TÍCH vô HƯỚNG một số ỨNG DỤNG của TÍCH vô HƯỚNG file word

Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC... Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tyến AM của ABC.. Một đường thẳng thay đổi đi

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Tích vô hướng có rất nhiều ứng dụng trong giải toán Sau đây chúng ta tiếp cận

những ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học

I CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC.

uuur uur uuur uur uur uuur uuur

b) Giả sử P là điểm được xác định bởi BPuuur=yBCuuur tìm hệ thức liên hệ của x y,

= - uuur2+ uuur2- 22uuur uuur +uuur uuur

Vì ABCD hình vuông nên AB AD =uuur uuur 0

Suy ra MN ^MP Û MN MPuuuur uuur = 0

Hình 2.11

uuur uuur uuur uuur

Gọi I là giao điểm của AM và CN Chứng minh rằng

Vì CI CNuur uuur, cùng phương nên k

Vì tam giác ABC đều nên AB =AC AB AC, =AB AC .cosA =1AB2

2uuur uuur

Suy ra BI IC =uur uur 0

Vậy BI ^IC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng GI vuông góc với CM

Lời giải (2.12)

Đặt ABuuur =x ACr; uuur =yr và : AB =AC =a Ta có :

CM =AM - AC = 1AB- AC = 1.x- y (1)

uuur uuuur uuur uuur uuur r r

Gọi J là trung điểm CM, ta có :

uuur uuur uuuur uuur

ìïïìï

Bài 2.98: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A Trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy

các điểm M, N, E sao cho AM BN CE

Bài 2.101: Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, đáy lớn

BC = 3a, đáy nhỏ AD =a I là trung điểm của CD Chứng minh rằng

AI ^BD.

Bài 2.102: Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi H

và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO Và I, J lần lượt là trung điểm AD

và BC Chứng minh rằng HK vuông góc với IJ

Bài 2.103: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của BC D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD Chứng minh rằng AM vuông góc với

DB

Bài 2.104: Cho tam giác ABC không cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác

ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A', B' và C' Gọi P là giao điểm của BC với B'C' Chứng minh rằng IP vuông góc AA'.

Bài 2.105: Cho tam giác ABC có AB = 4,AC = 8 và µA =600 Lấy điểm E trên tia AC và đặt AEuuur =kACuuur Tìm k để BE vuông góc với trung tuyến AF của

tam giác ABC .

Bài 2.106: Cho tam giác ABC có BC =a CA, =b AB, =c và G là trọng tâm ,

I là tâm đường tròn nội tiếp Tìm điều kiện của a b c, , để IG vuông góc với IC.

Bài 2.107 : Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,

P là trung điểm của đoạn thẳng AD Chứng minh rằng :

MP ^BC Û MA MCuuur uuur =MD MBuuur uuur

Bài 2.108: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Qua A

vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P

và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tyến AM của ABC .

III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU

• u ³r2 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = 0r r

• Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki )

Ta có MA MGuuur uuur =MA MG .cos(MA MGuuur uuur; ) £ MA MG

Tương tự MB GB ³ MB GB MC GCuuur uuur ; ³ MC GCuuur uuur

Suy ra MAGA MB GB. + . +MC GC. ³ MAGA MB GBuuur uuur uuur uuur uuur uuur. + . +MC GC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tương tự ta cũng có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC

Do đó cos A cos B cos C p

R

æ ö÷ç

2

3

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ Chứng minh rằng

Ta có aIA bIB. . cIC. cosA2IA cosB2IB cosC2IC

Vì cos cosA. . cosA. .

Do đó cos A MA+cos B MB +cos C MC ³ a b c+ +

2

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm Qua điểm O bất kỳ nằm trong tam giác kẻ đường thẳng song song với GA, GB, GC tương ứng cắt CA, AB, BC tại các điểm A', B', C'.

Hình 2.13

Hay m MA a '+m MB b '+m MC c '³ mOA a '+mOB b '+mOC c '

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng với O.

Vậy với M trùng với O thì m MA a '+m MB b '+m MC c ' đạt giá trị chỏ nhất

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và và ba số thực x y z, ,

Chứng minh rằng x2+y2+z2³ 2yzcosA+2zxcosB +2xycosC

Û 2 2+ 2 2+ 2 2+2 uuur uur+2 uur uur+2 uur uuur³ 0

Û 2+ 2+ 2³ 2 +2 +2 đpcm

Nhận xét:

+ Khi chọn x= = = 1y z ta có: cosA+cosB +cosC £ 3

2 + Khi chọn y= = 1z ta có cosA x+ (cosB+cosC) £ +1x2

1

2

3 Bài tập luyện tập.

Bài 2.109: Cho tam giác ABC và ba số thực x y z, , Chứng minh rằng:

yzcos2A zx+ cos2B +xycos2C £ - 1(x2+y2+z2)

Bài 2.110: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O) Tìm trên đường

tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất.

