OXY KHOẢNG CÁCH và góc (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC1... 1.Phương pháp giải.Để tính khoảng cách từ điểm Ox đến đường thẳng Fx ta dùng công thức Ft 2... chọn D suy ra MPNQ2... Hãy viết phương trình đường phân giác trong g

Trang 1

§3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

Cho đường thẳng :D ax by c+ + = và điểm 0 M x y Khi đó khoảng cách từ M ( 0; 0)

đến ( )D được tính bởi công thức: 0 0

( ,( )) ax by c

d M

D =

b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.

Cho đường thẳng :V ax by c+ + =0 và 1 2 2 9 3 3

m

- > � < � �-��

� � Khi đó:

- M, N cùng phía với D �(ax M +by M+c ax)( N+by N + >c) 0

- M, N khác phía với D �(ax M +by M+c ax)( N+by N+ <c) 0

Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :

1:a x b y c1 1 1 0

D + + = và D2:a x b y c2 + 2 + = là: 2 0

D

2 Góc giữa hai đường thẳng:

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo

nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và

b, hay đơn giản là góc giữa

'

D ^D Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 00

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.

Góc xác định hai đường thẳng 9m2- 4 9 4= - m2� =� và m 1 m=� có phương1

trình Oxy và y2=8x được xác định bởi công thức D

 DẠNG 1 Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Trang 2

1.Phương pháp giải.

Để tính khoảng cách từ điểm Ox đến đường thẳng Fx ta dùng công thức

Ft

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường thẳng D

a) Tính khoảng cách từ điểm A -( 1;3) đến đường thẳng D

A. 1

2

3

5 34

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và ': 5V x+3y+ =8 0

A. 13

12

11

15 34

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có: ( , ) 5.( 1) 3.3 52 2 1

34

5 3

+ b) Do M( )1;0 �V nên ta có

( ; ') ( , ') 5.1 3.0 82 2 13

34

5 3

d D D =d M D = + + =

+

Ví dụ 2: (ĐH – 2006A): Cho 3 đường thẳng có phương trình

V1:x y+ + =3 0;V2:x y- - 4 0;= V3:x- 2y=0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên V sao cho khoảng cách từ M đến 3 V bằng 2 lần 1 khoảng cách từ M đến V 2

A M -( 22; 11- ) B M( )2;1

C M1(- 22; 11 ,- ) M2( )2;1 D M( )0;0

Lời giải:

Trang 3

( )

M �D �M t t

Khoảng cách từ M đến V bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 1 V nên ta có2

1

t

� = + =-

�

Vậy có hai điểm thỏa mãn là M1(- 22; 11 ,- ) M2( )2;1

Ví dụ 3: Cho ba điểm A(2;0 ,) (B 3;4) và P( )1;1 Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B

A :2D x- 3y+ =1 0

B MPNQ và D2:2x- 3y- 21 0=

C MPNQ và D2:2x- 3y+ =3 0

D MPNQ và D2:2x- 3y+ =1 0

Lời giải:

Đường thẳng D đi qua P có dạng :d y x m= + hay ax by a b+ - - =0

D cách đều A và B khi và chỉ khi

( ; ) ( ; ) a b2 2 2a2 3b2

�

+ Nếu DABC, chọn 2 2 1

y x

+ = suy ra :4D x y- - 3 0= + Nếu 3a=- 2b chọn D suy ra MPNQ2

Trang 4

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là MPNQ và D2:2x- 3y+ =1 0

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có (1; 2), (5;4), ( 2,0) A - B C - Hãy viết phương trình đường phân giác trong góc A

A 5x+ -y 3 0= B 2x+ =y 0 C 3x+ - =y 1 0 D 4x+ -y 2 0=

Lời giải:

Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình

AB: 3x 2- y- 7 0= , AC:F F 1, 2

Ta có phương trình đường phân giác góc A là

1

F

Ta thấy AF nên 2 điểm B,C nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng 1 F 2

Vậy ABF :2 x2- 4y2=20 là phương trình đường phân giác trong cần tìm

Cách 2: Gọi :D x- 3y= là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC0

Ta có BD AB DC

AC

=

uuur uuur

MàAB=2 13,AC= 13

(0;2)

M suy ra 3MAuuur- 5MBuuur=0r

Ta có phương trình đường phân giác AD:

4 2 1 1

y+ x

-= + - hay 5x+ -y 3 0=

Cách 3: Gọi ( ; ) M x y thuộc đường thẳng D là đường phân giác góc trong góc A

Ta có D

Do đó cos(AB AMuuur uuuur, ) cos(= uuur uuuurAC AM, ) (*)

Trang 5

Mà AB=uuur (4;6); AC = -uuur ( 3;2);AMuuuur= -(x 1;y+2)thay vào (*) ta có

= + - + + - + - + + � 2(x- 1) 3(+ y+ =-2) 3(x- 1) 2(+ y+ �2) 5x y+ - 3 0=

Vậy đường phân giác trong góc A có phương trình là: 5x y+ - 3 0=

Ví dụ 5: Cho điểm C -( 2;5) và đường thẳng :3D x- 4y+ = Tìm trên D hai 4 0

điểm ,A B đối xứng với nhau qua 2;5

2

I� �� và diện tích tam giác ABC bằng 15

A 52 50; , 8 5;

