Vũ đình hòa, một số bài toán tổ hợp

Hãy tính số các tập hợp con hai phần tử của một tập hợp có n ≥ 2phần tử cho trước... 3 Một số bài toán chuẩn bị Trong mục này là một số bài toán tự giải giúp cho các bạn có thể tập luyện

Vũ Đình Hòa Khoa Công nghệ thông tin,

Trường Đại học sư phạm Hà nội, Vietnam.

hoavd@hnue.edu.vn

Ngày 25 tháng 7 năm 2017

1

1 Số lượng phần tử của tập hợp

Lí thuyết tập hợp được nhà toán học người Đức tên là Can-tor (1845-1918)xây dựng Theo ông, một tập hợp được hiểu là một tổng thể các phần tử cùngmột tính chất chung nào đó

Thông thường người ta hay biểu diễn một

Hình 1:

tập hợp M như một phần mặt phẳng được giớihạn bởi một đường cong khép kín (xem hình 1).Phần mặt phẳng này được tô màu hoặc đánhdấu để nhận biết được

Trong cuộc sống ta có rất nhiều ví dụ về tậphợp: Tập hợp các em học sinh của một lớp học,tập hợp các số tự nhiên N , tập hợp các tamgiác

Sau đây là các kí hiệu quen thuộc của lí thuyết tập hợp mà ta sử dụng trongcuốn sách này

a ∈ A - kí hiệu a là phần tử của tập hợp A

a 6∈ A - kí hiệu a không phải là phần tử của tập hợp A

A = {a : a thỏa mãn tính chất ϑ} - kí hiệu tập hợp A gồm các phần tử a thỏamãn tính chất ϑ

∅ - kí hiệu tập hợp rỗng không có phần tử nào cả

A ⊂ B - kí hiệu tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B khi mỗi phần tử củatập hợp A cũng là phần tử của tập hợp B

A = B biểu thị sự bằng nhau của tập hợp A và tập hợp B khi đồng thời có

A ⊂ B và B ⊂ A

A1∪ A2· · · ∪ An là hợp của các tập hợp A1, · · · , An - tập hợp chứa tất cả cácphần tử của các tập hợp A1, · · · , An

A1∩ A2· · · ∩ An là giao của các tập hợp A1, · · · , An - tập hợp chỉ chứa tất cảcác phần tử thuộc đồng thời tất cả các tập hợp A1, · · · , An

A − B là hiệu của hai tập hợp cho trước A và B, là một tập hợp chứa tất cảcác phần tử thuộc A mà không thuộc B Nếu B ⊂ A thì A − B được gọi là tập

bù của B trong A và được kí hiệu là Bc

P(A) kí hiệu tập hợp tất cả các tập hợp con của tập hợp A cho trước

N = {0; 1; 2; 3, · · · } là tập hợp tất cả các số tự nhiên

mà nhiều khi không thể thay thế được trong chứng minh nhiều bài toán hoặckhi giải quyết nhiều vấn đề của toán học.

Phương pháp chứng minh quy nạp được tiến hành như sau:

Lời giải.Với n = 1 thì T (1) tận cùng là 4 Với n = 2 thì T (2) tận cùng là 6 Giả

sử rằng với n ≥ 2 nào đó thì T (n) tận cùng

là 6 Khi đó T (n + 1) = 22n+1 = 22n.2 = T (n)2 tận cùng bởi tận cùng của

62 là 6 Vậy T (n) = 22ntận cùng bởi chữ số 6 với mọi n ≥ 2 Giá trị cần tìm là

n = 2

Cho trước hai tập hợp A và B Một quy tắc f cho tương ứng mỗi một phần

tử a ∈ A với một phần tử b ∈ B (gọi là ảnh của a) được gọi là một ánh xạ từtập hợp A vào tập hợp B và được kí hiệu f : A → B Ta thường nói a là tạoảnh của b khi b là ảnh của a và kí hiệu b = f (a)

Ánh xạ f : A → B được gọi là đơn ánh nếu f (a1) 6= f (a2) với mọi a16= a2.Ánh xạ f : A → B được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử b ∈ B luôn tồntại ít nhất một phần tử a ∈ A sao cho f (a) = b

Một ánh xạ f : A → B được gọi là song ánh nếu f đồng thời là một toànánh và là một đơn ánh