Bài 2.111: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi là góc a giữa hai trung tuyến BD và

CK Tìm giá trị nhỏ nhất của cosa

Bài 2.112: Cho M là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng tam giác ABC Tìm giá trị

4

e) (a b- )2+ -(b c)2+ -(c a)2£ 8R R( - 2r)

Bài 2.116: Cho tam giác ABC , O là điểm bất kỳ trong tam giác Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, BC, CA cắt BC, CA, AB tại A', B', C' Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có cMA'+aMB'+bMC'³ cOA'+aOB'+bOC '

Bài 2.117: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M sao cho

BOC =a,COA = b,AOB =g Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có

MAsina +MBsinb+MC sing³ OAsina+OBsinb+OC sing

Bài 2.121: Cho tam giác ABC , tìm vị trí điểm M để

P =a MA 2+bMB 2+cMC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.Biết:

a) M là điểm bất kì

a) M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 2.124: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có

cos2A+cos2B+cos2C ³ 6cos cos cosA B C

Bài 2.125: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :

sin A sin B sin C

3 3sinA sinB sinC

a) Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định Một đường thẳng

thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B Chứng minh rằng

MA MBuuur uuur =MO2- R2.

Chứng minh: Vẽ đường kính BC của đường tròn (O;R) Ta có MAuuur là hình

chiếu của MCuuur lên đường thẳng MB Theo công thức hình chiếu ta có

Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:

b) Định nghĩa: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B Khi đó

MA MBuuur uuur =MO2- R2 là đại lượng không đổi được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O;R), kí hiệu là P M O/( )

Chú ý: Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT Khi đó

• Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M Điều kiện cần và đủ

để bốn điểm , , ,A B C D nội tiếp được đường tròn là

MA MBuuur uuur=MC MDuuur uuur (hayMA MB =MC MD )

• Cho đường AB cắt đường thẳng D ở M và điểm C trên đường thẳng

D (C ¹ M) Điều kiện cần và đủ để D là tiếp tuyến của đường trònngoại tiếp tam giác ABC tại C là MA MB =MC2

Hình 2.15 Hình 2.14

phương tích từ điểm H tới đường tròn (C)) (1)

Tương tự tứ giác ACA C nội tiếp được nên' '

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R) và một điểm P cố

định ở bên trong đường tròn đó Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi

qua điểm P và vuông góc với nhau

a) Chứng minh rằng AB2+CD2 không đổi

b) Chứng minh rằng PA2+PB2+PC2+PD2 không phụ thuộc vị trí điểm P

Ví dụ 3: Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng D vuông góc với AB ở H(H ¹ A H, ¹ B) Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và cácđường thẳng AM, AN lần lượt cắt D ở M', N'

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn (C) nào đó b) Chứng minh rằng các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định

Lời giải(hình 2.19)

a) Vì M HB· ' =M MB· ' =900 nên tứ giác BHM M' nội tiếp được suy ra

AH ABuuur uuur=AM AMuuuur uuuur (1)

Tương tự Vì N HB· ' =N NB· ' =900 nên tứ giác

'

HBN N nội tiếp được suy ra

AH ABuuur uuur=AN ANuuuur uuur (2).

Từ (1) và (2) suy ra AM AMuuuur uuuur'. =AN ANuuuur uuur'.

Suy ra bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường

tròn.

b) Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường

tròn (C) với đường thẳng AB và E, F lần lượt là giao điểm của D với đường tròn đường kính AB.

Khi đó ta có AP AQuuur uuur =AM AMuuuur uuuur '=AH ABuuur uuur

Hình 2.19

Mặt khác AH ABuuur uuur =(AEuuur+EH ABuuur uuur) =AE AEuuur uuur.( +EBuuur) =AE2

và

AH ABuuur uuur= AFuuur+FH ABuuur uuur=AF AFuuur uuur+FBuuur =AF2

Suy ra AP AQuuur uuur =AE2=AF2

Do đó P, Q thuộc đường tròn (S) tiếp xúc với AE, AF ở E, F.

Vì (S) là đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường tròn (C)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R Giả sử M

là điểm di động trong đường tròn (O) Nối AM, BM, CM lần lượt cắt (O) tại A', B', C' Tìm tập hợp điểm M sao cho

Bài 2.126: Trong đường tròn tâm (O;R) cho hai dây cung AA' và BB' vuông góc với

nhau tại S Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng SM ^A B' '.