12 12 12 12

A�� B��- ��

8 5; , 52 50;

12 12 12 12

A��- � ��B��

B 52 50; , 8 5;

11 11 11 11

A�� B��- ��

12 12 12 12

A��- � ��B��

C 52 50; , 8 5;

13 13 11 11

A�� B��- ��

11 11 13 13

A��- � ��B��

D 52 50; , 8 5;

11 11 11 11

A�� B��- ��

11 11 11 11

A��- � ��B��

Lời giải:

Dễ thấy đường thẳng D đi qua M( )0;1 và nhận ur(4;3) làm vectơ chỉ phương

nên có phương trình tham số là 4

1 3

� =

�

� = +

�

Vì A �D nên A t(4 ;1 3 ,+ t t R) �

Hai điểm ,A B đối xứng với nhau qua 2;5

2

I� �� suy ra 4

2

4 3

1 3

5

B

B B B

t x

t y

�

� =

�

Trang 6

Do đó B(4 4 ;4 3- t - t)

Ta có ( ) (2 )2

AB= - t + - t = t- và ( ; ) 3 2( ) 4.5 4 22

Suy ra 1 ( ; ) 1.5 2 1.22 112 1

ABC

-Diện tích tam giác ABC bằng 15 112 1 15 2 1 15 13

2

11

t =-

Với 13 52 50; , 8 5;

t= �A�� B��- ��

Với 2 8 5; , 52 50;

t=- �A��- � ��B��

Vậy 52 50; , 8 5;

11 11 11 11

A�� B��- ��

8 5; , 52 50;

11 11 11 11

A��- � ��B��

 DẠNG 2: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng 1.Phương pháp giải:

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, góc giữa hai đường thẳng D D có 1; 2 phương trình

được xác định theo công thức:

+

D D =

 Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phương( hoặc vectơ pháp tuyến ) của chúng

cos D D =, cos u uur uur, = cos n nuur uur,

2 Các ví dụ.

Trang 7

Ví dụ 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) 1:3 2 1 0; 2: ( )

7 5

x t

�

� =

-�

A ( ) 0

1; 2 45

1; 2 55

1; 2 60

1; 2 30

D D =

A ( ) 0

1; 2 90

1; 2 55

1; 2 60

1; 2 30

D D =

Lời giải:

a) nuur1(3; 2 ,- ) nuur2( )5;1 lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D và 1 D 2 suy ra ( 1 2)

3.5 2.1 2 cos ,

2

13 26

b) uur1(- 1;2 ,) uuur2(- 4; 2- ) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D và 1 D2 suy ra

2

a +b = > > do đó F c( );0

Ví dụ 2: Tìm D để góc hợp bởi hai đường thẳng 1 1

FM +FN và

2

x

a b

a +b = > > một góc bằng F F1, 2

3

m=-Lời giải:

Ta có: �F MF 1 2

Theo bài ra góc hợp bởi hai đường thẳng F F bằng 1 2 30 nên0

Trang 8

0 2

2

Hay F F1, 2

Vậy A A là giá trị cần tìm.1, 2

Ví dụ 3: Cho đường thẳng :3 d x- 2y+ = và 1 0 M( )1;2 Viết phương trình

đường thẳng D đi qua M và tạo với d một góc 45 o

A D1:2x y- = và 0 D2:5x y+ - 7 0=

B D1:x- 5y+ = và 9 0 D2:3x y+ - 5 0=

C D1:3x- 2y+ = và 1 0 D2:5x y+ - 7 0=

D D1:x- 5y+ = và 9 0 D2:5x y+ - 7 0=

Lời giải:

Đường thẳng D đi qua M có dạng D:a x( - 1)+b y( - 2)=0,a2+ � hayb2 0

ax by a+ - - b=

Theo bài ra D tạo với d một góc 45 nên: 0

0

cos45

2

5

� =

�

+ Nếu a=5b, chọn a=5,b= suy ra :51 D x y+ - 7 0=

+ Nếu 5a=- b, chọn a=1,b=- suy ra :5 D x- 5y+ =9 0

Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn D1:x- 5y+ = và 9 0 D2:5x y+ - 7 0=

Trang 9

Ví dụ 4: Cho 2 đường thẳng a Viết phương trình đường thẳng D qua gốc

toạ độ sao cho D tạo với D và 1 y2=16x tam giác cân có đỉnh là giao điểm

( )1;4

A và �BAC =900.

A D1:3x y+ = và 0 D2:x- 3y- =1 0

B D1:3x y+ - = và 1 0 D2:x- 3y=0

C D1:3x y+ - = và 1 0 D2:x- 3y- =1 0

D D1:3x y+ = và 0 D2:x- 3y=0

Lời giải:

Đường thẳng HI=k HM. , 0< < qua gốc toạ độ có dạng k 1 ax by+ = với0

y = x

Theo giả thiết ta có M �O hay

,

T�O OT

+ Nếu Oxy , chọn , ( ):P y2=4x suy ra :3D x y+ =0

+ Nếu d, chọn OAB suy ra :D x- 3y=0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là D1:3x y+ = và 0 D2:x- 3y=0

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	636 KB