Cho trước các tập hợp A, B và C và hai ánh xạ f : A → B và f : B → C.Khi đó ánh xạ h : A → C được xác định theo công thức h(a) = g(f (a)) đượcgọi là tích của các ánh xạ f và g và được kí hiệu là h = gf

Một tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn phần tử nếu A = ∅ hoặc nếu cómột song ánh f : A → {1, 2, · · · , n} và khi đó A có n phần tử, kí hiệu |A| = n.Trong trường hợp A không phải là tập hợp hữu hạn thì ta nói A là tập hợp

vô hạn Có thể thấy dễ dàng rằng các tập hợp N , Z, Q và R là các tập hợp

vô hạn

Nếu A và B cùng có n phần tử, thì tồn tại song ánh f : A → {1, 2, · · · , n}

và song ánh g : B → {1, 2, · · · , n} Khi đó ta kí hiệu tạo ảnh của k trong songánh f và song ánh g là ak và bk Rõ ràng ánh xạ h : A → B với tương ứngh(ak) = bk là một song ánh Ngoài ra, mệnh đề đảo lại cũng đúng: Nếu tồn tạisong ánh từ tập hợp A vào tập hợp B thì A và B có cùng số lượng phần tử Vậy

ta có định lí sau đây về sự tương quan giữa khái niệm song ánh và khái niệm

Định lí 2 Nếu A = A1∪ A2∪ · · · ∪ An và Ai∩ Aj= ∅ với mọi i 6= j thì ta có

|A| = |A1| + |A2| + · · · + |An|

Định lí 3 Cho trước hai tập hợp hữu hạn A và B Nếu tồn tại một ánh xạ

f : A → B sao cho mỗi phần tử b ∈ B có đúng k tạo ảnh trong A thì ta có

Chứng minh Ta chứng minh khẳng định của định lí bằng quy nạp theo n

Rõ ràng kết luận của định lí hiển nhiên đúng cho n = 1 Giả sử kết luận củađịnh lí đúng cho n − 1 rằng nếu cho trước n − 1 tập hợp A1, A2· · · , An−1, trong

Khái niệm có cùng số lượng phần tử được mở rộng cho tập hợp vô hạn Tanói rằng hai tập hợp A và B là hai tập hợp cùng lực lượng nếu tồn tại song ánh

f : A → B Tập hợp A có cùng lực lượng với tập hợp số tự nhiên N được gọi làtập hợp đếm được và các phần tử của nó có thể đánh số A = {a1, a2, · · · , an, · · · }

BÀI TẬP

1.1 Cho tập hợp X = {3; −5;√

2} Hãy viết ra tất cả các tập hợp con củaX?

1.2 Sn là số các miền do n đường thẳng đôi một không song song và không

có ba đường thẳng nào trong chúng đồng quy tạo ra trên mặt phẳng Chứngminh rằng

Sn=n(n + 1)

2 + 1.

1.3 Trên mặt phẳng có n đường thẳng đôi một không song song và không

có ba đường thẳng nào trong chúng đồng quy Những đường thẳng này cắt mặtphẳng thành những phần mặt phẳng, trong đó có một số là hình đa giác lồi.Hãy tính số đa giác được tạo thành

1.4 Chứng minh rằng từ n + 1 số bất kì trong 2n số nguyên dương đầu tiênluôn có thể tìm được hai số là bội của nhau

1.5 Cho pn là số nguyên tố thứ n Hãy chứng minh bất đẳng thức 22n > pn

1.6 Hãy tính số các tập hợp con hai phần tử của một tập hợp có n ≥ 2phần tử cho trước

2 Các phép toán và tính chất của giai thừa

Cho trước một số tự nhiên n, ta kí hiệu tích của n số tự nhiên liên tiếp đầutiên 1, 2, , n bởi n! Để cho tiện ta quy ước 0! = 1 Ngoài ra ta đặt

] + · · · ,

với [a] là kí hiệu phần nguyên của số thực a cho trước

Chứng minh Lưu ý rằng tổng nói trên thực chất chỉ có hữu hạn số hạng, vìvới j đủ lớn, ta có n < pji và do đó [ n

pm i

] = 0 với mọi m ≥ j

Giả sử pi là một số nguyên tố bất kì Trong tích n! chỉ có đúng [n

pi

] số là bộicủa pi Do đó ta có

]

p2i]!.q1q2,

và q1q2 không chia hết cho pi

Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi ta có số j sao cho [ n

pj+1i ] = 0 và ta thuđược

] + · · · + [n

pji].q1q2· · · qj,

với qi (i ≤ j) không phải là bội của pi Do đó số mũ của pi trong n! là

αi= [n

pi

] + [n

p2 i

] + · · ·

Định lí nói trên liên quan đến nhiều ứng dụng trong các bài toán của líthuyết tổ hợp, nhất là các bài toán đếm phần tử theo một điều kiện nào đó

Ví dụ.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và số tự nhiên k ≤ n ta có n!chia hết cho k!(n − k)!