Bài 2.127: Cho hai đường tròn (O) và (O'); AA', BB' là các tiếp tuyến chung ngoài

của chúng đường thẳng AB' theo thứ tự cắt (O) và (O') tại M, N Chứng minh rằng

'

AM =B N .

Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân tại A; AM, AD lần lượt là trung tuyến, phân giác của tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E, F Chứng minh rằng BE =CF

Bài 2.129: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay

quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định

Bài 2.130: Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định nằm trong đường tròn Giả sử

AB là dây cung thay đổi luôn đi qua P Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B cắt nhau tại C Tìm tập hợp điểm C.

Bài 2.131: Cho đường tròn (O) đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB Từ

điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và

D Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2.132: Cho đường tròn đường kính AB, H là điểm nằm giữa AB và đường thẳng

D vuông góc với AB tại H Gọi E, F là giao điểm của đường tròn và D Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AE và đường tròn (C) bất kì qua H, B Giả sử hai đường tròn

đó cắt nhau tại M và N, chứng minh rằng AM và AN là hai tiếp tuyến của (C).

Bài 2.133: Cho hai đường tròn đồng tâm O là (C1) và (C2) ( (C2) nằm trong(C1)) Từ một điểm A nằm trên (C1) kẻ tiếp tuyến AB tới (C2) AB giao (C1)lần thứ hai tại C D là trung điểm của AB Một đường thẳng qua A cắt (C2) tại E, F sao cho đường trung trực của đoạn DF và EC giao nhau tại điểm M nằm trên AC Tính AM

MC ?

Bài 2.134: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm

trong (O)) Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q PA, PB lần lượt là giao (O) lần thứ hai tại D, C Chứng minh rằng CD luôn đi qua điểm cố định.

Bài 2.135: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O R1; 1) và (O R2; 2) Tìm tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau.

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 2.96:AC2+BD2 =AD2+BC2 Û ACuuur2- ADuuur2 =BCuuur2- BDuuur2

Û uuur uuur+uuur- uuur- uuur = Û0 uuur uuur.2 = Û0 ^

Bài 2.97 : Đặt ABuuur =x ADr uuur, =yr Khi đó :

Bài 2.101: AI2uur =ADuuur +ACuuur =ADuuur+ABuuur+BCuuur =ABuuur+4ADuuur

BDuuur =ADuuur- ABuuur suy ra

AI BD = AB + AD AD - AB = - AB2+ AD2 =

2 uur uuur uuur 4uuur uuur uuur uuur 4uuur 0

Vậy AI ^BD

Bài 2.102: Để ý rằng HKuuur và BDuuur có cùng hình chiếu trên AC, HKuuur và

ACuuur có cùng hình chiếu trên BD và IJ2uur=ACuuur +DBuuur

HK IJuuur uur.2 =HK ACuuur uuur +DBuuur =BD ACuuur uuur +AC BDuuur uuur = 0r

Bài 2.103: Ta có: AM =1(AH +AD)

2uuuur uuur uuur

và BDuuur =BHuuur+HDuuur

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

= uuur uuur +uuur uuur = uuur uuur+uuur = uuur uuur =0

Vậy AM vuông góc với DB

Bài 2.104: Gọi H là giao điểm của AI với B'C' Xét tích vô hướng của hai

vectơ PI AAuur uuur '=PI AIuur uur( +IAuuur') (= PHuuur+HI AIuur uur) +(PAuuur'+A I IAuuur uuur' ) '

5

uuur uuur uuuruuur uuur

uuur uuur uuur

+ +

10

Suy ra IG vuông góc với IC khi và chỉ khi IG IC =uur uur 0

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Suy ra MP ^BC Û MP BCuuur uuur = Û0 MA MCuuur uuur =MB MDuuur uuur

C2: Gọi H là giao điểm của MP và BC

Ta có MP ^BC Û MCH· +CMH· = 90°

Û tứ giác ABCD nội tiếpÛ MA MCuuur uuur. =MD MBuuur uuur.

Bài 2.108: Ta có PQuuur =HQuuur- HP AMuuur uuuur,2 =ABuuur+ACuuur

Do đó 2PQ AMuuur uuuur =(HQuuur - HP ABuuur uuur)( +ACuuur) =HQ ABuuur uuur - HP ACuuur uuur

Lại có APHQ là hình bình hành nênHP =AQ HQ, =AP .

