nhận vtcp của ∆ là vtcp⇒phương trình tham số của d theo x 0 , y 0 , z 0
d cắt d 2 suy ra hệ
2
d
d
có nghiệm⇒x 0 , y 0 , z 0 ⇒phương trình d.
Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d cắt d1, d2 và song song với ∆ biết
phương trình
−
=
+
=
+
=
∆
−
=
+
=
−
=
+
−
=
+
−
=
t 8 z
t 2 5 y
t 8 x :
; 3
2 z 4
2 y 1
1 x : d
; t
z
t 9 7 y
t 5 4 x
1 1
1 1
Lời giải (yêu cầu học sinh giải theo 2 phương pháp)
( )
−
=
+
=
+
=
⇒
∆
∉
⇒
=
=
=
⇔
−
= +
−
= +
−
= +
−
⇒
∆
∉
−
=
≠
=
⇔
∆
+
− +
− +
−
=
⇒
∈ + +
− +
∈ +
− +
−
⇒
+
=
+
−
=
+
=
=
+
−
=
+
−
=
∆
∆
t 8
17 z
t 2 8
97 y
t 8
53 x : d
; 8
17
;
8
97
;
8
53
M
8
107 k 16
23 t 8
17 t
k 2 t t 3
k 5 t 9 t 4
k 5 t 5 t M
1
; 2
; 1 u , 0 k u k MN
//
MN
2 t t 3
; 5 t 9 t 4
; 5 t 5
t
MN
d t 3 2
; t 4 2
; t 1 N
; d t t 9 7
; t 5 4 M t
3 2 z
t 4 2 y
t 1 x : d
; t
z
t
9
7
y
t
5
4
x
d
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
2 2
1
1
1 1
Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với d 1 , cắt d 2
trong đó M không thuộc d 1 ,d 2
Trang 6Phương pháp tìm lời giải.
Phương pháp 1: Viết d 2 dưới dạng tham số t, lấy N thuộc d 2 theo t Tìm t để
MN vuông góc với d 1 , suy ra đường thẳng d đi qua M và N.
Phương pháp 2: Viết phương trình mp (P) qua M và vuông góc với d 1 , mp(Q) qua M và chứa d 2 Xét d =( ) ( )P ∩ Q
Nếu d cắt d 2 thì đường thẳng d là đường thẳng cần tìm.
Nếu d//d 2 thì bài toán vô nghiệm.
Ví dụ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 2; 0) và vuông góc với
1
2 z 2
1 y
2
1
x
:
d1 − = + = +
, cắt
13
1 z 8
y 3
x :
−
Lời giải (yêu cầu học sinh giải theo 2 phương pháp)
Ta có: N(3 ; 8 ; 1 13 t) d MN (3 t 1 ; 8 t 2 ; 1 13 t)
t 13 1 z
t 8 y
t 3 x
:
+
−
=
−
=
=
1 1
1
u 2;2;1
=
uuuuruur
uuuur uur
Suy ra d đi qua M(1; 2; 0) và có vtcp
Dạng 12 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 ,
d 2 chéo nhau.
Phương pháp tìm lời giải.
Phương pháp 1: Viết d 1 , d 2 dưới dạng tham số t 1 , t 2 lấy M ∈ d1, N ∈ d2 ⇒ MN
theo t 1 ,t 2 MN là đường vuông góc chung của d 1 , d 2
MN t
t 0 u MN
0 u MN d
MN
d
MN
2 1 2
1 2
=
=
⇔
⊥
⊥
Phương pháp 2: Gọi u1, u2 là vtcp của d 1 ,d 2 , suy ra đường vuông góc chung d
có vtcp u =[ ]u 1 , u 2 Viết phương trình mp(P) chứa d 1 và //d, mp(Q) chứa d 2 và song song với d suy ra d =( ) ( )P ∩ Q ( viết d dưới dạng tham số).
Ví dụ Viết phương trình đường vuông góc chung của
+
=
+
−
=
+
=
+
−
=
+
=
+
=
2 2
2 2
1 1
1
1
t 3 1 z
t 2 3 y
t 2 x d
; t
3
3
z
t
2
y
t
2
1
x
:
d
Lời giải (yêu cầu học sinh giải theo hai phương pháp)
Gọi u1 =(2 ; 1 ; 3), u2 =(1 ; 2 ; 3) là vtcp của d1,d2 và M(1 + 2 t 1 ; 2 + t 1 ; − 3 + 3 t 1)∈ d 1
(2 t ; 3 2 t ; 1 3 t ) d MN (t 2 t 1 ; 2 t t 5 ; 3 t 3 t 4)
N + 2 − + 2 + 2 ∈ 2 ⇒ = 2 − 1+ 2 − 1− 2 − 1+
Trang 7( ) ( ) ( )
( )
1 3
20 z 1 9
47 y 1 9
67 x : MN 3
8
; 3
8
; 3
8 MN , 3
20
;
9
47
;
9
67
M
9
25 t 9
29 t 0 4 t 3 t 3 3 5 t t 2 2 1 t 2 t
0 4 t 3 t 3 3 5 t t 2 1 t 2 t 2 0 u MN
0 u MN d
MN
d
MN
2
1 1
2 1
2 1
2
1 2 1
2 1
2 2
1 2
1
−
=
−
−
=
−
−
⇒
− −
=
⇒
=
=
⇔
= +
− +
−
− +
+
−
= +
− +
−
− + +
−
⇔
=
=
⇔
⊥
⊥
Trang 82 Một số dạng toán nâng cao.
Dạng 13 Cho hai điểm A và B phân biệt Viết phương trình mặt phẳng (P)
qua B và cách A một khoảng lớn nhất.
Phương pháp tìm lời giải.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(P)
Ta có tam giác ABH vuông tại H và
( )
d A, P = AH AB ≤ .Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi
H trùng B, khi đó (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông
góc với AB, suy ra phương trình mp(P).
Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B(1; 2; -1) và cách A(-2;1;3) một
khoảng lớn nhất
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(P)
Ta có tam giác ABH vuông tại H và d(A ,( )P ) = AH ≤ AB.
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B, khi đó (P) là mặt phẳng đi qua B
và có một véctơ pháp tuyến là n = AB =(3 ; 1 ; − 4) Suy ra phương trình mp(P) là:
(x 1) (y 2) (4 z 1) 0
Hay 3x + y – 4z – 9 = 0
Dạng 14 Cho hai điểm A, B phân biệt và mp(P) qua B Viết phương trình
đường thẳng ∆ nằm trong mp(P) đi qua B và cách A một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất.
Phương pháp tìm lời giải.
1 Lớn nhất: Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A trên đường thẳng ∆ Ta có tam giác ABH
vuông tại H và d(A ,( )∆ )= AH ≤ AB.
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B,
khi đó ∆ là đường thẳng đi qua B nằm trong (P)
và vuông góc với AB, suy ra ∆ có vtcp là u =[nP, AB].
2 Nhỏ nhất: Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mp(P)
Ta có d(A ,( )∆ )= AH ≥ AK Vậy khoảng cách đó nhỏ nhất khi H trùng K,
khi đó đường thẳng ∆ đi qua hai điểm B, K.
Chú ý: để viết phương trình đường thẳng ∆ ta có hai cách sau:
Cách 1 Tìm hình chiếu vuông góc K của A trên (P), từ đó viết phương
trình đường thẳng ∆ đi qua B, K.
Cách 2 Tìm tọa độ một véctơ chỉ phương của ∆ là u =[nP,[nP, AB] ].
Ví dụ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua B(1; 1; 1) vuông góc với đường thẳng
2
1 z 1
1 y 1
x :
và cách điểm A(2; 0; 1) một khoảng lớn nhất Lời giải
Trang 9Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với d, suy ra (P) có vtpt nP =(1 ; 1 ; 2)
Khi đó đường thẳng ∆ nằm trong mp(P), đi qua B và cách A một khoảng lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng ∆ Ta có tam giác ABH vuông tại H và d(A ,( )∆ )= AH ≤ AB Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B, khi
đó ∆ là đường thẳng đi qua B nằm trong (P) và vuông góc với AB, suy ra ∆
có vtcp là u =[nP, AB], với
1
1 z 1
1 y 1
1 x : 2
; 2
; 2 u 0
;
1
;
1
AB
−
−
=
−
=
−
∆
⇒
−
−
=
⇒
−
=
Dạng 15 Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình mp(P) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất.
Phương pháp tìm lời giải.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(P),
K là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ Ta có ΔAKH
Vuông tại H và d(A,( )P )= AH ≤ AK không đổi.
Vậy d(A,( )P ) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡K
Khi đó mp(P) chứa ∆ và vuông góc với AK.
Ví dụ Cho điểm A(1; 1; 2) và đường thẳng (t R)
t z
t 1 y
t x
−
=
+
=
=
trình mặt phẳng (P) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn nhất.
Lời giải
Đường thẳng ∆ qua M0(0 ; 1 ; 0) và có vtcp u∆ =(1 ; 1 ; − 1)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ thì
( ; 1 ; t) AK (t 1 ; ; t 2)
Vì AK u = 0 nên (t – 1) + t – ( – t – 2) = 0
− − −
=
⇒
−
=
⇔
3
5
; 3
1
; 3
4 AK
3
1 t Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P), ta có: d(A,( )P )= AH ≤ AKkhông đổi
Vậy d(A,( )P ) lớn nhất khi H ≡K
Do đó mp(P) cần tìm đi qua M0(0;1;0) và có một vtpt n = − 3 AK =(4 ; 1 ; 5)
Vậy phương trình mp(P) là: 4x + y + 5z – 1 = 0
Dạng 16 Cho mp(P) và điểm A thuộc (P), đường thẳng d không song song
với (P), không nằm trên (P), không đi qua A Viết phương trình đường thẳng∆
nằm trong mp(P) đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và đường thẳng d là lớn nhất.
Phương pháp tìm lời giải.
Gọi d’ là đường thẳng qua A và song song với d,
B là giao điểm của d với (P) Gọi H là hình chiếu của B
trên mp(d’, ∆) Khoảng cách giữa d và ∆ bằng BH
Trang 10Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d’.
Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H ≡C
Khi đó đường thẳng ∆ có một véctơ chỉ phương là u∆ =[nP, BC].
Chú ý : Có thể thay véctơ BC bởi véctơ AK, trong đó K là hình chiếu vuông góc của A trên đường
thẳng d.
Ví dụ Cho mp(P) : x + y + z – 1 = 0, điểm A(1 ; 1 ; -1) và đường thẳng
1
z 2
1
y
1
x
:
d = − = Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất.
Lời giải
Gọi d’ là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (P) Gọi H là hình chiếu của B trên mp(d’, ∆) Suy ra khoảng cách giữa d và
∆ bằng BH Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d’
Ta thấy BH ≤BC, nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H ≡C Khi đó đường thẳng
∆ có một véctơ chỉ phương là u∆ =[nP, BC]
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d, suy ra BCuuur= − AKuuur
( ;t 1 2 t) d , AK (t 1 ; 2 t 1), AK u ( )t 1 2 2 t ( )t 1 0 t 0 AK ( 1 ; 0 ; 1)
Suy ra đường thẳng ∆ cần tìm qua A(1; 1; -1) và có vtcp u∆ =[nP, AK]=(1 ; − 2 ; 1)
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là:
1
1 z 2
1 y 1
1
−
−
=
−
Dạng 17 Cho hai điểm A, B và mp(P) Tìm toạ độ điểm M thuộc mp(P) sao
cho MA + MB nhỏ nhất.
Phương pháp tìm lời giải.
1 Xác định vị trí tương đối của A và B đối với mp(P) :
- Nếu AB//(P) thì A, B cùng phía đối với (P).
- Nếu đường thẳng AB cắt (P) tại M 0 thì :
+ M 0 chia đoạn AB theo tỉ số k > 0 (M 0 A=k M 0 B , k >0)thì A và B nằm
cùng phía đối với (P)
+ M 0 chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k < 0 (M 0 A=k M 0 B , k <0) thì A và B nằm khác phía đối
với (P).
2 Tìm M
- Nếu A, B khác phía đối với (P) thì: với M bất kỳ thuộc (P) ta có
AB MB
Do đó MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi A, M, B thẳng hàng hay
( ) ( )AB P
M
- Nếu A, B cùng phía đối với (P) thì : Tìm A’ đối xứng với A qua (P), khi
đó ta có MA+MB=MA'+MB≥ A' B Do đó MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng hay M =(A' B) ( )∩ P .