Chứng minh Với mọi số nguyên tố p ta chỉ cần chứng tỏ rằng số mũ của ptrong dạng phân tích tiêu chuẩn của n! ra các thừa số nguyên tố không nhỏ hơn

số mũ của p trong k!(n − k)! Theo định lí, số mũ của p trong n! là

α = [n

p] + [

n

p2] + · · · ,trong khi số mũ của p trong (n − k)! là

số nguyên tố không nhỏ hơn số mũ của p trong k!(n − k)! Vậy n! chia hết cho

về sự chia hết cho số nguyên tố của các giai thừa Sau đây là định lí Vin-xơn vềtính chất số dư của (p − 1)! trong phép chia cho p khi p là số nguyên tố

Định lí 6 Cho trước p là một số nguyên tố Khi đó ta có (p − 1)! + 1 chia hếtcho p

Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ rằng với mỗi x ∈ {1, , p − 1} luôn tồntại duy nhất một y ∈ {1, 2, , p − 1}, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho xy

chia cho p dư 1.

Thật vậy, xét dãy số x, 2x, · · · , (p − 1)x Trong dãy số này không có hai số nào

có cùng số dư trong phép chia cho p Thật vậy, giả sử có ax và bx chia cho p cócùng số dư, thì |ax − bx| = |a − b|x chia hết cho p là điều vô lí, vì x và |a − b|đều không phải là bội của p Như vậy trong dãy x, 2x, · · · , (p − 1)x có đúng một

số chia cho p dư 1

Mặt khác ta có x = y, số nghịch đảo của nó, chỉ khi ta có x2− 1 = (x − 1)(x + 1)chia hết cho p, tức là chỉ khi x = 1 hoặc x = p − 1 Bây giờ xét (p − 1)! Trongtích này, ta nhóm mỗi số x 6= 1, p − 1 với số nghịch đảo của nó Do đó số dư của(p − 1)! trong phép chia cho p sẽ đúng bằng số dư của 1(p − 1) khi chia cho p.Suy ra (p − 1)! chia cho p dư p − 1 Vậy (p − 1)! + 1 chia hết cho p Tương tự như chứng minh của định lí Vin-xơn là chứng minh của định líFecma nhỏ

Định lí 7 Cho trước p là một số nguyên tố và x là một số tự nhiên không chiahết cho p Khi đó xp−1− 1 chia hết cho p

Chứng minh Thật vậy, xét dãy số x, 2x, · · · , (p − 1)x Trong dãy số nàykhông có hai số nào có cùng số dư trong phép chia cho p Thật vậy, giả sử

có ax và bx chia cho p có cùng số dư, thì ta có |ax − bx| = |a − b|x chiahết cho p là điều vô lí, vì x và |a − b| đều không phải là bội của p Từ đósuy ra dãy số dư của x, 2x, · · · , (p − 1)x trong phép chia cho p chính là dãy

1, 2, · · · , p−1 được sắp lại theo một thứ tự khác mà thôi Do đó x.2x · · · (p−1)xchia cho p có cùng số dư như 1.2 · · · (p − 1) trong phép chia cho p Ta có

xp−1.(p − 1)! − (p − 1)! = (p − 1)!(xp−1− 1) chia hết cho p Do (p − 1)! là tíchcác số nhỏ hơn p nên nguyên tố cùng nhau với p, vậy xp−1− 1 chia hết cho p

Sau đây là một số bài luyện tập về giai thừa

BÀI TẬP

2.1 Với mọi số nguyên dương m, n ta có (2m)!(2n)! chia hết cho m!n!(m+n)!

Vô địch Toán quốc tế 1972

2.2 a) Chứng minh rằng với mọi số dương x và y ta có:

[5x] + [5y] ≥ [x] + [y] + [3x + y] + [3y + x]

b) Từ đó chứng minh rằng (5m)!(5n)! chia hết cho m!n!(3m + n)!(3n + m)! vớimọi số nguyên dương m và n Vô địch Mĩ 1975

2.3 Chứng minh rằng nếu cho trước k số tự nhiên n1, n2, · · · , nk tùy ý thì

số (n1+ n2+ · · · + nk)! luôn là bội của n1!n2! · · · nk!

2.4 Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố và n là một số tự nhiênkhông nhỏ hơn p thì Cp

n− [n

p] chia hết cho p

2.5 Giả sử rằng m và n là hai số tự nhiên sao cho m không có ước nguyên tốnhỏ hơn hay bằng n Chứng minh rằng số M = (m − 1)(m2− 1) · · · (mn−1− 1)chia hết cho n!

2.6 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt quá n! đều có thể biểudiễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n!

3 Một số bài toán chuẩn bị

Trong mục này là một số bài toán tự giải giúp cho các bạn có thể tập luyệnmột số phương pháp chứng minh được giới thiệu trong [?] và sẽ được dùng trongcác chương sau

BÀI TẬP

3.1 Trên một đường thẳng cho một số hữu hạn những đoạn thẳng, mỗi cặphai đoạn thẳng đều có điểm chung Chứng minh rằng tất cả những đoạn đã cho

có một điểm chung

32.* Cho trước m, n là hai số nguyên dương và các số tự nhiên p ≤ m và

q ≤ n Người ta điền hết các số 1, 2, , mn vào các ô vuông một hình chữ nhậtkích thước m × n ô vuông Một số tự nhiên được gọi là xấu nếu như nó nhỏ hơn

p số cùng cột và q số cùng hàng Hãy chỉ ra một cách điền các số này sao cho

số các số xấu trong bảng là nhỏ nhất

3.3 Tính số các đa giác tạo nên bởi n đường thẳng trên mặt phẳng thỏamãn là trong chúng không có hai đường thẳng nào song song với nhau và không

có ba đường thẳng nào đồng quy

3.4 Cho A là tập hợp 2n điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nàothẳng hàng Giả sử n điểm trong chúng có màu đỏ và n điểm còn lại màu xanh.Chứng minh rằng tồn tại một đường gấp khúc khép kín không có hai đoạn gấpkhúc nào cắt nhau, sao cho những điểm cuối của mỗi đoạn gấp khúc là nhữngđiểm của A, có những màu khác nhau

3.5 Tìm một tam giác đơn có bán kính đường tròn ngoại tiếp là một số hữutỉ

3.6 Tồn tại hay không một tam giác nguyên có ba góc nhọn?

3.7 Chứng minh rằng mọi tam giác với chu vi 12cm và diện tích 6cm2 cóthể chia ra thành 100 tam giác, mà mỗi tam giác này có chu vi lớn hơn 6cm

3.8 Trong một mặt phẳng cho 6 đường tròn bằng nhau và có điểm chung.Chứng minh rằng ít nhất một trong những đường tròn này chứa tâm của mộtđường tròn khác trong chúng

3.11 Một lớp học có 50 học sinh Mỗi đêm phải có 3 người trực gác Họphải trực một số đêm liền Hỏi rằng có thể xếp lịch gác sao cho hai người bất

kì trực đêm cùng nhau đúng một lần hay không?

3.12 Kí hiệu Pn,0, Pn,1, Pn,2 là tổng các ba phần tử trong hàng thứ n củatam giác số Pascal, bắt đầu từ bên trái là phần tử thứ nhất, phần tử thứ hai

và phần tử thứ ba tương ứng Hãy nghiên cứu dãy số tạo ra và tính giá trị của

4 Dãy k phần tử có lặp

Trong nhiều bài toán, ta phải tính số lượng các dãy k phần tử, mỗi phần tửđược xếp là một phần tử của một tập hợp A cho trước, trong đó cho phép mộtphần tử được sử dụng nhiều lần

Bài toán Mỗi dãy độ dài k được sắp xếp bởi các phần tử của tập hợp A chotrước, trong đó cho phép một phần tử được lặp lại nhiều lần, được gọi là mộtdãy k phần tử có lặp của A Hãy tính số các dãy k phần tử có lặp của tập hợpA

Ví dụ.Cho trước tập hợp A = {a; b} Tất cả các dãy kí tự có ba phần tửđược chọn từ tập hợp A là

aaa, bbb, aab, bba, abb, baa, aba, bab

Tất cả có 8 dãy kí tự như vậy

Định lí sau đây cho ta số lượng phần tử của dãy độ dài k có lặp của một tậphợp A cho trước

Định lí 8 Số các dãy k phần tử có lặp của một tập hợp A là |A|k

Chứng minh Một dãy k phần tử có lặp của tập hợp A có thể coi là một phần

tử của tích Đê-cac Ak, cho nên số các dãy k phần tử có lặp của tập hợp A chínhbằng số lượng phần tử của tích Đê-cac Ak Theo định lí 4 nó có đúng |A|k số

Bài toán Cho trước k tập hợp A1, A2, · · · Ak (chúng có thể bằng nhau) Hãytính số các dãy k phần tử a1a2· · · ak với điều kiện ai∈ Ai.

Ví dụ.Cho A1 = {a; b} và A2 = {a; c} Tất cả các dãy a1a2 với điều kiện

a1∈ A1, a2∈ A2 là

aa, ac, ba, bc

Tương tự như định lí trên, ta dễ dàng có kết quả sau:

Định lí 9 Cho trước các tập hợp A1, A2, · · · Ak Số các dãy a1a2· · · ak với điềukiện ai∈ Ai (i = 1, k) là |A1||A2| · · · |Ak|

Chứng minh Dễ thấy mỗi dãy a1a2· · · aktương ứng với phần tử (a1; a2; · · · ak)của tích Đê-cac A1A2· · · Ak, và do đó ta có đúng |A1||A2| · · · |Ak| dãy như vậy Một kết quả hiển nhiên của định lí trên là số các dãy a1a2· · · aklà n1n2· · · nk

nếu với mỗi i = 1, k có ni khả năng chọn lựa ai

Ví dụ.Tính số các số tự nhiên chẵn có hai chữ số

Lời giải Rõ ràng các chữ số hàng chục là phần tử của tập hợp {1; 2; · · · 9} (có

9 phần tử), còn chữ số hàng đơn vị là phần tử của tập hợp {0; 2; · · · 8} (có 5phần tử) Theo định lí 9 có tất cả 9.5 = 45 số như vậy 

4.4 Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số và là bội của 5?

4.5 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số mà trong biểu diễn thập phân của

nó không có mặt chữ số nào trong các số 7, 8 và 9?

4.6 Có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá 2001 là bội của 3 và không

có chữ số nào là một trong các số 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

5 Dãy k phần tử không có lặp

Trong nhiều bài toán, các dãy k phần tử, mỗi phần tử được sử dụng là phần

tử của một tập hợp A cho trước, trong đó mỗi phần tử chỉ được phép sử dụngkhông quá một lần Rõ ràng bài toán này chỉ có nghĩa nếu k ≤ n

Bài toán Cho trước một tập hợp A có n phần tử và một số tự nhiên k ≤ n.Mỗi dãy độ dài k được xếp bởi các phần tử của tập hợp A, trong đó mỗi phần tửchỉ được phép có mặt không quá một lần, được gọi là một dãy k phần tử khônglặp của A Hãy tính số các dãy k phần tử không lặp của tập hợp A

Ví dụ.Cho trước tập hợp A = {a; b; c; d} Tất cả các dãy kí tự có hai phần

tử không lặp của tập hợp A là

ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc

Tất cả có 12 dãy như vậy

Số các dãy k phần tử không lặp của tập hợp A có n phần tử được kí hiệu

Akn và còn được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử

Định lí 10 Cho trước một tập hợp A gồm n phần tử và một số tự nhiên k ≤ n

Số các dãy k phần tử không lặp của A là (n−k)!n!

Chứng minh Trong dãy k phần tử không lặp a1a2· · · ak ta có n khả năngchọn lựa a1 từ tập hợp A Sau khi a1 được chọn lựa, ta có n − 1 khả năng chọnlựa a2 từ tập hợp A − {a1} Tóm lại, nếu a1, a2, · · · ai được chọn lựa thì ta có

n − i khả năng chọn lựa ai+1 từ tập hợp A − {a1, a2, · · · ai}

Do đó số các dãy k phần không lặp của tập hợp n phần tử A chính bằng

số các dãy k phần tử có lặp a1a2· · · ak của dãy tập hợp A, A − {a1}, · · · , A −{a1, · · · , ak−1} Theo định lí đã chứng minh ở trên, số các dãy này chính bằng

Lời giải Số các số bốn chữ số mà trong biểu diễn thập phân của nó không

có hai chữ số nào giống nhau và không có mặt chữ số chẵn nào cả là số cácdãy không lặp của tập hợp A = {1; 3; 5; 7; 9} Theo định lí 10 thì ta có tất cả

5.2 Cho trước hai số tự nhiên k ≤ n Hãy tính số các đơn ánh từ một tậphợp k phần tử vào một tập hợp n phần tử

5.3 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm nămchữ số khác nhau?

5.4 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 và 6 có thể lập được bao nhiêu số là bộicủa 5 gồm năm chữ số khác nhau?

5.5 Có bao nhiêu số tự nhiên có mười chữ số đôi một khác nhau?

5.6 Số điện thoại của một thành phố gồm mười chữ số và có thể bắt đầubằng chữ số 0 Hỏi rằng thành phố đó có thể có tối đa bao nhiêu số điện thoạikhác nhau, và thành phố đó có thể có tối đa bao nhiêu số điện thoại nếu mỗichữ số chỉ được xuất hiện trong nó không quá một lần?

hợp A này là:

abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcbbacd, badc, bcad, bcda, bdca, bdaccabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdbadabc, dacb, dbca, dbac, dcab, dcba

Hiển nhiên số tất cả các hoán vị của một tập hợp n phần tử chính là số Ancác dãy n phần tử không lặp của tập hợp n phần tử cho trước Do đó ta có theođịnh lí 10:

Định lí 11 Số các hoán vị khác nhau của một tập hợp n phần tử là Pn = n!

Ví dụ.Hãy tính số các số sau:

a) Tính số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4 và 5.b) Tính số các số năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4 và 5,trong đó ba chữ số đầu là ba số lẻ và hai chữ số sau là hai chữ số chẵn

Lời giải Theo định lí 11 ta có:

a) Số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4 và 5 là5! = 120

b) Số các số lẻ được viết bởi đúng ba chữ số 1, 3 và 5 là 3! = 6, số các số chẵnđược viết bởi đúng hai chữ số chẵn 2 và 4 là 2! = 2 Do đó số các số năm chữ

số được viết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4 và 5, trong đó ba chữ số đầu là ba

số lẻ và hai chữ số sau là hai chữ số chẵn là 3!2! = 6.2 = 12 

BÀI TẬP

6.1 Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4 và 5 Hãy tính số các số

a) có năm chữ số đôi một khác nhau

b) có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi chữ số 1

c) có năm chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi chữ

số 1

d) có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi 24

e) có năm chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi số 241

6.2 Hãy tính tổng của tất cả các số có năm chữ số được viết bởi đúng nămchữ số 1, 2, 3, 4 và 5.

6.3 Chứng minh rằng tồn tại hai số khác nhau có năm chữ số, mỗi số đượcviết bởi đúng năm chữ số 1, 2, 3, 4 và 5, sao cho hiệu của chúng là bội của 120

6.4 Tìm tất cả các chữ số k sao cho trong tất cả k! số có đúng k chữ số{1; 2; · · · k} luôn có hai số khác nhau a và b sao cho a − b là bội của k!

7 Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử là số các tập hợp con k phần tử của một tậphợp n phần tử cho trước

Bài toán Cho trước hai số tự nhiên k ≤ n Hãy tính số tập hợp con k phần

tử của tập hợp n phần tử cho trước

Ví dụ.Cho tập hợp A = {a; b; c; d} Tất cả các tập hợp hai phần tử của A là

{a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}

Kí hiệu tổ hợp chập k của n là Cnk, ta có định lí sau đây

Định lí 12 Số tập hợp con k phần tử của một tập hợp A có n phần tử chotrước là Ck

n= n!

k!(n−k)!

Chứng minh Ta tính số các dãy k phần tử không lặp của tập hợp n phần tửnày bằng cách tính số các hoán vị của tất cả các tập hợp con k phần tử của A.Với mỗi tập hợp con k phần tử của A ta có đúng k! dãy k phần tử không lặpcủa A Như vậy ta có đẳng thức Ak

n = Ck

n.k! Do đó

Cnk= A

k n

k! =

n!

k!(n − k)!.

BÀI TẬP

7.1 Trong một khoang của tàu hỏa có hai hàng ghế đối mặt nhau Mỗi hàngghế có bốn chỗ ngồi Trong số tám hành khách có hai người muốn ngồi nhìn