Bài 2.109: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD , ta có:

(xIAuur+yIBuur+zICuur)2 ³ 0

• T nhỏ nhất Û cosa = - 1Û MOuuur ngược hướng với OHuuur

• T lớn nhất Û cosa = Û1 MOuuur cùng hướng OHuuur

cos

55

4Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD=CK khi và chỉ khi tam giác ABC

vuông cân tại đỉnh A

Vậy min cos a =4

Lấy E, F trên AB, AC sao cho AE =AF = 1

Dựng hình thoi AESF ta có cosA

Vậy minT =AB+AC khi và chì khi M trùng A

Bài 2.114: Ta có (xGA yGB.uuur+ uuur+zGC.uuur)2³ 0

Bài 2.115: (xOA yOB.uuur+ uuur+zOC.uuur)2³ 0

(x y z xOA)( yOB zOC ) a yz b zx c xy

cMA'+aMB'+bMC'³ MO ABuuur uuur +BCuuur +CAuur +cOA'+aOB'+bOC'

Suy ra cMA'+aMB'+bMC'³ cOA'+aOB'+bOC '

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được bài toán tổng quát: Cho O

là điểm bất kỳ nằm đa giác lồi A A A1 2 (n ³ 3) Qua O kẻ các đường thẳng n

song song với A A i i+1,i =1, (xem An i+1=A1) tương ứng cắt các cạnh

Dấu bằng có khi M º I

Bài 2.118: Theo định lí con nhím ta có A A e1 2 1ur +A A e2 3 2ur+ +A A e n 1urn =0rvới e,uri i =1,n là các vectơ đơn vị hướng ra ngoài đa giác và tương ứng vuông góc với A Auuuuuri i+1 (xem A i+ 1º A1)

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng vế với vế ta được

Suy ra sin a eur1+sin b eur2+sing eur3 =0r (*) với e e eur ur ur1, ,2 3 là các vectơ đơn vị

cùng hướng với OA OB OCuuur uuur uuur, ,

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng vế với vế và kết hợp (*) ta được

MAsina +MBsinb+MC sing³ OAsina+OBsinb+OC sing

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :

A + B + C ³ A+ B + C

• Cho M º H N, º I và kết hợp với

tanA.HA=a, tanB.HB=b, tanC.HC= khic

tam giác ABC nhọn

Bài 2.121: Gọi I, O lần lượt là là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam

giác khi đó ta có aIA bIB cICuur+ uur+ uur = 0r

Suy ra (a+ +b c MI)uuur =aMAuuur+bMBuuur+cMCuuur

-a) P ³ abc dấu bằng xảy ra khi M º I

Ta có MI2 =MO2+OI2+2MOOIuuur uur =R2+OI2- 2 cosR OI MOI·b) P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MI2 đạt lớn nhất Û cos·MOI = - 1Û

·MOI =1800

Hay M là giao điểm của tia IO với đường tròn (O)

P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI2 đạt nhỏ nhất Û cos·MOI =1 Û

·MOI = 00

Hay M là giao điểm của tia OI với đường tròn (O)

c) P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên d

(MA IA IA- ) sin 2A +(MB - IB IB) sin2B +(MC - IC IC) sin2C ³ 0

với mọi điểm M

Giả sử tam giác ABC cân cạnh x thì IA = 2x,IB = 10x

Suy ra 2 2MA+ 10(MB +MC) ³ 6x2

Vậy I là điểm cần tìm

Bài 2.124: Gọi A', B', C', lần lượt là trung điểm BC, CA, AB và O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác nhọn nên O nằm trong tam giác ABC ta có: (OAuuur'+OBuuur'+OCuuuur')2 ³ 0

Û '2+ '2+ '2³ 2 ' '.cos +2 ' '.cos +2 ' 'cosMặt khác OA'=OB.cosBOA· '=OB.cosA =RcosA

Tương tự ta có: OB'=Rcos ,B OC'=RcosC

Suy ra cos2A+cos2B+cos2C ³ 6cos cos cosA B C

Dấu " = " xảy ra khi tam giác ABC đều.

Bài 2.125: a) Ta có 3(MA2+MB2+MC2) ³ a2+b2+c2 cho M trùng

với tâm ngoại tiếp tam giác ta được R9 2 ³ a2+b2+c2

Áp dụng định lí sin ta có R9 2 ³ 4 sinR2 2A +4 sinR2 2B +4 sinR2 2C

sin A sin B sin C

4.b) Áp dụng các bất đẳng thức a2+ +b2 c2³ 1(a b c+ + )2

c) Áp dụng các bất đẳng thức a b c+ + ³ 33abc và câu a

d) Ta có nếu A, B, C là 3 góc của tam giác thì

uuur uuuur uur uur uuur uuur uur uuur uur uuuur

Bài 2.127: Vì AA' tiếp xúc với (O'), BB' tiếp xúc với (O) nên

Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân tại A; AM, AD lần lượt là trung

tuyến, phân giác của tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt

AB, AC tại E, F Chứng minh rằng BE =CF

Bài 2.129: (hình 2.25) Gọi I là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác MNB

Gọi C là giao điểm của AB và (I) Khi đó ta có: